モナド ── 定義と随伴により引き起こされるモナド
,
随伴から導かれるモナドの例 ── maybe モナド
モナドから導かれる随伴 (1) ── Eilenberg-Moore 圏
モナドから導かれる随伴 (2) ── Kleisli 圏
モナド ── Kleisli 圏の例 (続き)
の続き.
圏 $\mathrm{C}$ 上の与えられたモナド $(T,\eta,\mu)$ に対して, $T$ 上の随伴のなす圏 $\mathbf{Adj}_T$ を次のように定義する.
$\mathbf{Adj}_T$ の対象は, 随伴
\begin{equation*}
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\begin{xy}
\xymatrix@=32pt {
\rC \ar@<1ex>[r]^F \ar@{}[r]|{\bot} & \rD \ar@<1ex>[l]^U
}
\end{xy}
\qquad
\eta : \Un{\rC} \Rightarrow UF,
\quad
\epsilon : FU \Rightarrow \Un{\rD}
\end{equation*}
で, モナド $(T,\eta,\mu)$ を導くもの ($T=UF, \mu = U \epsilon F$) の全体とする.
そのような 2 つの随伴
\begin{equation*}
\begin{xy}
\xymatrix@=32pt {
\rC \ar@<1ex>[r]^F \ar@{}[r]|{\bot} & \rD \ar@<1ex>[l]^U
}
\end{xy}
\qquad
\eta : \Un{\rC} \Rightarrow UF,
\quad
\epsilon : FU \Rightarrow \Un{\rD}
\end{equation*} \begin{equation*}
\begin{xy}
\xymatrix@=32pt {
\rC \ar@<1ex>[r]^{F'} \ar@{}[r]|{\bot} & \rD' \ar@<1ex>[l]^{U'}
}
\end{xy}
\qquad
\eta' : \Un{\rC} \Rightarrow U'F',
\quad
\epsilon' : F'U' \Rightarrow \Un{\rD'}
\end{equation*} の間の射 $K : F \dashv U \rightarrow F' \dashv U'$ は関手 $K : \rD \rightarrow \rD'$ で, 左随伴と右随伴に対して共に可換, つまり $KF=F'$, $U'K=U$ を満たすものとする:
\begin{equation*}
\begin{xy}
\xymatrix@=32pt {
\rD \ar@<1ex>[dr]^U \ar[rr]^K
\ar@{}[dr]|{\style{display: inline-block; transform: rotate(45deg)}{\dashv}}
&
& {\rD'} \ar@<1.8ex>[dl]^{U'}
\ar@{}[dl]|{\style{display: inline-block; transform: rotate(-45deg)}{\dashv}}
\\
& \rC \ar@<1.2ex>[ul]^F \ar@<0.4ex>[ur]^{F'} &
}
\end{xy}
\end{equation*}
$\Adj_T$ に対して, 次が成り立つ.
命題.$(T,\eta,\mu)$ を圏 $\rC$ 上のモナドとする. このとき, Kleisli 圏 $\rC_T$ は随伴の圏 $\Adj_T$ の始対象であり, Eelenberg-Moore 圏 $\rC^T$ は $\Adj_T$ の終対象である. すなわち, $\rC$ 上でモナド $(T,\eta,\mu)$ を導く任意の随伴 $F \dashv U$ に対して, 一意的な関手 $J : \rC_T \rightarrow \rD$, $K : \rD \rightarrow \rC^T$ が存在して, それぞれ左随伴関手, 右随伴関手と可換になる.
\begin{equation*}
\begin{xy}
\xymatrix@=32pt {
\rC_T \ar@{-->}[r]^J_{\exists!}
\ar[dr]|(.3){U_T}
\ar@{}@<-0.9ex>[dr]|{\style{display: inline-block; transform: rotate(45deg)}{\dashv}}
& \rD \ar@{-->}[r]^K_{\exists!}
\ar@<1ex>[d]^U
\ar@{}[d]|{\dashv}
& \rC^T \ar@<2.2ex>[dl]^{U^T} \\
& \rC \ar@<1ex>[u]^F
\ar@<2.2ex>[ul]^{F_T}
\ar[ur]|(.6){F^T}
\ar@{}@<-0.6ex>[ur]|{\style{display: inline-block; transform: rotate(-45deg)}{\dashv}}
&
}
\end{xy}
\end{equation*} 証明は省略するが, 以下のことが成り立つ.
・ $JF_T = F$, $U^TK=U$.
・ 関手 $J : \rC_T \rightarrow \rD$ は $\rC_T$ の対象 $c$ に対して
\begin{equation*}
Jc = Fc
\end{equation*} と定義され, $\rC_T$ の射 $f : c \rightsquigarrow c'$, つまり $\rC$ の射 $f : c \rightarrow Tc'$ に対して
\begin{equation*}
\begin{xy}
\xymatrix@=32pt {
Jf := Fc \ar[r]^(.4){Ff} & FTc'=FUFc' \ar[r]^(.65){\epsilon_{Fc'}} & Fc'
}
\end{xy}
\end{equation*} と定義される.
・ 関手 $K : \rD \rightarrow \rC^T$ は, $\rD$ の対象 $d$ に対して
\begin{equation*}
Kd = (Ud,U{\epsilon_d})
\end{equation*} と定義され, $\rD$ の射 $f : d \rightarrow d'$ に対して
\begin{equation*}
Kf := Uf : (Ud,U\epsilon_d) \rightarrow (Ud',U{\epsilon_{d'}})
\end{equation*} と定義される.
この結果によれば, 圏 $\rC$ 上の Kleisli 圏 $\rC_T$ から Eilenberg-Moore 圏 $\rC^T$ への一意的な関手 $K : \rC_T \rightarrow \rC^T$ が存在することになるが, これは次のように定まる.
Kleisli 圏 $\rC_T$ の対象 $c\in\rC_T$ (つまり $c\in\rC$) に対して,
\begin{equation*}
Kc = (U^TF^Tc,U^T\epsilon_{F^Tc}) = (Tc,U^T\epsilon_{F^Tc}) = (Tc,\mu_c)
\end{equation*}
であり, $\rC_T$ の射 $f : c \rightsquigarrow c'$ つまり $\rC$ の射 $f : c \rightarrow Tc'$ に対して
\begin{equation*}
\begin{xy}
\xymatrix@=32pt {
Kf := (Tc,\mu_{c}) \ar[r]^{Tf} & (T^2c',\mu_{Tc'}) \ar[r]^{\mu_{c'}} & (Tc'\mu_{c'})
}
\end{xy}
\end{equation*} である.
この関手 $K : \rC_T \rightarrow \rC^T$ について, 次の命題が成り立つ.
命題.圏 $\rC$ 上の随伴からなる圏 $\Adj_T$ における, 一意的な関手 $K : \rC_T \rightarrow \rC^T$ は充満忠実 (full and faithful) であり, $K$ は $\rC_T$ とその $\rC^T$ における像の間の圏同型を与える. すなわち, Kleisli 圏 $\rC_T$ は Eilenberg-Moore 圏 $\rC^T$ に埋め込まれる.
2023年09月20日
数学の勉強 〜 アルコール依存症の自助グループ
2 時半起床.
今朝は抑鬱感も不安感も無い. それに最近にしてはよく眠れた.
数学をやる.
解析の復習. 集中する.
食欲は無いが朝食をとる.
キャベツと目玉焼きとコーヒー.
午前中も数学をやる.
圏論の復習.
久し振りに数学をやるせいか, 頭が疲れた.
午後からアルコール依存症の自助グループに行く.
人数は少なかったがいいミーティングだった.
買い物をして帰宅.
夕食をとる.
ビーフステーキと玉葱炒め.
元気を出したかった.
次第に鬱が辛くなってくる.
それでも今日は体調がよかった.
早めに布団に入る.
今朝は抑鬱感も不安感も無い. それに最近にしてはよく眠れた.
数学をやる.
解析の復習. 集中する.
食欲は無いが朝食をとる.
キャベツと目玉焼きとコーヒー.
午前中も数学をやる.
圏論の復習.
久し振りに数学をやるせいか, 頭が疲れた.
午後からアルコール依存症の自助グループに行く.
人数は少なかったがいいミーティングだった.
買い物をして帰宅.
夕食をとる.
ビーフステーキと玉葱炒め.
元気を出したかった.
次第に鬱が辛くなってくる.
それでも今日は体調がよかった.
早めに布団に入る.
2023年09月19日
鬱と不安感が辛い中, いろいろやる
3 時起床.
昨晩もあまり眠れず, 鬱と不安感も辛いが頑張って起きた.
昨日の午後から感じている, 生きていくことが怖いという不安に相変わらず苛まれている.
数学をやる.
解析の復習.
体調が今一つのため, 頭が働かず集中もできない.
一つひとつの計算を確認しながらゆっくりやる.
朝までやって区切りを付ける.
食欲が無いが無理をして朝食をとる.
キャベツと目玉焼きとコーヒー.
午前中はアルコール依存症の自助グループに行く.
今日は自分が現在抱えている不安について話した. しかし不安感は解消されず.
買い物をして帰宅.
一休みしてから数学をやる.
モナド的関手 (monadic functor) の復習.
鬱と不安感のせいで考えるのがとても難しい.
できる範囲でゆっくりやる.
それから本を読む.
太宰治『晩年』から「猿面冠者」.
途中で疲れてしまって最後まで読めなかったがとても面白かった.
夕食は簡単にパスタで済ませる.
ペペロンチーノ.
ゆっくり食べているうちに鬱と不安感が少し和らいできた.
それにいろいろ行動したせいか疲労感もある.
今日はよく眠れるかも知れない.
就寝前の抗鬱薬と頓服を飲んで布団に入る.
昨晩もあまり眠れず, 鬱と不安感も辛いが頑張って起きた.
昨日の午後から感じている, 生きていくことが怖いという不安に相変わらず苛まれている.
数学をやる.
解析の復習.
体調が今一つのため, 頭が働かず集中もできない.
一つひとつの計算を確認しながらゆっくりやる.
朝までやって区切りを付ける.
食欲が無いが無理をして朝食をとる.
キャベツと目玉焼きとコーヒー.
午前中はアルコール依存症の自助グループに行く.
今日は自分が現在抱えている不安について話した. しかし不安感は解消されず.
買い物をして帰宅.
一休みしてから数学をやる.
モナド的関手 (monadic functor) の復習.
鬱と不安感のせいで考えるのがとても難しい.
できる範囲でゆっくりやる.
それから本を読む.
太宰治『晩年』から「猿面冠者」.
途中で疲れてしまって最後まで読めなかったがとても面白かった.
夕食は簡単にパスタで済ませる.
ペペロンチーノ.
ゆっくり食べているうちに鬱と不安感が少し和らいできた.
それにいろいろ行動したせいか疲労感もある.
今日はよく眠れるかも知れない.
就寝前の抗鬱薬と頓服を飲んで布団に入る.
2023年09月18日
夜眠れない 〜 午後から不安感に苦しむ
9 時起床.
昨晩は明け方まで眠れなかった.
このところ, 夜眠れない日が続いている.
頑張って午前中に起きても, 睡眠不足で体がだるい.
朝の鬱も辛い.
朝食をとる.
キャベツと目玉焼きとコーヒー.
食欲が無いが無理をして食べる.
倦怠感が酷いので昼過ぎまで横になって休む.
午後から散歩を兼ねて出かける.
銀行の ATM で今週の生活費をおろして, それから買い物に行く.
暑い中歩くのは大変だったが, 体を動かしたせいか倦怠感は無くなった.
しかし帰宅してから不安感が強くなってくる.
苦しい.
生きていくのが怖いという思いに襲われる.
今日は早めに休むことにして, 食事をとる.
豚キムチ.
就寝前の抗鬱薬と一緒に頓服を飲んで布団に入る.
今日はぐっずり眠りたい.
昨晩は明け方まで眠れなかった.
このところ, 夜眠れない日が続いている.
頑張って午前中に起きても, 睡眠不足で体がだるい.
朝の鬱も辛い.
朝食をとる.
キャベツと目玉焼きとコーヒー.
食欲が無いが無理をして食べる.
倦怠感が酷いので昼過ぎまで横になって休む.
午後から散歩を兼ねて出かける.
銀行の ATM で今週の生活費をおろして, それから買い物に行く.
暑い中歩くのは大変だったが, 体を動かしたせいか倦怠感は無くなった.
しかし帰宅してから不安感が強くなってくる.
苦しい.
生きていくのが怖いという思いに襲われる.
今日は早めに休むことにして, 食事をとる.
豚キムチ.
就寝前の抗鬱薬と一緒に頓服を飲んで布団に入る.
今日はぐっずり眠りたい.
2023年09月17日
買い物には行けた
11 時起床.
鬱が辛いが, 何とか午前中には起きられた.
早めの昼食をとる.
パンとコーヒー.
鬱が苦しいので再び寝込む.
そのまま夕方まで起きられず.
夕方になって少し体調が回復したので買い物に行く.
足を一歩前に出すのも辛い.
野菜と肉などを買う.
帰宅して食事.
ポークソテーと玉葱炒め.
この数日, 寝込んでばかりで何もできていない.
明日はどうにかなるのだろうか.
早めに休む.
鬱が辛いが, 何とか午前中には起きられた.
早めの昼食をとる.
パンとコーヒー.
鬱が苦しいので再び寝込む.
そのまま夕方まで起きられず.
夕方になって少し体調が回復したので買い物に行く.
足を一歩前に出すのも辛い.
野菜と肉などを買う.
帰宅して食事.
ポークソテーと玉葱炒め.
この数日, 寝込んでばかりで何もできていない.
明日はどうにかなるのだろうか.
早めに休む.
2023年09月16日
デイケアの友人と会う
8 時半起床.
なかなか早起きはできないが, 今は午前中に起きることに努力しようと思う.
鬱が辛くて何もできない.
コーヒーを淹れて気持ちを落ち着ける.
昼からデイケアの友人と会う.
一緒にかき氷を食べた.
現在の体調や, 生活のことを話す.
夕方前に帰宅.
料理をする気力が無く手抜きをする.
バジルのパスタ.
鬱が辛い.
何もできない日が続いている.
早めに布団に入る.
なかなか早起きはできないが, 今は午前中に起きることに努力しようと思う.
鬱が辛くて何もできない.
コーヒーを淹れて気持ちを落ち着ける.
昼からデイケアの友人と会う.
一緒にかき氷を食べた.
現在の体調や, 生活のことを話す.
夕方前に帰宅.
料理をする気力が無く手抜きをする.
バジルのパスタ.
鬱が辛い.
何もできない日が続いている.
早めに布団に入る.
2023年09月15日
だらだらと一日を過ごしてしまう
7 時半起床.
鬱と倦怠感が辛いが何とか起きる.
倦怠感はおそらくこの夏の暑さにやられたものだろう.
食欲が無いので朝食はとらなかった.
昼前に買い物に行く.
野菜や肉を買う.
帰宅して一休みしてから本を読む.
太宰治『晩年』から「道化の華」.
これは, 女性と心中をして自分一人助かった作家が, そのことを小説に書く様子を描いている.
「作家は、おのれのすがたをかき出してはいけない。それは作家の敗北である。美しい感情を以て、人は悪い文学を作る。」
読了.
夕方になってから食事をとる.
ペペロンチーノ.
気力が出ないと簡単なものしか作れない.
早めに布団に入る.
鬱と倦怠感が辛いが何とか起きる.
倦怠感はおそらくこの夏の暑さにやられたものだろう.
食欲が無いので朝食はとらなかった.
昼前に買い物に行く.
野菜や肉を買う.
帰宅して一休みしてから本を読む.
太宰治『晩年』から「道化の華」.
これは, 女性と心中をして自分一人助かった作家が, そのことを小説に書く様子を描いている.
「作家は、おのれのすがたをかき出してはいけない。それは作家の敗北である。美しい感情を以て、人は悪い文学を作る。」
読了.
夕方になってから食事をとる.
ペペロンチーノ.
気力が出ないと簡単なものしか作れない.
早めに布団に入る.
2023年09月14日
鬱が苦しい
朝の鬱が辛くて起き上がれない.
10 時に何とか起きる.
何もやる気が起きない.
遅い朝食をとる.
キャベツと目玉焼きとコーヒー.
午後は読書をしたいと思っていたが, 気分の落ち込みが酷くとてもできそうにない.
自分に対する罪悪感が強い.
今日は何もできない.
まだ夕方にもなっていないが布団に入る.
10 時に何とか起きる.
何もやる気が起きない.
遅い朝食をとる.
キャベツと目玉焼きとコーヒー.
午後は読書をしたいと思っていたが, 気分の落ち込みが酷くとてもできそうにない.
自分に対する罪悪感が強い.
今日は何もできない.
まだ夕方にもなっていないが布団に入る.
2023年09月13日
終日体調が良くない
朝から鬱が辛い. なかなか起き上がれない.
11 時に起きる.
体がだるい. このだるさは, 暑さにやられたということもあるのではないかと思う.
体を動かすために買い物に行く.
野菜や肉などを買う.
大した距離を歩いたわけではないのに, くたくたになってしまう.
横になって休む.
鬱が辛くなってくる.
何とか起き上がって食事.
鶏肉と白菜の鍋.
鬱が苦しい.
今日は買い物と食事しかできなかった.
まだ明るいが布団に入る.
11 時に起きる.
体がだるい. このだるさは, 暑さにやられたということもあるのではないかと思う.
体を動かすために買い物に行く.
野菜や肉などを買う.
大した距離を歩いたわけではないのに, くたくたになってしまう.
横になって休む.
鬱が辛くなってくる.
何とか起き上がって食事.
鶏肉と白菜の鍋.
鬱が苦しい.
今日は買い物と食事しかできなかった.
まだ明るいが布団に入る.
2023年09月12日
新宿に行く
3 時半起床.
今日はいつもの鬱が無い.
穏やかに起き上がれた.
起きてコーヒーを淹れる.
コーヒーの香りで癒される.
それから数学をやる. 圏論の復習.
朝までやって区切りを付ける.
午前中はアルコール依存症の自助グループに行く.
参加人数は少なかったがいいミーティングだった.
そのあと, 新宿に行く.
本を買いたかったのと, 絵の具を買い足したかった.
紀伊國屋書店にいって数学の本を買う.
それから世界堂に行って絵の具を買う.
数学も絵も最近まともにできていないが, どうにか再開したい.
それにしても新宿は人が多くて非常に疲れる.
くたくたになった.
帰宅して横になって休む.
夕方に食事.
ペペロンチーノ.
疲れているときには, 調理が簡単な料理になってしまう.
まだ早いが布団に入る.
今日はいつもの鬱が無い.
穏やかに起き上がれた.
起きてコーヒーを淹れる.
コーヒーの香りで癒される.
それから数学をやる. 圏論の復習.
朝までやって区切りを付ける.
午前中はアルコール依存症の自助グループに行く.
参加人数は少なかったがいいミーティングだった.
そのあと, 新宿に行く.
本を買いたかったのと, 絵の具を買い足したかった.
紀伊國屋書店にいって数学の本を買う.
それから世界堂に行って絵の具を買う.
数学も絵も最近まともにできていないが, どうにか再開したい.
それにしても新宿は人が多くて非常に疲れる.
くたくたになった.
帰宅して横になって休む.
夕方に食事.
ペペロンチーノ.
疲れているときには, 調理が簡単な料理になってしまう.
まだ早いが布団に入る.
