まず, $\mathrm{Hom}$ 関手 (Hom functor) と自然変換 (natural transformation) について復習する.
$\mathscr{C}$ を圏とし, $B \in \mathrm{Ob}(\mathscr{C})$ を $\mathscr{C}$ の任意の対象, $f : C \rightarrow C'$ を $\mathscr{C}$ の任意の射とする.
写像
\begin{equation*}
\newcommand{\Ar}[1]{\mathrm{Ar}(#1)}
\newcommand{\ar}{\mathrm{ar}}
\newcommand{\arop}{\Opp{\mathrm{ar}}}
\newcommand{\Colim}{\mathrm{colim}}
\newcommand{\CommaCat}[2]{(#1 \downarrow #2)}
\newcommand{\Func}[2]{\mathrm{Func}(#1,#2)}
\newcommand{\Hom}{\mathrm{Hom}}
\newcommand{\Id}[1]{\mathrm{id}_{#1}}
\newcommand{\Mb}[1]{\mathbf{#1}}
\newcommand{\Mr}[1]{\mathrm{#1}}
\newcommand{\Ms}[1]{\mathscr{#1}}
\newcommand{\Nat}[2]{\mathrm{Nat}(#1,#2)}
\newcommand{\Ob}[1]{\mathrm{Ob}(#1)}
\newcommand{\Opp}[1]{{#1}^{\mathrm{op}}}
\newcommand{\Pos}{\mathbf{Pos}}
\newcommand{\q}{\hspace{1em}}
\newcommand{\qq}{\hspace{0.5em}}
\newcommand{\Rest}[2]{{#1}|{#2}}
\newcommand{\Sub}{\mathrm{Sub}}
\newcommand{\Src}{d^{0,\mathrm{op}}}
\newcommand{\Tgt}{d^{1,\mathrm{op}}}
\Hom_{\Ms{C}}(B, -) : \Ms{C} \longrightarrow \Mb{Set}
\end{equation*} を, $\mathscr{C}$ の各対象 $C$ に対して
\begin{equation*}
\Hom_{\Ms{C}}(B, -)(C) = \Hom_{\Ms{C}}(B, C),
\end{equation*} $\mathscr{C}$ の各射 $f : C \rightarrow C'$ に対して $\Hom_{\Ms{C}}(B, f) : \Hom_{\Ms{C}}(B, C) \rightarrow \Hom_{\Ms{C}}(B, C')$ を
\begin{equation*}
\Hom_{\Ms{C}}(B, f)(g) = f \circ g \quad (g : B \rightarrow C)
\end{equation*} と定義すると, $\Hom_{\Ms{C}}(B, -) : \Ms{C} \rightarrow \Mb{Set}$ は関手になる.
同様に, 写像
\begin{equation*}
\Hom_{\Ms{C}}(-, B) : \Ms{C} \rightarrow \Mb{Set}
\end{equation*} を, $\Ms{C}$ の各対象 $C$ に対して
\begin{equation*}
\Hom_{\Ms{C}}(-, B)(C) = \Hom_{\Ms{C}}(C, B),
\end{equation*} $\mathscr{C}$ の各射 $f : C' \rightarrow C$ に対して $\Hom_{\Ms{C}}(f, B) : \Hom_{\Ms{C}}(C, B) \rightarrow \Hom_{\Ms{C}}(C', B)$ を
\begin{equation*}
\Hom_{\Ms{C}}(f, B)(g) = g \circ f \quad (g : C \rightarrow B)
\end{equation*} と定義すると, $\Hom_{\Ms{C}}(-, B) : \Ms{C} \rightarrow \Mb{Set}$ は反変関手になる.
自然変換について.
$F : \Ms{C} \rightarrow \Ms{D}$, $G : \Ms{C} \rightarrow\Ms{D}$ を関手とし, $\left\{ \lambda C : FC \rightarrow GC \right\}_{C \in \Ob{\Ms{C}}}$ を $\Ms{C}$ の各対象に渡る射の族とする.
$\Ms{C}$ の任意の射 $g : C \rightarrow C'$ に対して図式
\begin{equation*}
\begin{xy}
\xymatrix@=48pt {
FC \ar[d]_{Fg} \ar[r]^{\lambda C} & GC \ar[d]^{Gg} \\
FC' \ar[r]_{\lambda C'} & GC'
}
\end{xy}
\end{equation*} が可換になるとき, $\lambda$ を関手 $F$ から関手 $G$ への 自然変換 (natural transformation)と呼び, $\lambda : F \rightarrow G$ と記す. 各 $C \in \Ob{\Ms{C}}$ に対する $\lambda C$ を $\lambda$ の 構成要素 (components)と呼ぶ.
関手 $F$ から関手 $G$ への自然変換の全体からなる集合を
\begin{equation*}
\Nat{F}{G}
\end{equation*} と表わす.
実は自然変換 $\lambda : F \rightarrow G$ は関手圏 $\Func{\Ms{C}}{\Ms{D}}$ における射なので,
\begin{equation*}
\Nat{F}{G} = \Hom_{\Func{\Ms{C}}{\Ms{D }}}(F, G)
\end{equation*} である.
以上の準備の元に, 米田の補題は次のように述べられる.
米田の補題 (The Yoneda Lemma).$\,$ $F : \Ms{C} \rightarrow \Mb{Set}$ を関手とし, 写像
\begin{equation*}
\varphi : \Nat{\Hom_{\Ms{C}}(B, -)}{F} \longrightarrow FB
\end{equation*} を任意の自然変換 $\lambda : \Hom_{\Ms{C}}(B, -) \rightarrow F$ に対して
\begin{equation*}
\varphi(\lambda) = \lambda B(\Id{B})
\end{equation*} として定義する. このとき, $\varphi$ は自然な同型 (†1) である.
†1: $\varphi$ が自然な同型 (natural isomorphism) になるという意味は, $\varphi$ が自然変換であって, しかも同型写像を与えることである. 具体的な説明は次の文章で書く.
自然変換 $\lambda : \Hom_{\Ms{C}}(B, -) \rightarrow F$ に対して $\lambda B : \Hom_{\Ms{C}}(B, B) \rightarrow FB$ だから $\lambda B(\Id{B}) \in FB$ であり, $\varphi$ は確かに $\Nat{\Hom_{\Ms{C}}(B, -)}{F}$ から $FB$ への写像となっている.
写像
\begin{equation*}
\psi : FB \rightarrow \Nat{\Hom_{\Ms{C}}(B, -)}{F}
\end{equation*} を, 各 $u \in FB$ に対して $\psi(u) : \Hom_{\Ms{C}}(B, -) \rightarrow F$ を, $g : B \rightarrow C$ について
\begin{equation*}
\psi(u)C(g) = Fg(u)
\end{equation*} として定義する.
この定義により $\psi(u) : \Hom_{\Ms{C}}(B, -) \rightarrow F$ が実際に自然変換となることを見てみる.
$h : C \rightarrow C'$ を $\Ms{C}$ の射とし, 図式
\begin{equation*}
\begin{xy}
\xymatrix@=48pt {
\Hom_{\Ms{C}}(B, C) \ar[d]_{\Hom_{\Ms{C}}(B, h)} \ar[r]^{\psi(u)C} & FC \ar[d]^{Fh} \\
\Hom_{\Ms{C}}(B, C') \ar[r]_{\psi(u)C'} & FC'
}
\end{xy}
\end{equation*} を考える. $\psi(u)$ の定義より, $\Ms{C}$ の射 $g : B \rightarrow C$ に対して
\begin{align*}
Fh \circ \psi(u)C(g) &= Fh \circ Fg(u) = F(h \circ g)(u) \\
~ &= \psi(u)C'(h \circ g) \\
~ &= \psi(u)C' \circ \Hom_{\Ms{C}}(B, h)(g)
\end{align*} が成り立つ. よって上の図式は可換であり, $\psi(u) : \Hom_{\Ms{C}}(B, -) \rightarrow F$ は自然変換である.
$\varphi$ と $\psi$ が互いに他の逆写像になっていることを示す.
それには, 2 つの図式
\begin{equation*}
\begin{xy}
\xymatrix@=48pt {
\Nat{\Hom_{\Ms{C}}(B, -)}{F} \ar[r]^{\hspace{12mm}\varphi} & FB & \Nat{\Hom_{\Ms{C}}(B, -)}{F} \ar[r]^{\hspace{12mm}\varphi} \ar[d]_{\Id{\Nat{\Hom_{\Ms{C}}(B, -)}{F}}} & FB \ar[dl]^{\psi} \\
& FB \ar[ul]^{\psi} \ar[u]_{\Id{FB}} & \Nat{\Hom_{\Ms{C}}(B, -)}{F} &
}
\end{xy}
\end{equation*} が共に可換になることを見ればよい.
まず, 左側の図式を考える. 任意の $u \in FB$ に対して, $\varphi$ と $\psi$ の定義から
\begin{align*}
\varphi \circ \psi(u) &= \varphi(\psi(u)) = \psi(u)B(\Id{B}) = F(\Id{B})(u) \\
~ &= \Id{FB}(u) = u
\end{align*} となる. よって
\begin{equation*}
\varphi \circ \psi = \Id{FB}
\end{equation*} が成り立つが, これは上の左側の図式が可換であることを意味する.
次に, 右側の図式を考える. 自然変換 $\lambda : \Hom_{\Ms{C}}(B, -) \rightarrow F$ を任意にとる. $g : B \rightarrow C$ を $\Ms{C}$ の射とすれば, $\lambda$ が自然変換であることより図式
\begin{equation*}
\begin{xy}
\xymatrix@=48pt {
\Hom_{\Ms{C}}(B, B) \ar[d]_{\Hom_{\Ms{C}}(B, g)} \ar[r]^{\lambda B} & FB \ar[d]^{Fg} \\
\Hom_{\Ms{C}}(B, C) \ar[r]_{\lambda C} & FC'
}
\end{xy}
\end{equation*} は可換である. このことと $\varphi$ と $\psi$ の定義から
\begin{align*}
((\psi \circ \varphi)(\lambda))C(g) &= \psi(\varphi(\lambda))C(g) \\
~ &= \psi(\lambda B(\Id{B}))C(g) = Fg(\lambda B(\Id{B})) \\
~ &= Fg \circ \lambda B(\Id{B}) \\
~ &= \lambda C \circ \Hom_{\Ms{C}}(B, g)(\Id{B}) \\
~ &= \lambda C(g \circ \Id{B}) = \lambda C(g)
\end{align*} となる. よって
\begin{equation*}
\psi \circ \varphi = \Id{\Nat{\Hom_{\Ms{C}}(B, -)}{F}}
\end{equation*} が成り立つが, これは上の右側の図式が可換であることを意味する.
以上より $\varphi$ と $\psi$ は互いに他の逆写像であり, したがって $\varphi$ は同型写像である.
次の文章では, $\varphi$ が自然な同型写像であることを示す.
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