証明中で米田の補題を使うので念のために挙げておく.
米田の補題 (The Yoneda Lemma).$\,$ $F : \mathscr{C} \rightarrow \mathbf{Set}$ を関手とし, 写像
\begin{equation*}
\newcommand{\Ar}[1]{\mathrm{Ar}(#1)}
\newcommand{\ar}{\mathrm{ar}}
\newcommand{\arop}{\Opp{\mathrm{ar}}}
\newcommand{\Colim}{\mathrm{colim}}
\newcommand{\CommaCat}[2]{(#1 \downarrow #2)}
\newcommand{\Func}[2]{\mathrm{Func}(#1,#2)}
\newcommand{\Hom}{\mathrm{Hom}}
\newcommand{\Id}[1]{\mathrm{id}_{#1}}
\newcommand{\Mb}[1]{\mathbf{#1}}
\newcommand{\Mr}[1]{\mathrm{#1}}
\newcommand{\Ms}[1]{\mathscr{#1}}
\newcommand{\Nat}[2]{\mathrm{Nat}(#1,#2)}
\newcommand{\Ob}[1]{\mathrm{Ob}(#1)}
\newcommand{\Opp}[1]{{#1}^{\mathrm{op}}}
\newcommand{\Pos}{\mathbf{Pos}}
\newcommand{\q}{\hspace{1em}}
\newcommand{\qq}{\hspace{0.5em}}
\newcommand{\Rest}[2]{{#1}|{#2}}
\newcommand{\Sub}{\mathrm{Sub}}
\newcommand{\Src}{d^{0,\mathrm{op}}}
\newcommand{\Tgt}{d^{1,\mathrm{op}}}
\varphi : \Nat{\Hom_{\Ms{C}}(B, -)}{F} \longrightarrow FB
\end{equation*} を任意の自然変換 $\lambda : \Hom_{\Ms{C}}(B, -) \rightarrow F$ に対して
\begin{equation*}
\varphi(\lambda) = \lambda B(\Id{B})
\end{equation*} として定義する. このとき, $\varphi$ は自然な同型である.
なお, 自然同型 $\varphi$ の逆となる自然同型 $\varphi^{-1} : FB \rightarrow \Nat{\Hom_{\Ms{C}}(B, -)}{F}$ は任意の $u \in FB$ に対して, 自然変換 $(\varphi^{-1}(u) : \Hom_{\Ms{C}}(B, -) \rightarrow F) \in \Nat{\Hom_{\Ms{C}}(B, -)}{F}$ を
\begin{equation*}
(\varphi^{-1}(u))C(g) = Fg(u) \qquad ((g : B \rightarrow C) \in \Hom_{\Ms{C}}(B, C))
\end{equation*} により与えるものである.
定義: 普遍元, 表現可能関手.$\,$ 米田の補題における自然同型 $\varphi$ に関して $\Ms{C}$ のある対象 $A$ と, ある自然変換
\begin{equation*}
(\beta : \Hom_{\Ms{C}}(A, -) \longrightarrow F) \in \Nat{\Hom_{\Ms{C}}(A, -)}{F}
\end{equation*} で自然同型になっているものが存在する場合を考える.
つまり, $\beta$ は $\Hom_{\Ms{C}}(A, -)$ から $F$ への自然変換かつ同型射であり, $\Ms{C}$ の任意の射 $f : C \rightarrow C'$ に対して図式
\begin{equation*}
\begin{xy}
\xymatrix@=48pt {
\Hom_{\Ms{C}}(A, C) \ar[d]_{\Hom_{\Ms{C}}(A, f)} \ar[r]^{{\beta C} \\ {\sim}} & FC \ar[d]^{Ff} \\
\Hom_{\Ms{C}}(A, C') \ar[r]^{\large\sim}_{\beta C'} & FC'
}
\end{xy}
\end{equation*} は可換になる.
このとき $FA$ の元
\begin{equation*}
u = \varphi(\beta) = \beta A(\Id{A})
\end{equation*} を $F$ に対する 普遍元 (universal element)と呼ぶ. また $F$ を $A$ によって表現される 表現可能関手 (representable functor)と呼ぶ.
普遍元は次の命題によって特徴付けられる.
命題: 普遍元.$\,$ $F : \Ms{C} \rightarrow \Mb{Set}$ を関手, $A$ を $\Ms{C}$ をの対象, $u \in FA$ とする. $u$ が $F$ に対する普遍元となるための必要十分条件は, 任意の $B \in \Ob{\Ms{C}}$ と $t \in FB$ に対して, 写像 $g : A \rightarrow B$ で
\begin{equation*}
Fg(u) = t
\end{equation*} を満たすものが一意的に存在することである.
命題の大まかな証明をまとめておく.
まず, $u$ が $F$ に対する普遍元であると仮定する. 普遍元の定義より, ある自然同型 $\beta : \Hom_{\Ms{C}}(A, -) \rightarrow F$ が存在して,
\begin{equation*}
u = \beta A(\Id{A})
\end{equation*} が成立する.
ここで任意の $B \in \Ob{\Ms{C}}$ と $t \in FB$ に対して $g \in \Hom_{\Ms{C}}(A, B)$ を $t$ の ${\beta}^{-1}B : FB \rightarrow \Hom_{\Ms{C}}(A, B)$ による像として
\begin{equation*}
g = ({\beta}^{-1}B)(t) : A \longrightarrow B
\end{equation*} とおくと, $\beta$ が自然変換であることより図式
\begin{equation*}
\begin{xy}
\xymatrix@=48pt {
\Hom_{\Ms{C}}(A, A) \ar[d]_{\Hom_{\Ms{C}}(A, g)} \ar[r]^{\beta A} & FA \ar[d]^{Fg} \\
\Hom_{\Ms{C}}(A, B) \ar[r]_{\beta B} & FB
}
\end{xy}
\end{equation*} は可換になる. これより普遍元 $u$ に対して
\begin{align*}
Fg(u) &= Fg(\beta A(\Id{A})) \\
&= (Fg \circ \beta A)(\Id{A}) = (\beta B \circ \Hom_{\Ms{C}}(A, g))(\Id{A}) \\
&= \beta B(g \circ \Id{A}) = \beta B(g) = \beta B(({\beta}^{-1}B)(t)) \\
&= t
\end{align*} が成り立つ. さらに $\beta$ が自然同型であることより, このような $g$ は一意的に定まる. したがって, $u \in FA$ が $F$ に対する普遍元ならば, 任意の $B \in \Ob{\Ms{C}}$ と任意の $t \in FB$ に対して写像 $g : A \rightarrow B$ で
\begin{equation*}
Fg(u) = t
\end{equation*} を満たすものが一意的に存在する.
逆に, $u$ が $FA$ の元であって, 任意の $B \in \Ob{\Ms{C}}$ と任意の $t \in FB$ に対して, $\Ms{C}$ の射 $g_t : A \rightarrow B$ で
\begin{equation*}
Fg_t(u) = t
\end{equation*} となるものが一意的に存在する, という性質を満たしていると仮定する. 米田の補題による自然同型を
\begin{equation*}
\varphi : \Nat{\Hom_{\Ms{C}}(A, -)}{F} \longrightarrow FA
\end{equation*} とおく. $u \in FA$ だから, 自然変換
\begin{equation*}
(\beta = \varphi^{-1}(u) : \Hom_{\Ms{C}}(A, -) \rightarrow F) \in \Nat{\Hom_{\Ms{C}}(A, -)}{F}
\end{equation*}
は, 任意の $C \in \Ob{\Ms{C}}$ と $f : A \rightarrow C$ に対して
\begin{equation*}
\beta C(f) = (\varphi^{-1}(u))C(f) = Ff(u)
\end{equation*} を満たす. この式における $f : A \rightarrow C$ として上で定義した $g_t : A \rightarrow B$ をとると, $g_t$ が $Fg_t(u) = t$ を満たすことから
\begin{equation*}
\beta B(g_t) = (\varphi^{-1}(u))B(g_t) = Fg_t(u) = t
\end{equation*} が成り立つ.
一方, $g_t$ の一意性より, 写像
\begin{equation*}
\gamma B : FB \longrightarrow \Hom_{\Ms{C}}(A, B)
\end{equation*} を任意の $t \in FB$ に対して
\begin{equation*}
\gamma B(t) = g_t
\end{equation*} により定義する. 定義により,
\begin{equation*}
\beta B \circ \gamma B(t) = \beta B(g_t) = Fg_t(u) = t.
\end{equation*} となり, $t$ の任意性から
\begin{equation*}
\beta B \circ \gamma B = \Id{FB}
\end{equation*} が成り立つ. 同様に, 任意の $g : A \rightarrow B$ に対して $t_g = Fg(u) = \beta B(g)$ とおけば,
\begin{equation*}
\gamma B \circ \beta B(g) = \gamma B(Fg(u)) = \gamma B(t_g) = g
\end{equation*} なので
\begin{equation*}
\gamma B \circ \beta B = \Id{\Hom_{\Ms{C}}(A, B)}
\end{equation*} となる. 以上のことから $\beta B$ と $\gamma B$ は互いに他の逆写像, すなわち次の 2 つの図式
\begin{equation*}
\begin{xy}
\xymatrix@=48pt {
\Hom_{\Ms{C}}(A, B) \ar[r]^{\beta B} & FB & \Hom_{\Ms{C}}(A, B) \ar[r]^{\beta B} \ar[d]_{\Id{\Hom_{\Ms{C}}(A, B)}} & FB \ar[ld]^{\gamma B} \\
& FB \ar[lu]^{\gamma B} \ar[u]_{\Id{FB}} & \Hom_{\Ms{C}}(A, B) &
}
\end{xy}
\end{equation*} は共に可換になる. さらに $B$ の任意性と $\beta$ が自然変換であったことから $\beta$ は自然同型である. したがって, $u$ は $F$ に対する普遍元である.
次の文章以降においては, 圏における極限 (limit) と余極限 (colimit) について述べる.
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