\begin{equation*}
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\DeclareMathOperator{\Arr}{Arr}
\DeclareMathOperator{\Card}{card}
\DeclareMathOperator{\Codomain}{cod}
\DeclareMathOperator{\Cone}{Cone}
\DeclareMathOperator{\Domain}{dom}
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0 < p < q^2 < 1
\end{equation*} を満たすものを使う. このような有理数は存在するのだが, 実際にどうやれば求まるのか考えてみた.
$0 < p < 1$ だから $1-p > 0$ である. このことにより, 正の整数 $n$ で
\begin{equation*}
n(1-p) \ge 2
\end{equation*} を満足するものが存在する (アルキメデスの公理). これより
\begin{align*}
1-p & \ge \frac{2}{n} = \frac{2n}{n^2} > \frac{2n-1}{n^2}, \\
p & < 1-\frac{2n-1}{n^2}=\frac{n^2-2n+1}{n^2} = \left(\!\frac{n-1}{n}\!\right)^2 < 1
\end{align*} が成り立つ. したがって
\begin{equation*}
q=\frac{n-1}{n}
\end{equation*} とおけばよい.
簡単にまとめたが考え付くまでに結構苦労している. 長い間使っていなかった脳の部分を久し振りに動かした感じがする. この感覚が続いてくれるといい.
タグ： アルキメデスの公理
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