定義 (グラフ). グラフ (graph)$\mathscr{G}$ は 2 つの集合 $A$ と $O$, および 2 つの写像 $d^0,d^1 : A \rightarrow O$ から構成される. $A$ の元を $\mathscr{G}$ の 射 (arrow), $O$ の元を $\mathscr{G}$ の 対象 (object)または ノード (node)と呼ぶ.
$f$ を $A$ の元, すなわち $\mathscr{G}$ の射とするとき, $d^0(f)$ を $f$ の ソース (source)または ドメイン (domain), $d^1(f)$ を $f$ の ターゲット (target)または コドメイン (codomain)と呼ぶ.
$\mathscr{G}, \mathscr{H}$ をグラフとする. 写像 $F : \mathscr{G} \rightarrow \mathscr{H}$ で, $\mathscr{G}$ の対象を $\mathscr{H}$ の対象に, $\mathscr{G}$ の射を $\mathscr{H}$ の射に移すものをグラフの 準同型 (homomorphism)と呼ぶ. つまり $\mathscr{G}$ の各対象 $A$ に対して $F(A)$ は $\mathscr{H}$ の対象であり, $\mathscr{G}$ の各射 $f : A \rightarrow B$ に対して $\mathscr{H}$ の射 $F(f) : F(A) \rightarrow F(B)$ が対応する.
グラフとその準同型はグラフの圏 $\mathbf{Grph}$ を構成する.
※ ここでの定義ではグラフの射の全体 $A$ と対象の全体 $O$ を共に集合であるとしている. しかし $A$ と $O$ が集合ではないようなグラフも考えることができる. グラフの圏 $\mathbf{Grph}$ はこのようなグラフも含んでいる.
グラフは射の合成の無い小さな圏 (small category) である. 実際に小さな圏 $\mathscr{C}$ が与えられたときに, 射の合成を捨象することによって, $\mathscr{C}$ の 台グラフ (underlying graph)$\lvert{\mathscr{C}}\rvert$ を考えることができる. 関手 $F : \mathscr{C} \rightarrow \mathscr{D}$ からはグラフの準同型 $\lvert{F}\rvert : \lvert{\mathscr{C}}\rvert \rightarrow \lvert{\mathscr{D}}\rvert$ が得られる.
$\mathscr{C}$ の各射 $f : A \rightarrow B$ に対して, $d^0(f)=A$, $d^1(f)=B$ である.
写像 $\lvert{-}\rvert : \mathbf{Cat} \rightarrow \mathbf{Grph}$ は圏の圏 (category of categories) $\mathbf{Cat}$ からグラフの圏 $\mathbf{Grph}$ への関手となっている.
定義 (図式).$\mathscr{I}$ をグラフ, $\mathscr{C}$ を圏とする. このとき, 写像 $D : \mathscr{I} \rightarrow \mathscr{C}$ で $D$ から導かれるグラフ間の写像
\begin{equation*}
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\Abs{D} : \sI \longrightarrow \Abs{\sC}
\end{equation*} がグラフ準同型であるものを圏 $\sC$ における型 $\sI$ の 図式 (diagram), $\sI$ を インデックスグラフ (index graph)と呼ぶ. 小さな圏はグラフと見做すこともできるため, $\sI$ は小さな圏であっても良い. 以下では図式 $\Abs{D} : \sI \longrightarrow \Abs{\sC}$ を単に $D : \sI \longrightarrow \sC$ と記す.
インデックスグラフ $\sI$ が有限個の対象と射のみから構成されているとき, $D$ を 有限図式 (finite diagram)と呼ぶ.
例えば, グラフ $\mathscr{I}$ が
\begin{equation*}
\begin{xy}
\xymatrix {
1 \ar[r]^{e_1} & 3 & 2 \ar[l]_{e_2}
}
\end{xy}
\end{equation*} のように定義されているとする. $A,B,C$ を $\sC$ の対象, $f : A \rightarrow C$, $g : B \rightarrow C$ を $\sC$ の射とし, 写像 $D : \sI \rightarrow \sC$ を
\begin{gather*}
D(1)=A, \qq D(2)=B, \qq D(3)=C, \\
D(e_1)=(f : A \rightarrow C), \qq D(e_2)=(g : B \rightarrow C)
\end{gather*} と定義すれば $D$ は圏 $\sC$ における型 $\sI$ の図式であり, $D$ の像として $\sC$ における図式
\begin{equation}
\label{dgm:A->C<-B}
\begin{xy}
\xymatrix@=48pt {
~ & B \ar[d]^{g} \\
A \ar[r]_{f} & C
}
\end{xy}
\end{equation} が構成される.
特別な図式として, 任意の $\sC$ の対象 $A$ に対して得られる図式 $K_A : \sI \rightarrow \sC$ で
\begin{alignat*}{2}
K_A(i) & =A & \quad & (i \in \Ob{\sI}), \\
K_A(e : i \rightarrow j) & = (\Id{A} : A \rightarrow A) & & ((e : i \rightarrow j) \in \Ar{\sC})
\end{alignat*} を考えることができる. この図式を $A$ に値を取る 定数図式 (constant diagram)と呼ぶ. また, $\sI$ が小さな圏で $K_A$ が関手の場合には 定数関手 (constant functor)と呼ぶ. 混乱の恐れが無い場合は定数図式, 定数関手 $K_A$ を単に $A$ と書く.
定義 (図式間の自然変換).$D,E : \sI \rightarrow \sC$ を共に圏 $\sC$ における型 $\sI$ の図式とする. $\sC$ の射の族 $\{ {\lambda i} : D(i) \rightarrow E(i) \}_{i \in \Ob{\sC}}$ で $\sI$ の各射 $e : i \rightarrow j$ に対して図式
\begin{equation}
\label{dgm:naturaltransformation}
\begin{xy}
\xymatrix@=48pt {
D(i) \ar[r]^{\lambda i} \ar[d]_{D(e)} & E(i) \ar[d]^{E(e)} \\
D(j) \ar[r]_{\lambda j} & E(j)
}
\end{xy}
\end{equation} を可換にするものを図式 $D$ から図式 $E$ への 自然変換 (natural transformation)と呼び $\lambda : D \rightarrow E$ と書く.
可換錐 (commutative cone).$W$ を圏 $\sC$ の任意の対象とする. 定数関手 $W$ から図式 $D$ への自然変換 $\alpha : W \rightarrow D$ を, $W$ を頂点とする図式 $D : \sI \rightarrow \sC$ 上の 可換錐 (commutative cone)と呼ぶ. $W$ が定数関手 (ゆえに定数図式でもある) だから, 自然変換の可換図式 (\ref{dgm:naturaltransformation}) は
\begin{equation*}
\begin{xy}
\xymatrix@=20pt {
& & D(i) \ar[dd]^{D(e)} \\
W \ar[urr]^{\alpha i} \ar[drr]_{\alpha j} & & \\
& & D(j)
}
\end{xy}
\end{equation*} のようになる.
$W$ を頂点とする $D$ 上の可換錐全体の集合を
\begin{equation*}
\Cone(W,D)
\end{equation*} によって表わす.
$f : W \rightarrow W'$ を $\sC$ の任意の射とする. このとき, $W'$ を頂点とする任意の可換錐 $\alpha : W' \rightarrow D$ に $W$ を頂点とする可換錐 $\alpha \circ f : W \rightarrow D$ を対応させる写像 $\Cone(f,D) : \Cone(W',D) \rightarrow \Cone(W,D)$ を考えることができる.
\begin{alignat*}{2}
\Cone(f,D) & : \Cone(W',D) & \qq\longrightarrow\qq & \Cone(W,D) \\
~ & \hspace{3.6em}\alpha & \qq\longmapsto\qq &
\hspace{2em}\alpha \circ f
\end{alignat*}
命題.写像 $\Cone(-,D) : \sC \rightarrow \Set$ は反変関手である.
証明.$\alpha : W \rightarrow D$ を可換錐とする.
まず, 恒等射 $\Id{W} : W \rightarrow W$ に対して,
\begin{equation*}
\Cone(\Id{W},D)(\alpha) = \alpha \circ \Id{W} = \alpha = \Id{\Cone(W,D)}
\end{equation*} が成り立つ.
次に, 射 $f : ''W \rightarrow W', g : W' \rightarrow W$ に対して,
\begin{align*}
\Cone({g \circ f},D)(\alpha) & = \alpha \circ (g \circ f) = (\alpha \circ g) \circ f \\
& = \Cone(f,D)(\alpha \circ g) = \Cone(f,D)(\Cone(g,D)(\alpha)) \\
& = \Cone(f,D) \circ \Cone(g,D)(\alpha)
\end{align*} が成り立つ. 以上により $\Cone(-,D)$ は反変関手である.
定義 (極限).$D : \sI \rightarrow \sC$ を圏 $\sC$ における図式とする. このとき, 反変関手 $\Cone(-,D) : \sC \rightarrow \Set$ の普遍元 (universal element) が $\sC$ において存在するばらな, これを図式 $D$ の 極限 (limit)と呼び $\lim{D}$ で表わす.
この意味を考えてみる. 図式 $D$ の極限が $\sC$ において存在すると仮定して, $P=\lim{D}$ とおく. つまり $P$ は反変関手 $\Cone(-,D)$ の普遍元である.
任意の $\sC$ の対象 $W$ に対して米田の補題により,
\begin{equation*}
\Nat(\Hom_{\sC}(-,W),\Cone(-,D)) \simeq \Cone(W,D)
\end{equation*} である. ここで $\Nat(\Hom_{\sC}(-,W),\Cone(-,D))$ は反変関手 $\Hom_{\sC}(-,W)$ から反変関手 $\Cone(-,D)$ への自然変換の全体である.
特に $W=P$ のとき
\begin{equation*}
\Nat(\Hom_{\sC}(-,P),\Cone(-,D)) \simeq \Cone(P,D)
\end{equation*} において, $P$ が普遍元であることから $\Hom_{\sC}(-,P)$ から $\Cone(-,D)$ への自然同型
\begin{equation*}
(\beta : \Hom_{\sC}(-,P) \stackrel{\sim}{\longrightarrow} \Cone(-,D)) \in \Nat(\Hom_{\sC}(-,P),\Cone(-,D))
\end{equation*} が存在する. ここで
\begin{equation*}
p = {\beta P}(\Id{P}) \in \Cone(P,D)
\end{equation*} とおいて得られる $D$ 上の可換錐 $p : P=\lim{D} \rightarrow D$ を $\lim{D}$ に伴う普遍的な可換錐と呼ぶ.
命題.$D : \sI \rightarrow \sC$ を図式とし, $\sC$ においてその極限 $P=\lim{D}$ が存在すると仮定する. $p : P=\lim{D} \rightarrow D$ をこの極限に伴う普遍的な可換錐とする. このとき, $D$ 上の任意の可換錐 $\alpha : W \rightarrow D$ に対して, 一意的な射 $u : W \rightarrow P$ が存在して $\alpha = p \circ u$ が成り立つ.
証明.仮定により, $\Hom(-,P)$ から $\Cone(-,D)$ への自然同型
\begin{equation*}
\beta : \Hom_{\sC}(-,P) \stackrel{\sim}{\longrightarrow} \Cone(-,D)
\end{equation*} が存在する. $u=(\beta^{-1}W)(\alpha)$ とおく. $\beta$ は自然変換だから $u : W \rightarrow P$ に対して図式
\begin{equation*}
\begin{xy}
\xymatrix@=48pt {
\Hom_{\sC}(P,P) \ar[r]^{\beta P} \ar[d]_{\Hom_{\sC}(u,P)} & \Cone(P,D) \ar[d]^{\Cone(u,D)} \\
\Hom_{\sC}(W,P) \ar[r]_{\beta W} & \Cone(W,D)
}
\end{xy}
\end{equation*} は可換になる. これより
\begin{align*}
p \circ u & = \Cone(u,D)(p) = \Cone(u,D)({\beta P}(\Id{P})) \\
& = \Cone(u,D) \circ {\beta P}(\Id{P}) = {\beta W} \circ \Hom_{\sC}(u,P)(\Id{P}) \\
& = {\beta W}(\Id{P} \circ u) = {\beta W}(u) = {\beta W}((\beta^{-1} W)(\alpha)) = {\beta W} \circ {\beta^{-1} W}(\alpha) \\
& = \alpha
\end{align*} が成り立つ.
定義 (完備性).圏 $\sC$ において, 任意の有限図式の極限が存在するとき, $\sC$ は 有限完備 (finite complete)であると言う. さらに任意の図式の極限が存在するとき, $\sC$ は 完備 (complete)であると言う.
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