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【１】 【２】 【３】 【４】 【５】

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■実は、私エージローも大阪で高校生活を送っていたとき、教育熱心だった父母の勧めで旺文社の数学の添削指導を受けていましたが、

その後、社会人となって、大阪道修町の創業300年の製薬会社（東証一部）開発部門から出版社（進学塾併設）に移ったとき、編集部で

教育図書（単行本）や、小学生向けや高校受験用の学習参考書、副教材、5教科の本格的な問題集などを編集したり、英語の問題作成委

員や大阪府の模試の出題チェッカーを担当したりしていました。

最近では、全国に少数精鋭の500人しか居ないというハードな指導陣の一人に抜擢されて、Z会の高校2年の数学(M2S)の通信添削指導

員を8年間にわたって担当し、定年後の現在、小1～中3生～(高卒生)の家庭教師（岡山市内の教材会社と連携する個人事業）や塾講師

（小1～高3生）を続けていますが、悩みの種は英語と数学、特に数学の成績が悪く、苦手意識が強くて伸び悩んでいる生徒さんがとて

も多いことです。

そこで今回、高校受験を控えた会員の皆さんたちの最も苦手とする数学の応用問題、証明問題、図形問題（※注）、文章題、総合問題

などについて、難問を易問に変えてしまうような画期的な解法を開発しましたので、ここに公開していくことにしました。

受験生の皆さんの数学の成績アップに是非お役立てください。

（※注）高校入試の数学において、図形問題の出題率は全体の約39%とされています（旺文社の全国高校入試問題正解数学2015）。

【問題１１】下の図で、1段目は、連続する自然数が小さい順に並んでいる。2段目は、1段目の数をもとに、ある規則に従って数が並ん

でいる。3段目は、2段目の数をもとに、別の規則に従って数が並んでいる。このとき、nの値を求めなさい。（長野・改）
  • 【Ｒ】15-12-21-6連続する自然数規則性長野県数学入試.jpg

【解説】

この問題は中学3年生の生徒さん（受験生）から質問のあった、普段あまり馴染（なじ）みの無いような特殊な形の「数列」の

問題です。

【解答】

1段目は、連続する自然数が小さい順に並んでいて、

2段目は、問題の図の中にあるように、1段目の連続する自然数をn-1、n、n+1（ただしn>1）としたとき、(n-1)n、n(n+1)のように

隣り合う2数の積が小さい順に並んでいる。

また、3段目は、2段目の隣り合う2数、(n-1)n、n(n+1)の和が小さい順に並んでいるので、

この和が392となるときのnを求めればよい。

したがって、

　　　　　(n-1)n+n(n+1)=392 ‥‥‥‥‥‥(1)

が成り立つ。

ゆえに、(1)を解いて、n=±14 　

ここで、n>1より n=14 　

（答）14 　

(2015.12.21.Mon.作成)

【問題１２】図1のように、底面の半径が3cmの円錐がある。この円錐を、図2のように平面上に置き、頂点Oが中心で母線の長さが半

径となる円の上を、すべらないように1周転がした。このとき、円錐は、転がし始めてからもとの位置にもどるまでに、ちょうど5回転

した。この円錐の側面積を求めなさい。（山口）
  • 【Ｒ】15-12-22-9円錐と中心角（山口）.jpg

【解説】

この問題は中学3年生の生徒さん（受験生）から質問のあった融合問題で、立体の側面積と方程式に関する問題です。

着眼点は下記の R:r=5:1、つまり R=5r であることです。

【解答】

図1の円錐の底面の半径をrcm、母線の長さ（=図2の大円の半径）をRcmとすると、題意より

r=3、R:r=360°:360°/5=5:1だから、

R:3=5:1より R=3×5=15cm（=図2の大円の半径）

したがって、求める円錐の側面積Sは図2の大円の面積の1/5だから、

S=π×R×R×1/5=π×15×15×1/5=π×15×3=45π(㎠)

（答）45π ㎠

(2015.12.22.Tue.作成)

【問題１３】AB=6cm、AD=8cmの長方形ABCDがある。対角線BD上にDE=4cmとなるように点Eをとる。2点A、Eを通る直線と辺CD

との交点をFとする。また、辺AB上にAG=5cmとなるように点Gをとり、線分FGと対角線BDとの交点をHとする。
  • 【Ｒ】15-12-23-5京都・三平方の定理と相似問題 (2).jpg

（１）線分BDの長さを求めよ。

（２）BH:HDをもっとも簡単な整数の比で表せ。（京都）

【解説】

この問題は中学3年生の生徒さん（受験生）から質問のあった、「三平方の定理」と「相似」を応用する問題です。

【解答】

BH=xcm、FD=ycmとすると HD=(10-x)cm、AB//FD より △EAB∽△EFDだから、

その相似比は EB:ED=6cm:4cm=3:2

したがって、AB:FD=3:2=6cm:ycm ゆえに、3y=2×6より y=4cm

ゆえに、上記と同様にして、△HBG∽△HDFより、

x(=BH):HD=x:(10-x)=BG:DF=1:4

（答）1:4

なお、x:(10-x)=1:4より、4x=10-x ゆえに、x=2(cm)

(2015.12.23.Wed.作成)

【問題１４】図1の容器は、底面が半径6cmの円である円柱の形をしている。この容器は水平に置かれ、底面から10cmの高さまで水が

はいっている。この容器に図2のように半径3cmの鉄球を静かに沈めたところ、水面が上昇した。

このときの底面から水面までの水の高さを求めなさい。ただし、容器の厚さは考えないものとする。（静岡）
  • 【Ｒ】15-12-30-5立体の体積・静岡.jpg

【解説】

この問題は中学3年生の生徒さん（受験生）から質問のあった、「実生活への活用力」、立体の体積を求める問題です。

【解答】

鉄球の体積Vと、鉄球が押しのけた水の体積は同じだから、水位の上昇分の体積=Vとすればよい。

したがって、求める図2の水の高さをxcmとすると、上昇した水位=(x-10)cmだから、

V=π×3×3×3×4/3=π×6×6×(x-10)　　‥‥…………‥‥(1)

が成り立つ。

ゆえに、(1)より x=11

（答）11cm

(2015.12.31.Thu.作成)

【問題１５】右の図のような、平行四辺形ABCDがあり、点Eは辺BC上の点で、∠BAE=∠DECである。BC=4cm、AE=3cmである

とき、線分BEの長さは何cmですか。（香川）
  • 【Ｒ】15-12-31-8香川数学相似問題１.jpg

【解説】中学3年生の生徒さん（受験生）から質問のあった「相似」と「相似比」を応用する問題です。
【解答】
  • 【Ｒ】16-02-09-13 25広島県数学問題付録図表.jpg

求める線分BEの長さをxcmとすると、△ABEと△DEAにおいて、

仮定とAD//BCより ∠BAE=∠DEC=∠ADE、また ∠DAE=∠AEBであるから、

相似条件「2組の角がそれぞれ等しい」ことから、△ABE∽△DEA が成り立つ。

したがって、EA:AD=3cm:4cmより△ABEと△DEAについて、その相似比は3:4であり、上の【参考】３辺の対応表より、

AB:DE=BE:EA=EA:AD=3cm:4cm=xcm:3cm　‥‥‥‥‥‥‥‥‥‥‥‥‥‥‥‥‥‥‥‥‥‥‥‥‥‥‥‥‥‥‥‥‥(1)

ゆえに、(1)より 3:4=x:3 ゆえに、4x=3×3

したがって、x=9/4(cm)

（答）9/4cm

(2015.12.31.Thu.作成)

【問題１６】右の図において、四角形ABCDはAD//BC、AD＜BCの台形で、対角線BD、ACの中点をそれぞれP、Qとする。

このとき、次の問いに答えなさい。
  • 【Ｒ】16-01-08-6数学・相似図形問題因島２.jpg

（１）PQ//BCであることを、DQの延長と辺BCの交点をEとして証明せよ。

（２）AD=9cm、BC=13cmのとき、PQの長さを求めよ。

【解説】

中学3年生の生徒さん（受験生）から質問のあった「相似」と「相似比」、「合同」、「中点連結の定理」を応用する問題です。

【解答】

（１）△AQDと△CQEにおいて、点Qは対角線ACの中点だから、AQ=CQ ‥‥‥‥‥‥‥‥‥(1)

また、AD//CEより、∠DAQ=∠ECQ ‥‥‥‥‥‥‥‥‥‥‥‥‥‥‥‥‥‥‥‥‥‥‥‥‥(2)

また、対頂角だから、∠AQD=∠CQE ‥‥‥‥‥‥‥‥‥‥‥‥‥‥‥‥‥‥‥‥‥‥‥‥‥(3)

ゆえに、三角形の合同条件「一組の辺(1)とその両端の角(2)(3)がそれぞれ等しい」から、△AQD≡△CQE

したがって、AD=CE、

また、DQ=EQ　‥‥‥‥‥‥‥‥‥‥‥‥‥‥‥‥‥‥‥‥‥‥‥‥‥‥‥‥‥‥‥‥‥‥‥‥‥‥(4)

であり、四角形AECDは平行四辺形である。

ゆえに、△BEDにおいて、点Pは辺BDの中点であり、点Qは(4)より辺EDの中点だから、

「中点連結の定理」より、PQ//BC　（証明終わり）

（２）求めるPQの長さをxcmとすると、（１）より、BE=2xcmだから、

EC=AD=BC-BE=13-2x=9

ゆえに、13-2x=9より x=2cm

（答）2cm
(2016.01.08.Fri.作成)


【問題１７】１箱６０円のチョコレートと１個４０円のあめが売られています。このチョコレートとあめを買うとき、

代金をちょうど５００円にするには、買い方は全部で何通りありますか。　（26広島県）

【解説】

中学3年生の生徒さん（受験生）から質問のあった広島県の公立高校の入試問題で、「一次関数」（直線）のグラフを使って「確率」、

「組み合わせ」を考える「融合問題」です。

普通なら、下の(1)の式ともう一つ、x+y=9、x+y=10、x+y=11、x+y=12のなかのどれか一つの式を組み合わせて連立方程式を立

て、それを解いて、（答）x=3（箱）、y=8（個）などとするところですが、今回の場合は連立方程式の応用問題ではなく、一次関数の

式（＝直線の方程式）が一つしかない場合で、変数（未知数）x、yが「自然数」（正の整数）に限定される場合についての解法です。

【解答】（右下は説明図です）（図をクリックすると画像が大きくなり、より見やすくなります）
  • 【Ｒ】16-01-17-6数学広島県公立高校27入試問題.jpg
チョコレートをx箱、あめをy個買って、その代金をちょうど５００円にするには、

60x+40y=500 ‥‥‥‥‥‥‥‥(1)

が成り立てばよいから、(1)より、3x+2y=25

ゆえに、2y=－3x+25 ‥‥‥‥‥‥‥‥(2)

ここで、(2)の両辺を2で割ったものが上の図のような、いつもの見慣れた「直線」のグラフになるので、

この直線上の点であるx、yの組み合わせについては、x、yがともに同時に自然数（正の整数）でなければならないことから、

先ず、上の図よりxが、

x=1、2、3、4、5、6、7、8 ‥‥‥‥‥‥‥‥(3)

の8通りのときに限られることがわかる。ちなみに、yが自然数になるのは図より、12通り。

したがって、(3)の8通りのx座標それぞれについて、そのときのy座標が自然数になる場合の組み合わせを調べればよい。
  • 【Ｒ】16-01-17-9数学広島県公立高校27入試問題.jpg

ゆえに、上の表より、求める自然数(x,y)の組み合わせ（チョコレートとあめの買い方）は

(x,y)=(1,11)、(3,8)、(5,5)、(7,2)

の4通りとなる。

（答）４通り
(2016.01.17.Sun.作成)

【問題１８】下の図のように、平行四辺形ABCDの辺AB、BCをそれぞれ一辺とする正方形AFEBと正方形BGHCをつくり、点Bと点D、

点Eと点Gをそれぞれ結びます。このとき、△ABD≡△BEGであることを証明しなさい。　（28広島県内）
  • 【Ｒ】16-01-29-10銀河学院28数学7証明問題 (2).jpg

【解説】

この問題は中学3年生の生徒さん（受験生）から質問のあった、受験生が最も苦手とする、三角形の合同についての証明問題です。

【解答】【証明】

△ABDと△BEGにおいて、

四角形AFEBは仮定より正方形だから、AB=BE　‥‥‥‥‥‥‥‥‥‥(1)

また、四角形ABCDは平行四辺形だから、AD=BCであり、

四角形BGHCは正方形だから、BC=BGである。

ゆえに、AD=BC=BGより、AD=BG ‥‥‥‥‥‥‥‥‥‥(2)

したがって、(1)、(2)とあと一つ、

∠BAD（=xとする）と∠EBG（=yとする）が等しければ、三角形の合同条件「2組の辺(1)(2)とその間の角がそれぞれ等しい」

が満たされるので、△ABD≡△BEGが証明される。
  • 【Ｒ】16-01-29-11銀河学院28数学7証明問題.jpg

だから、あとは、x=yだけを導けばよい。

ここで、仮定より、四角形AFEBと四角形BGHCはそれぞれ正方形だから、∠ABE=∠CBG=90°、

また、四角形ABCDは平行四辺形だから、AD//BC、AB//DCより、∠ABC=180°-x

ゆえに、点Bを中心に時計回りに一周する角の合計（=360°）を考えると、

∠ABE+∠ABC+∠CBG+∠EBG=90°+(180°-x)+90°+y=360°

したがって、上記より、360°-x+y=360°　ゆえに、x=y

ゆえに、∠BAD=∠EBG ‥‥‥‥‥‥‥‥‥‥(3)

ゆえに、(1)・(2)・(3)より、△ABD≡△BEG　　（証明終わり）

(2016.01.29.Fri.作成)

【問題１９】下の図は、正三角形ABCを、頂点Aが辺BC上の点Dに重なるように、線分EFを折り目として折り返したものです。

このとき、△EBD∽△DCFであることを証明しなさい。　（28広島県内実力模試）
  • 【Ｒ】16-02-01-6数学第７回実力模試広島県内.jpg

【解説】

この問題は中学3年生の生徒さん（受験生）から質問のあった、受験生が最も苦手とする、三角形の「相似」についての証明問題です。

【解答】【証明】

△EBDと△DCFにおいて、

△ABCは正三角形で、△AEF≡△DEFだから、∠EBD=∠DCF（=60°）　　‥‥‥‥‥‥‥‥‥‥‥‥‥‥(1)

また、∠EDF=∠A=∠B=∠C=60°だから、

∠BED=a、∠BDE=b、∠CDF=c、∠CFD=dとおくと、

△EBDにおいて、a+b+60°=180°　ゆえに、a+b=120°　　‥‥‥‥‥‥‥‥‥‥‥‥‥‥‥‥‥‥‥‥(2)

△DCFにおいて、c+d+60°=180°　ゆえに、c+d=120°　　‥‥‥‥‥‥‥‥‥‥‥‥‥‥‥‥‥‥‥‥(3)

また、点Dの周りの角について、b+c+60°=180°　ゆえに、b+c=120°　　‥‥‥‥‥‥‥‥‥‥‥‥‥(4)

ここで、(2)+(3)+(4)より、a+b+c+d+b+c=120°×3 これより a+d+2(b+c)=360°

ゆえに、(4)より、a+d+2×120°=360°　これより　a+d=120° ‥‥‥‥‥‥‥‥‥‥‥‥‥‥‥‥‥‥(5)

ここで、(3)-(5)より、 (c+d)-(a+d)=0 ゆえに、c+d-a-d=0より、a=c

ゆえに、∠BED=∠CDF　　‥‥‥‥‥‥‥‥‥‥‥‥‥‥‥‥‥‥‥‥‥‥‥‥‥‥‥‥‥‥‥‥‥‥‥(6)

または、(2)-(5)より、 (a+b)-(a+d)=0 ゆえに、a+b-a-d=0より、b=d

ゆえに、∠BDE=∠CFD　　‥‥‥‥‥‥‥‥‥‥‥‥‥‥‥‥‥‥‥‥‥‥‥‥‥‥‥‥‥‥‥‥‥‥‥(7)

ゆえに、(1)・(6)・(7)より、三角形の相似条件「二組の角がそれぞれ等しい」を満たすので、△EBD∽△DCF　　（証明終わり）

(2016.02.01.Mon.作成)

【問題２０】ある中学校の去年の合唱部の部員は、男女合わせて32人であった。

今年は、去年より男子部員は25％、女子部員は15％それぞれ増加し、増加した人数は男女とも同じであった。

去年の男子部員をx人、去年の女子部員をy人として連立方程式をつくり、今年の男子部員と女子部員の人数を求めなさい。 （兵庫）

【解説】

この問題は中学3年生の生徒さん（受験生）から質問のあった、受験生が最も苦手とする、連立方程式の応用問題です。

【解答】

去年の男子部員をx人、去年の女子部員をy人とすると、去年の部員は男女合わせて32人であったので、

x+y=32 ‥‥‥‥‥‥‥‥‥‥‥‥‥‥‥‥‥‥‥‥‥‥‥‥‥‥‥‥‥‥‥‥‥‥‥‥‥‥‥‥‥‥‥‥‥(1)

また、今年の男女の増加した人数は同じであったので、

0.25x=0.15y ‥‥‥‥‥‥‥‥‥‥‥‥‥‥‥‥‥‥‥‥‥‥‥‥‥‥‥‥‥‥‥‥‥‥(2)

ゆえに、(2)より、25x=15y ゆえに、

5x-3y=0 ‥‥‥‥‥‥‥‥‥‥‥‥‥‥‥‥‥‥‥‥‥‥‥‥‥‥‥‥‥‥‥‥‥‥‥‥‥‥‥‥‥‥‥‥‥(3)

ここで、(1)×3+(3)より、(3x+5x)+(3y-3y)=32×3+0 ゆえに、x=12（人）

ゆえに、(1)より、y=32-x=32-12=20（人）

したがって、今年の男子部員の人数x'は、x'=1.25x=1.25×12=15（人）、

また、今年の女子部員の人数y'は、y'=1.15y=1.15×20=23（人）となる。

（答）今年の男子部員15人、今年の女子部員23人

(2016.02.03.Wed.作成)

　‥‥‥【文責・写真】エージロー（２０１６．１２．０７．Ｗｅｄ．更新）
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名曲「アルプス一万尺」のメロディーに乗せて、10秒ほどで歌ってすぐ覚えられる簡単な方法もあります。（youtubeより）

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■ えっ、そんな食品が！？３０００人以上の認知症患者を指導してきた薬剤師が教える、ボケを予防する食材４選

by 一般社団法人認知症予防研究協会 副会長 浜崎貴志（薬剤師） (2018.09.20.Thu.) 総合認知対策サプリメント：アルツブロック

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