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■実は、私エージローも大阪で高校生活を送っていたとき、教育熱心だった父母の勧めで旺文社の数学の添削指導を受けていましたが、

その後、社会人となって、大阪道修町の創業300年の製薬会社（東証一部）開発部門から出版社（進学塾併設）に移ったとき、編集部で

教育図書（単行本）や、小学生向けや高校受験用の学習参考書、副教材、5教科の本格的な問題集などを編集したり、英語の問題作成委

員や大阪府の模試の出題チェッカーを担当したりしていました。

最近では、全国に少数精鋭の500人しか居ないというハードなZ会の指導陣の一人に抜擢されて、高校2年の数学(M2S)の通信添削指導

員を8年間にわたって担当し、定年後の現在、小1～中3生～(高卒生)の家庭教師（岡山市内の教材会社と連携する個人事業）や塾講師

（小1～高3生）を続けていますが、悩みの種は英語と数学、特に数学の成績が悪く、苦手意識が強くて伸び悩んでいる生徒さんがとて

も多いことです。

そこで今回、高校受験を控えた会員の皆さんたちの最も苦手とする数学の応用問題、証明問題、図形問題（※注）、文章題、総合問題

などについて、難問を易問に変えてしまうようなオリジナルで画期的な解法を開発しましたので、ここに公開していくことにしました。

受験生の皆さんの数学の成績アップに是非お役立てください。

（※注）高校入試の数学において、図形問題の出題率は全体の約39%とされています（旺文社の全国高校入試問題正解数学2015）。

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【問題２１】xを一の位が０でない２桁の正の整数とし、yをxの十の位と一の位を入れ替えた２桁の正の整数とする。

このとき、次の問いに答えなさい。

（１）x=12のとき、x+3yの値を求めなさい。

（２）xの一の位をa、十の位をbとするとき、整数x、yをそれぞれa、bを用いた式で表しなさい。

（３）等式x=y+45を満たす正の整数xをすべて求めなさい。

（４）2x+7yは9の倍数である。その理由を説明しなさい。（28広島県内）

【解説】（３）は３つの等式を用いて、aの関数xを導き出し、aとxそれぞれの変域内で求めるxを考えればよい。

【解答】（１）x=12のとき、y=21だから、

x+3y=12+3×21=12+63=75

（答）75

（２）x=10b+aと表されるとき、y=10a+bと表される。

（答）x=10b+a、y=10a+b

（３）x=y+45‥‥‥‥‥‥‥‥‥‥‥‥‥‥‥‥‥‥‥‥‥‥‥‥‥‥‥‥‥‥‥‥‥‥‥‥‥‥‥‥‥‥‥(1)

x=10b+a‥‥‥‥‥‥‥‥‥‥‥‥‥‥‥‥‥‥‥‥‥‥‥‥‥‥‥‥‥‥‥‥‥‥‥‥‥‥‥‥‥‥‥‥‥(2)

y=10a+b‥‥‥‥‥‥‥‥‥‥‥‥‥‥‥‥‥‥‥‥‥‥‥‥‥‥‥‥‥‥‥‥‥‥‥‥‥‥‥‥‥‥‥‥‥(3)

とおくとき、自然数a、b は、

1≦(a, b)≦9‥‥‥‥‥‥‥‥‥‥‥‥‥‥‥‥‥‥‥‥‥‥‥‥‥‥‥‥‥‥‥‥‥‥‥‥‥‥‥‥‥‥‥‥(4)

を満たし、(2)のxは(4)を満たす2桁の自然数だから、

11≦x≦99‥‥‥‥‥‥‥‥‥‥‥‥‥‥‥‥‥‥‥‥‥‥‥‥‥‥‥‥‥‥‥‥‥‥‥‥‥‥‥‥‥‥‥‥‥(5)

ここで、(2)・(3)を(1)に代入して、10b+a=(10a+b)+45 　

ゆえに、b=a+5‥‥‥‥‥‥‥‥‥‥‥‥‥‥‥‥‥‥‥‥‥‥‥‥‥‥‥‥‥‥‥‥‥‥‥‥‥‥‥‥‥‥(6)

ここで、(6)を(2)に代入して、x=10(a+5)+a=11a+50

ゆえに、x=11a+50‥‥‥‥‥‥‥‥‥‥‥‥‥‥‥‥‥‥‥‥‥‥‥‥‥‥‥‥‥‥‥‥‥‥‥‥‥‥‥‥(7)

したがって、(4)・(5)と(7)より、a軸（ヨコ軸）とx軸（タテ軸）の座標平面で直線(7)のグラフを考えればよい。

ゆえに、上のグラフより、

(a, x)=(1, 61)、(2, 72)、(3, 83)、(4, 94)の4通りの組み合わせがあるので、

求めるxはx=61、72、83、94となる。

（答）61、72、83、94　

（４）（２）の(2)・(3)を2x+7yに代入して、

2x+7y=2(10b+a)+7(10a+b)=72a+27b=9(8a+3b) ‥‥‥‥‥‥‥‥‥‥‥‥‥‥‥‥‥‥‥‥‥‥‥‥(8)

ここで、自然数a、bは(4)を満たすから、(8)の(8a+3b)も自然数であり、したがって、2x+7yは9の倍数である。（説明終わり）

(2016.03.13.Sun.作成)

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【問題２２】右の図のように、円Oの周上に4点A、B、C、Dがあり、線分ACは円Oの直径で、AB=12cm、BC=6cmである。

点Eは線分ABを点Bの方向に延長した直線上の点で、BE=6cmである。線分CEと線分DBは平行で、線分DBと線分ACの交点をFとする。　　

このとき、次の問いに答えなさい。

（１）△ABF∽△DCFとなることを証明しなさい。

（２）線分DFの長さを求めなさい。（28広島県内模試）

【解説】中学3年生の生徒さん（受験生）から質問のあった、受験生の最も苦手とする「三角形の相似」、「円周角」を使った図形・証

明の問題ですが、下にあるような相似な三角形の３辺の対応一覧表を作ることで、図形問題は快刀乱麻、一目瞭然となるので、ぜひ参考

にし、しっかり活用してください。

【解答】（１）△ABFと△DCFにおいて、

弧ADの円周角だから、　∠ABF=∠DCF ‥‥‥‥‥‥‥‥‥‥‥‥‥‥‥‥‥‥‥‥(1)

また、弧BCの円周角だから、 ∠FAB=∠FDC ‥‥‥‥‥‥‥‥‥‥‥‥‥‥‥‥‥‥(2)

また、対頂角だから、　∠AFB=∠DFC ‥‥‥‥‥‥‥‥‥‥‥‥‥‥‥‥‥‥‥‥‥(3)

ゆえに、(1)と(2)または(3)より、三角形の相似条件「二組の角がそれぞれ等しい」から、△ABF∽△DCF（証明終わり）

（２）ACは円Ｏの直径だから、∠ADC=∠ABC=90°（円周角）、

また、CE//DB、BC=BE=6cmより、△BECは∠CBE=90°の直角二等辺三角形だから、

∠E=∠ECB=∠CBD=∠CAD（円周角）=∠ACD=∠ABD（円周角）=45°。

ゆえに、３つの△AEC、△ABF、△DCFが相似となり

下の表のような３辺の対応表ができる。

上の表のy、z、wはそれぞれAE:AB=EC:BF(y)、AE:AB=CA:FA(z)、AE:DC=EC:CF(w)より簡単に求めることができます。

(2016.03.15.Tue.作成)

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【問題２３】右の図のように、大小２つのさいころを同時に１回投げ、大きいさいころの出た目の数と同じ区間だけ、点Pを時計回り

に、小さいさいころの出た目の数と同じ区間だけ、点Qを反時計回りに進める。

例えば、大きいさいころの出た目が１、小さいさいころの出た目が３のとき、点Pは点E、点Qは点Dに進む。

このとき、次の問いに答えなさい。

（１）点Pと点Qがともに点Aにある確率を求めなさい。

（２）点Pと点Qが同じ点にある確率を求めなさい。

（３）３点A、P、Qを直線で結ぶとき、三角形ができる確率を求めなさい。（28広島県内）

【解説】中学3年生の生徒さん（受験生）から質問のあった、受験生の最も苦手とする「確率」の問題ですが、

下にあるような一覧表を作ることで、確率は電光石火、一目瞭然となるので、ぜひ参考にし、しっかり活用してください。

【解答】（１）点Pと点Qはともに１～６の自然数だから、出た目により、以下のような一覧表ができる。

したがって、6×6=36通りのうち、AAとなるのは（P, Q）=(5, 5)の1通りだけなので、求める確率は1/36となる。

（答）1/36

（２）（１）と同様に、6×6=36通りのうち、一覧表より、

(P, Q)=AA(5, 5)、BB(4, 1)、BB(4, 6)、CC(3, 2)、DD(2, 3)、EE(1, 4)、EE(6, 4)

の7通りとなるので、求める確率は7/36となる。

（答）7/36

（３）（１）・（２）と同様に、6×6=36通りのうち、

３点A、P、Qを直線で結ぶとき三角形ができるのには一覧表より、◯印の付いた19通りがあるので、求める確率は19/36となる。

（答）19/36

(2016.03.15.Tue.作成)

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【問題２４】拓也さんの家から1500m離れた学校まで、まっすぐで平らな道があります。拓也さんは、7時に家を出発し、この道を

分速50mの速さで学校へ向かっていましたが、途中で忘れ物をしていることに気付き、分速100mの速さで家まで取りに帰りました。

その後、忘れ物を家まで取りに帰ったときと同じ速さですぐに学校に向かったところ、7時30分に学校に着きました。はじめに家を出発

してからx分後の拓也さんと家との距離をymとして、xとyの関係を表すグラフをかきなさい。ただし、家に帰ってから忘れ物を取り

再び家を出るまでの時間は考えないものとします。

※　下の図は、下書きに使っても構いません。解答は必ず解答用紙にかきなさい。（28広島）

【解説】中学3年生の生徒さん（受験生）から質問のあった、受験生の最も苦手とする「関数の応用問題・文章題」ですが、到着点から

逆にさかのぼってたどると解きやすく理解しやすい問題となっています。

【解答】拓也さんは30分後に家から1500m離れた学校に着くので、図の右上の端（角）の点、到着点をC(30, 1500)、途中忘れ物を家

まで取りに帰り再び学校に向かった図上の点をB(x, 0)、忘れ物に気が付いたときの図上の点をA(x, y)、家を出発したときの図上の点を

原点Ｏ(0, 0)として、逆にたどってまとめると、以下のようになる。

C(30, 1500) ⇒ B(x, 0) ⇒ 　 100m/分　⇒　　　　y=100x+m　‥‥‥‥‥‥‥‥‥(1) （=直線CB）

B(x, 0) ⇒ A(x, y) ⇒　　　 100m/分　 ⇒ 　　　　 y=-100x+n ‥‥‥‥‥‥‥‥‥(2) （=直線BA）

A(x, y) ⇒ Ｏ(0, 0) ⇒ 　　　 50m/分　 ⇒ 　　　　 y=50x ‥‥‥‥‥‥‥‥‥‥‥‥(3) （=直線AＯ）

　　　　　ただし、0≦x≦30、0≦y≦1500

したがって、これらより、(1)にC(x, y)=(30, 1500)を代入して、1500=100×30+m よりm=1500-3000=-1500

ゆえに、 (1)：y=100x-1500　‥‥‥‥‥‥‥‥‥‥‥‥‥‥‥‥‥‥‥‥‥‥‥‥‥‥(1)’　（=直線CB）

つぎに、(1)’にB(x, y)=(x, 0) よりy=0を代入して、0=100x-1500 より、　　100x=1500

ゆえに　x=15 したがって、点B(15, 0)

これより、(2)にB(x, y)=(15, 0)を代入して、0=-100×15+n　より、n=1500

ゆえに、 (2)：y=-100x+1500　‥‥‥‥‥‥‥‥‥‥‥‥‥‥‥‥‥‥‥‥‥‥‥‥‥(2)’　（=直線BA）

したがって、(2)’と(3)の交点A(x, y)は、-100x+1500=50x より、150x=1500

ゆえに、x=10 このとき、y=50x=50×10=500 ゆえに、点A(10, 500)

したがって、求める折れ線グラフは、

原点Ｏ(0, 0)（拓也さんの家） ⇒ 点A(10, 500) ⇒ 点B(15, 0) ⇒ 到着点C(30, 1500)（学校）の4点をその順に直線で結べばよい。

（答）以下のグラフ

[お詫びと訂正] 上記の「（答）以下のグラフ」の図のおいて、一か所ミスがありました。お詫びし以下のように訂正します。

（誤）点C（300,1500）→（正）点C（30,1500） (2017.10.28.Sat.更新)　

(2016.03.15.Tue.作成)　

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【問題２５】あるバスセンターから、Ａ町行きのバスが８分ごと、Ｂ町行きのバスが６分ごとに出発します。

午前８時に両方のバスが同時に発車します。

正午までにＡ町行きのバスとＢ町行きのバスが同時に発車することは何回ありますか。

【解説】私エージローは現在、中学受験を控えた小学６年の生徒を受け持っていますが、

これは５月１日（日）付のちゅーピー子ども新聞第１５６号（中国新聞の別刷り）の算数のコーナー

「基礎ばっちり学力しっかり　わかる算数　倍数と公倍数」（１０ページ）において、

チャレンジ問題として取り上げられた問題（小学５年以上）です。

【解答】このチャレンジ問題の「答えと解説」（１２ページ）では、以下のようになっています。

「＜答え＞11回

２台のバスは８分と６分ごとに発車します。８と６の最小公倍数は24なので、２台は24分ごとに同時に発車します。

午前８時から正午までの時間は４時間＝60分×4＝240分なので、240分÷24分＝10回ありますが、

午前８時０分の時にすでに1回同時に発車することになるので、10＋1＝11回、同時に発車することになります。

今回は「倍数と公倍数」について勉強してきました。みなさんもいろいろな数の公倍数を考えてみてください。」

ところが、私が実際に発着時刻表を作って詳しく検討した結果、「答え」は「11回」ではなく「10回」でした。

その詳細については、以下の通りです。

８時台と１０時台では、それぞれ００分、２４分、４８分の各３回

９時台と１１時台では、それぞれ１２分、３６分の各２回

ゆえに、その合計＝３回×２＋２回×２＝６回＋４回＝３回＋２回＋３回＋２回＝１０回

偶数時の正午（１２時）丁度の時も含めると、１回増えて、１１回が正解となります。

つまり、8:00と12:00のとき、２台のバスは同時発車するので、8:00と12:00の両端を含めると、１回増えて、

総合計は１１回ということになります。

「正解」は「10回」だろうと思いますが、現在、中国新聞社に問い合わせ中です。

（問い合わせ翌日、5月2日の結論は、妻の電話対応によると、「11回」ということでした。）

なお、発着時刻表は現在、制作中ですが、発着時刻表が完成すれば、「10回」は一目瞭然です。12:00を含む１２時台は別グループだ

からです。12:00は１２時台、つまり「12:00～13:00」の１２時台グループに入っています。問題の範囲は8時台と9時台と10時台と

11時台に限定されているので、１２時台は問題の範囲外ということになります。つまり、8:00は範囲内、12:00は範囲外です。

(2016.05.01.Sun.作成)　　　　　　　(2018.04.28.Sat.追加更新)　

　‥‥‥【文責・写真】エージロー（２０１８．０４．２８．Ｓａｔ．更新）

‥‥‥‥‥‥‥‥‥‥‥‥‥‥‥‥‥‥‥‥‥‥‥‥‥‥‥‥‥‥‥‥‥‥‥‥‥‥‥‥‥‥‥‥‥‥‥‥‥‥‥‥‥‥‥‥‥‥‥‥‥

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国立循環器病研究センターと「より発芽した玄米」を共同研究！本当に発芽した真の発芽玄米：白米より栄養価が高い「発芽玄米」

発芽玄米とは、玄米をわずかに発芽させたお米のこと。白米と比べて栄養を多く含む玄米よりさらに栄養価値が高くおいしさもアップ

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■ 50代でもまだ間に合う⁉⁉骨密度を高める注目成分とは by 雪印メグミルク（株） (2019.01.10.Thu.)

■ ー教育通信ナビー「自ら学習する習慣をつけてほしい‥‥！」その願いを叶える最短ルートをお教えします！

1月15日更新 by （株）ジャストシステム（東証一部上場） (2019.01.15.Tue.)

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■ 広島県教育委員会ホ－ムページ　ホットライン教育ひろしま　選抜（II）入試問題 by 広島県教育委員会 (2019.02.17.Sun.)

■ 音声翻訳機6種を比較！小型なのに英語も中国語も韓国語もOK!～英語、仕事、勉強。いろんな「わかった！」をお届け。～ by GOTCHA! (2019.02.28.Thu.)

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「リゲイントリプルフォース」 by 第一三共ヘルスケア (2019.03.01.Fri.)

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■ 【中学数学】中央値（メジアン）の求め方がわかる３ステップ（中学１年生の数学勉強法） by Qikeru (2019.03.10.Sun.)

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■ 第１回全国統一防災模試（解答一覧） by Yahoo!JAPAN (2019.03.13.Wed.)

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■ ＭＯＳ検定（資格）って何？ご自宅でも学べる全国対応パソコン教室キュリオステーション by パソコンアカデミー (2019.03.19.Tue.)

MOS資格は「意味ないし、使えない」って先輩に言われたけど、実際はどうなの？

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■ 安価ドローンは2019年で最も素晴らしい発明です、今急速に広まっています‥‥ by TECHIEFANS (2019.03.25.Mon.)

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■ 17世紀制作、現存する唯一の「初の日本国」ゼンリンが購入・公開へ by 毎日新聞 (2019.03.25.Mon.)

■ 歴史をわかりやすく解説！ヒストリーランド by ヒストリーランド (2019.04.09.Tue.)

■ ママが試した子育て応援ドリンク！ニッスイの『みんなのみかたDHA』

商品開発にママが参加！？ by 日本水産 (2019.04.11.Thu.)

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■ 新経世済民新聞独占公開安倍総理の告白日本経済2020年危機経済学の「嘘」が日本を滅ぼす

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■ 知ってる？落としやすい「内臓脂肪」とは？内蔵脂肪を減らす多機能たんぱく質「ラクトフェリン」とは？

「最近内臓脂肪が気になる」「健康診断でBMIが高めと言われた」。歳を重ねるごとにそんな声がちらほら。事実４０～６０代のうち、

男女を合わせて５人に１人はBMI２５～３０というデータも出ています。（厚生労働省平成28年国民健康・栄養調査報告。日本肥満学

会の肥満度の判定基準によればBMI２５以上３０未満は肥満（1度）判定とされています。） by ライオン (2019.05.12.Sun.)

■ すどぷらβ とは？ by サイトＡ (2019.05.25.Sat.)

■ 「まだヨーグルトで腸活してるの？」本当に腸まで届く！「殺菌乳酸菌」（EC-12）を使った乳酸菌サプリ！

by 久光製薬 (2019.05.26.Sun.)

■ 脳梗塞解説ガイド～脳梗塞の原因・対策について徹底解説～ by 流れて良くなる.com (2019.06.03.Mon.)

■ パーソルパナソニック HR パートナーズ（CAD関連） by Persol (2019.06.04.Tue.)

■ みんなの高校情報（広島） by みんなの高校情報 (2019.06.23.Sun.)

■ Google+サービスは終了いたしました by Google (2019.06.26.Wed.)

■ 西鋭夫のフーヴァートレジャー～持ち去られた日本の記憶～最終判決・東京裁判 by ダイレクト出版 (2019.07.01.Mon.)

■ 歌詞タイム（H2Oなど） by 歌詞タイム (2019.07.03.Wed.)

■ 健康長寿ネット「レシチン・コリンの効果と摂取量」 by 公益財団法人長寿科学振興財団 (2019.07.10.Wed.)

■ ビジネスニュース：「８１文」覚えるだけで、英語は話せる。「かけ算九九」のように英語を覚えられる”目からウロコ”の学習法

by （有）ウェンズデー (2019.07.12.Fri.)

■ 大人の健康生活コラム：男性必見！中性脂肪が高いまま放置すると… EPAとDHA（シームレスカプセル）のお話。

by 日本水産 (2019.07.14.Sun.)

■ 慢性胃炎 [治療]従来より暴飲暴食、過度の飲酒やストレスを避け、規則正しい生活を心掛けることが推奨されています‥‥

by 時事メディカル (2019.07.15.Mon.)

■ 「架電の件」って何の件？－意味と使い方【ビジネス用語】 by （株）マイマビ (2019.07.19.Fri.)

■ Z会夏伸びキャンペーン（中1～中3対象） by Z-kai (2019.07.29.Mon.)

■ ウルフ村田の株式投資法とは？ by ジャパンインベストメントスクール (2019.08.02.Fri.)

■ ベネッセ教育情報サイト～定期テスト対策中学理科【植物の生活と種類】植物は二酸化炭素を吸うのか？吐くのか？

by Benesse Corporation (2019.08.07.Wed.)

■ エンジニアの求人：パーソルパナソニック HR パートナーズ CAD操作・設計の求人情報

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‥‥【４】へつづく。

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