下北沢八郎の場合

１次元結晶での格子振動

　結晶中の原子はそれぞれお互いにバネのようなものでつながっていると考える。このことを時間が経つとすぐにぼんやりしてしまう。ぼんやりしてしまうということは、あまり理解していないということなのかもしれない。でもやっぱりちゃんと説明がされていないからだという気もするけど。

とにかく、原子間距離とエネルギーの曲線が、極小点近辺の形がバネの場合と似ているからそれで置き換えて考える…でいいんだろうな。格子振動を扱うときは、この曲線を頭に思い浮かべるようにすればいいのかもしれない。

ということで格子振動を考えるときは、結晶内の原子は…ありゃ？　いつのまにか結晶についての話になっていた。結晶は厳密なルールで原子が並んでいるから、性質も見つけやすかったのかな。非結晶って、たとえばSiO2についてはほとんど本で読んだことがないのはやっぱりよく分かっていないということなのだろうか。とにかく初心者はまず結晶のことを勉強しよう。

結晶内の原子はおたがいにバネでつながっていると考えて、まず簡単な１次元モデルを考えるというのがパターンのようだ。

となると働く復元力は周りの原子からの力であって、格子点そのものによるわけではない。だから復元力は格子点からの距離に比例するのではなく、原子間距離に比例する。このことから個々の原子の振動は独立ではなく、互いに結びついていて、“練成振動系”を作っている。

練成振動系。難しいな。ひとつの原子が動くと隣の原子も引っ張られて動く。そうするとまた隣の原子も動く…ということか。ひとつひとつが好き勝手に動くことができないというのは直感的になんとか分かる。分かるような気がする。

この振動の様子を数式で求めるのが、最初わかりにくかった。ゆっくり何回も見てすこしずつ分かってきた。

バネのときの運動方程式を作るが、力は左右の原子から働いているので左右の原子との間の距離を出すのを理解するのだけでかなり時間がかかってしまった。自分とその両隣の変位を含んだ運動方程式からいろいろ性質を見つける。結構面倒。三角関数の加法定理とか思い出さなければならない。
　ごちゃごちゃやって出てくる式が（適当）、
　　　　　Mω2 = f (1-cosqa) = 2f sin2(qa/2)
ωがqの関数になる。qは波数とよばれ、
　　　　　q = 2π/λ
の関係にある。波長そのものよりも波数の方が、一般に式が簡単になりまた便利なので、よく使われる。

最初他の本で波数というのが出てきて、さっぱりわからなかった。波数ってわかる人は何割いるかな。シュポルスキーの本では1/λだったような。違ったかな。

上の式をωについて解くと、
　　　　　ω = √(2f/M) × |sin(qa/2)|　　　　（見にくい）

　お互いにバネでつなぐと、こんなルールができあがるわけね。これが練成振動系の中にある原子のルールなのですか。結構面倒くさいんですけど。

　高校の時は、形式的に
　　　　　ω = 2πf , v = fλ　と習った。fは周波数。
　これから
　　　　　ω = 2π(v/λ) = (2π/λ)v = qv

　なんか普通はωは正の値だけをとるそうで。

　上のωはqに対して周期的に変化する。これはいい。見ればわかる。

　しかし、実際に意味があるのはそのなかの一周期分で、普通は-π/aからπ/aの範囲だけを考える。このようなqの領域を第１ブリユアン域とよばれている。

　最初さっぱりわからなかった。知りたいのは結晶の中の原子の状態である。究極のミクロの状態にあるので、原子の間にはなんにもない。だから原子というのかもしれないが。だから、原子の状態だけしって、その間のことは関知しないということになれば、波数は第１ブリユアン域だけで事は足りる。ってことでいいのかな。

　第１ブリユアン域右端のq = π/aの波は左端-π/aの波と同じである。

　これもかなり重要だったような。でもまだ理解が浅くて重要さが理解できないでいる。

　実際の原子の運動は、簡単な単振動ではなく、多くの波の重ね合わせで表される。だから原子の振動の形は単振動ではなく複雑な形をしている。複雑というのは、パッと身はまったく周期運動には見えないということか。すべてが重ね合わされた全体の波を見ると、なにかを得ることは難しそうだが、それを波に分解すると、個々の波は互いに独立していて、簡単な特性が得られる。これってフーリエ級数展開っていいのよね。

　この独立したそれぞれの運動を基準モード（nomal mode）の運動、または格子波(lattice wave)という。

　なにが基準だか、ノーマルなのか、いまいち。

　波長が十分長いときは格子波は弾性波になる…か。互いに近くにある原子はあまり位相差なくそろって運動する。

　弾性波って音のこと？　普通の弾性波ってなに？　格子波は長波長で弾性波と一致する。
う～ん。まだ難しい。

　短波長にすると、不連続な原子構造の影響が現れ、違ってくる。とびとびにあるのが、なんかまずいの？

　というと、不連続な原子構造の影響がないのが、長波長の場合？　

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