DR650ある生活

共に開いている状態からスタート して





↓


(a)スイッチ１を閉じる。（スイッチ２は開いている）





↓ 十分に時間がたってから


(b)スイッチ１を開き、スイッチ２を閉じる





↓ 十分に時間がたってから（ ここで１回カウント ）


(c)スイッチ２を開き、スイッチ１を閉じる





↓ 十分に時間がたってから


(d)スイッチ１を開き、スイッチ２を閉じる





↓ 十分に時間がたってから（ ここで１回カウント ）

・
・　　（以下無限ループ）
・



以上のように計りました。



ここで
「n回目」から「n＋1回目」の
電荷の流れを探るために

スイッチ２を閉じて十分に時間がたった状態






に至ってからを
１回の作業とカウント

さらに




↑電荷が溜まっていく時の符号の様子

を上図のように仮定して考察を開始します。





＜考察＞



まず n回目 を終えた状態について。

一連の切り替えをn回終え十分に時間がたったあと の

コンデンサーに囲まれた
孤立部分の点Aの電位を Vn とすると

孤立部分点Aとアースとの電圧がVnになるということだから

コンデンサーの電気量の関係式Q=CV

C1＝C[F]
C2＝２C[F]
C3＝４C[F]より







C3 には

Q3n＝＋C3Vn＝ ＋４CVn

C2 には

Q2n＝＋C2Vn＝ ＋２CVn
だけの電荷がそれぞれ蓄えられることになる。


残り、C1に蓄えられる電荷ついて。

このとき（n回目測定時）スイッチ１は開いていて
電池と接続されていない状態で
C1の電荷は身動きが取れない（移動できない） が
孤立部分の電荷量は一定だから
電荷の保存より、はじめの状態との保存式を作る。

左辺：電気的に孤立した部分の電気量（電荷）の総和
＝右辺：始め（０回目）孤立部分の電荷も0だった状態

として

Q1n＋Q2n＋Q3n＝0　
－Q1n＝＋Q2n＋Q3n

よって
C1に蓄えられる電荷は
－Q1n＝＋Q2n＋Q3n＝ －６CVn となる。


このあと、S２を開いてS1を閉じると
（n回目→n＋1回目の電荷の流れを探っているので）







↑のようなC1、C2の閉回路となる。

はじめ、スイッチ１を閉じてスグの状態では
図のように

C1にQ1n＝－６CVn
C2にQ2n＝＋２CVn

の電荷が溜まっているが

充電が完了する（十分に時間がたつ）頃には
C1、C2に溜まっている電荷も変わっている。

このときC1にX、C2にYだけの電荷が溜まるとすると





点線内の孤立部分では

C1にQ1n'＝－X
C2にQ2n'＝＋Y

だけの電荷が蓄えられることになるから


はじめ（スイッチを切り替えた直後）





＝

あと（切り替え後、十分に時間がたった後）






の点線部内の電荷保存の式が立てられる。

式を作ってみると

はじめ（スイッチを切り替えた直後）＝あと（十分に時間がたった後）　より

Q1n＋Q2n＝Q1n'＋Q2n'

－６CVn＋２CVn＝－X＋Y 　…（１）

あと（切り替えして十分に時間がたった時）の状態では電圧（電位差）もまた、
V1＋V2＝V（電池の電圧・起電力）

と変化しているので

Q＝CV⇔V＝Q/Cを用いて

V1＝｜Q1'｜/C1＝X/C
V2＝Q2n'/C2＝Y/２C

まとめて

X/C＋Y/２C＝V 　…（２）

ここで
（２）の左辺を整理してまとめると
（２）＝ ２X＋Y＝２CV　 …（２）'

－６CVn＋２CVn＝－X＋Y 　…（１）
２X＋Y＝２CV 　…（２）'

（１）と（２）'式を連立方程式で解くと…

・Xについて

（１）－（２）'より

－３X＝－４CVn－２CV　（↓両辺×－１）
３X＝２CV＋４CVn　(↓両辺×1/3）
X=2CV/3＋４CVn/３
(↓2C/3で括るとき、４C/３＝２×2C/3）

X＝２C/３（V＋２Vn）

↑まぁ結局…使うことはありませんでしたが＾＾；

・Yについて

（１）×２＋（２）'より

３Y＝－８CVn＋２CV　（↓両辺×1/3)
Y＝２CV/３－８CVn/３
（↓２C/３で括るとき、８C/３＝４×２C/３）

Y＝２C/３（V－４Vn） 　…（３）

以上のように電荷X,Yが求まる。

n＋1回目 の電荷の流れについても調べておく。

今一度S1を開き、その後S2を閉じて
十分に時間がたった後（つまり n＋1回目 ）の
点Aの電位を Vn＋1 とおき、


↓S2を閉じた直後 の





C2にQ2n'＝＋Y
C3にQn＝CVn＝＋４CVn

の電荷が溜まっている状態と

（C1の電荷はS1を切っている事から例の如く移動できない）

↓S2を閉じて十分に時間がたったあと（n＋１回目）





C2にQ2n＋1＝＋２CVn＋1
C3にQn＋1＝CVn＋1＝＋４CVn＋1

の電荷が溜まっている状態とを

電荷の保存式で結び付けてやれば

はじめの電荷量＝あとの電荷量
Q2n'＋Qn＝Q2n＋1＋Qn
Y＋４CVn＝２CVn＋1＋４CVn＋1

ここで（３）のYを代入して

2/3CV－8/3CVn＋4CVn＝2CVn＋1＋４CVn＋1
６CVn＋1＝4CVn/3＋2CV/3　（↓両辺×１/６C）

Vn＋1＝2Vn/9＋1V/9 …（４）

という漸化式が完成！

この漸化式は
An＋1＝PAn＋q型
An＋1－K＝P（An－K)の
特性方程式で処理するタイプだから

まず特性方程式
An＋1－K＝P（An－K)
を展開し整理して出てきた
An＋1＝PAn＋（１－p）Kの係数（１－p）Kと

与式
An＋1＝PAn＋qの定数qを比較して
（１－p）K＝q

K＝q/（１－p）

を調べ出す。

次に
Kを特性方程式に当てはめて
出てきた

An＋1－q/（１－p）＝P{An－q/（１－p）}

という式について
左辺An＋1－q/（１－p）をBn＋1とおけば
右辺An－q/（１－p）はBnとまとめることができる。

整理して
Bn＋1＝PBn
（An＋1＝ｒAn　ｒ＝公比の等比数列型漸化式）
と表せば

Bn（An－q/（１－p）のこと）は

初項B1＝A1－q/（１－p）
公比P

の 等比数列 であることが判明した。

あとはBnの等比数列を解いて
Bn＝A1－q/（１－p）・（P）＾n－1
Bn＝An－q/（１－p）だったからまとめて
An－q/（１－p）＝A1－q/（１－p）・（P）＾n－1

An＝A1－q/（１－p）・（P）＾n－1＋q/（１－p）


…といった具合に一般項を導くのだった。

Vn＋1＝2Vn/9＋1V/9 …（４）も同様に
特性方程式と比較すると

Vn＋1－K＝2/9（Vn－K)
Vn＋1＝2Vn/9－2K/9＋K
Vn＋1＝2Vn/9＋7K/9

K＝1V/7

Kを特性方程式に入れ整理すると

Vn＋1－1V/7＝2/9（Vn－V/7)

ここから

Vn－V/7＝Bｎと一塊にして考えると
Vn＋1－1V/7＝Bn＋1とまとまるから
Bn＋1＝2Bn/9

Bn（Vn－V/7のこと）は

初項V1－V/7（整理して－２V/63　 ※詳細は後述 ）
公比2/9

の 等比数列 であることが分かる。

よって n回目における点Aの電位を表す式 は
Vn－V/7＝－２V/63（2/9）＾n－1
Vn＝－２V/63（2/9）＾n－1＋V/7　

－２V/63（2/9）＾n－1について
－２V/63＝－V/7*2/9と変形できるから
－２V/63（2/9）＾n－1＝＝－V/7*2/9*（2/9）＾n－1
＝－V/7（2/9）＾n

Vn＝－V/7（2/9）＾n＋V/7 　…（５）

と求まった。
知りたいのは スイッチを切り替えても
電荷が移動しなくなるような点Aの電位 。

ある回数（例えばZ回目とする）で

電荷が流れなくなったとすると
以降は何度切り替えを繰り返しても電荷は移動しない。
電位もZ回目のまま以降は不変だから

n回目の電位の関係式（５）について極限を撮り

無限回繰り返したときの状態 を調べればいい。

よって

lim _[n→∞]Vn＝－２V/63（2/9）＾n－1＋V/7

（lim _[n→∞]はnが無限大（∞）に近ずくということ）

ここで、公比＝ｒ＝2/9は
分子より分母のほうが大きい分数

（－１＜ｒ＜１）であるから
極限値lim _[n→∞]ｒ＾nにおいてnを増やしていくと
分母だけが巨大化していき、

どんどん0に近ずいていくので
∞付近では0に限りなく近くなる⇔0に収束すると扱う。

以上より、

無限大回切り替えを行ったときの点Aの電位
（ 電荷が移動しなくなった回数以降の電位 ）は

V∞＝－V/7*0＋V/7　

V∞＝V/7

であることが分かった！！！


※初項 （Vn－V/7)について

V1＝１V/９を代入して

１V/９－V/7＝－２V/63

※V1＝１V/９の導出について。