＜理解の・・（中学数学編）＞
世界にはインドのように算数と数学とを区別していない国は
たくさんあります。しかし日本では算数と数学を区別している
ので、今日は算数ではなく数学を題材にします。
前回の算数でもわかりやすいことや理解しやすいことが、長期
記憶として記憶に残りやすいことを書きました。これは数学でも
同じです。興味のある内容や理解できた内容は長期記憶として、
長く記憶に残ります。
そしてこれは新たな問題があたえられたときに、長期記憶から
認知心理学で言われるスキーマ（枠組み）として加工されて、
問題解決に使われることになります。
理解して記憶することは大切です。中学１年生に出てくるかん
たんな計算でさえ、理解して記憶していないと、いつも間違いを
おかします。そうならないために、機械的に処理する前に、しっ
かり理解してから記憶するようにしましょう。
小学校の算数は正の数と０だけしか取り扱いません。ところが
中学の数学では負の数が入ってきます。ここでよくつまずくのは
負の数の引き算です。「（－２）をひく。」これは足し算になおす
と「（＋２）をたす。」ことと同じになります。
負の数をはじめて習う中学１年生には、「ひく」が反対の言葉の
「たす」になり、それと同時に数字の符号も反対になることが、
なかなか理解されないのです。
視覚的に数直線を書いて求めるときはできても、いざ数式だけに
なると混乱してミスをしてしまいます。
この理解が不十分なまま、分配法則を使う文字式にはいると、
５ａ－（２ｂ－ｃ）＝５ａ－２ｂ+ｃのように、うまくカッコが
はずせなくなってしまいます。これは正負の計算の理解と分配
法則の理解があいまいなままなのです。
さらにこの後、文字式から一次方程式へと学習は進んでいくと、
今度はこの二つの違いを、はっきり区別をしないまま学習を終えて
しまう人が、必ずでてきます。
それは文字式では分母が払えないのに、方程式では分母が払える
ようになるところで、理解があやふやになってしまうのです。
例えば文字式を簡単にする場合、A÷C＋B÷Cは（A+B）÷Cと
なるだけで、分母Cを払うことができません。
これが方程式A÷C=B÷Cになると両辺にCをかけて、分母を払って
A=Cとできます。ここの理解が不十分なのです。
文字式と一次方程式が単独の問題として出題されれば、多くの
人はこの区別がつくのですが、学習を終えてしばらくたつと、
文字式と方程式の区別の理解があやふやになるのです。
そういう人は必ず分数の文字式の分母を方程式の時と同じように
払ってしまうのです。
日常の世界では大体理解すれば、間違わないことが多いものです。
たとえば犬と猫の区別をはっきりいえなくても、それらを見間違う
人はいないと思います。
しかし学習では、はっきり区別しなければなりません。そうしないと
かならず間違ってしまうのです。
中学３年生になると素因数分解が出てきます。例えば９０は素因数
分解して２×（３の２乗）×５のような素因数の積として表せるのです。
そしてこの９０の約数は素因数分解を利用して求めることができます。
ここで９０の約数は素因数１個からなる約数｛２、３、５｝、
素因数２個からなる約数｛２×３、３×３、２×５、３×５｝、
素因数３個からなる約数｛２×（３の２乗）、２×３×５、
（３の２乗）×５｝、素因数４個からなる約数｛２×（３の２乗）×５｝
と約数１となり、合計１２個の約数から成り立っていることがわかります。
教科書ではまず、素因数分解のしかたから入ります。それで機械的に
素因数分解はできるようです。
しかしそれから約数が求められることを正しく理解していないと、
小学校算数で習った約数の求め方でしか、求めることができなくなります。
次に中学数学では算数にはなかった証明問題が、新しく学習内容に
入ってきます。まず三角形の合同の証明です。一般の三角形の合同
条件は、「（１）３辺がそれぞれ等しい。（２）２辺とその間の角が
それぞれ等しい。（３）一辺とその両端の角がそれぞれ等しい。」の
３つです。
２つの三角形の合同を示すには（１）～（３）のどれかの合同条件が
成り立てばよいのです。これは三段論法を用いて示すことになります。
例えば合同条件（１）を使うとすると、仮定ならば（１）、（１）ならば
合同、したがって仮定ならば合同がいえるのです。
ところが証明を始めて習う中学生の中には（１）を示すだけで、
なぜ合同がいえるのかわからないもの、反対に結論から仮定を導こうと
するものや、証明の途中に結論を使ってしまうものがでてきます。
これは「ＡならばB」と「BならばC」から「AならばC」を導く三段論法が、
理解されていないのです。
また三段論法が理解されていても、仮定から（１）～（３）の合同条件の
どれを示せばよいのか、問題から判断がつかない人がたくさんいます。
一般に数学では方程式などの文章問題を解くには、与えられた条件と
隠された条件の両方を使って答えを導くのが定石です。これは証明でも
変わりません。
まず与えられた条件はそのまま使えます。つぎに問題文に直接あたえら
れていない隠された条件は、図を描くことや補助線を引くことで、それを
確かな条件に変えてしまいます。
つまり問題に与えられた明らかな条件と、隠された条件から導き出された
確かな条件から結論を導くのです。
ここで理解しておかなければならないことは、問題を解いたり結論を
導くには、隠された条件からいかに確かな条件を導くかということ
なのです。
このことが理解されていないと、問題を解くことも証明することも、
できなくなってしまいます。
他に中学数学では２次方程式の解の公式、円周角の定理や三平方の
定理などが出てきます。これらの公式や定理は比較的覚えやすいの
ではないでしょうか。
理解なくして使ってはいけないとは言いません。しかし必ず後で、
導き方まで理解するようにしておきましょう。
これらの理解は必ず長期記憶されるときに、認知心理学でいわれる
ところのスキーマ（枠組み）となり、新たな問題解決のときに想起され、
有効に活用されることになります。
スキーマが複雑にからみあって、脳に長期記憶されればされるほど、
新たな問題に対処するときに、たんにそれを解決するだけでなく、
その処理速度もあがるのです。
ここに理解してから記憶することの大切さがあるのです。機械的な
処理だけでなく、必ず理解して覚えるように心がけてください。そう
すれば上達がはやまります。
つづく
今回は「理解してから覚えることの大切さ（中学数学編）」を
書きました。こういう習慣をつけていけば高校数学になっても、
問題解決のためのスキーマを数多く蓄えていくことができます。
しかも何より一度覚えたことはなかなか忘れなくなるのです。
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