本を読めば『道は開ける』

位相空間について

まずはその定義から。

集合 X の部分集合の族 T が次の３つの条件を満たすとき
T を X の位相とよび、X と Tのペア（ X ,T ）を位相空間という。

１．φ（空集合）、X ∈ T
２．V ∈ T ⇒ ∪V ∈ Ｔ
３．V1、V2∈Ｔ⇒ V1 ∩ V2 ∈ T

といきなり論理記号で書いてしまった。
Tの要素はXの部分集合になっている。つまり「集合の集合」でこのようなものを集合族という。

Tの要素の部分集合同士の和集合を考えても、それはTの要素になり（２番目）、共通部分をとってもTに属し、Xと空集合もTの要素となっていれば位相が定義できることになる。

この時、Tの要素を開集合という。

なぜこんなことを考えるのであろうか。

位相が定義できると関数が「連続」であることを定義することができるのである。

中学などで習う、一次関数や二次関数は直線だったり、放物線だったりするけれど、途中でとぎれずにつながっていますよね。

それが「関数が『連続』」（連続関数）という意味です。

途切れてたら連続ではありません。

位相が定義されると関数が連続であるということも定義される。

閉区間 [ a , b ] における連続関数の性質として

１，最大値・最小値の定理
（連続関数は閉区間において最大値と最小値が存在する。開　区間だと必ずしもそうはいえない）

２．中間値の定理
（連続関数は閉区間において両端での値の中間の値はすべて　とる。ただし両端での値は互いに異なるとする）

という定理が成り立つ。

これは、閉区間における位相的な性質が大きな役割を演じていて

最大値・最小値の定理が成り立つのは
閉区間[ a , b ] の「コンパクト性」という性質、

中間値の定理は「連結」という性質によってもたらされるのである。

コンパクトな空間とは、

どのように無限に多くの開集合でその区間を覆っても、うまくとることにより有限個の開集合で全部覆えるというものである。

ユークリッド空間では、

コンパクトということと「有界閉集合」であるということは同値である。

連結とは

おおざっぱに言うと分離せずに「つながっている」というこうこと。

抽象化することで、実数直線上の閉区間を定義域にもつ連続関数の性質というのが、コンパクト性と連結という２つの
異なる性質のものを背景になりたっていたことがわかる。

位相空間のことを英語でToplogical Spaceというが、トポロジーというと邦訳では位相幾何学といって、位相空間とは別の話しである。

トポロジー（位相幾何学）は連続的に変形できるものは全部同じものと考える。

トポロジーをやっている人は

コーヒーカップとドーナッツを区別しない

なんて冗談で言われる。
（コーヒーカップの底を上げて、とって部分を伸ばしてドーナツ型にすることができる）

さて、こんなことをつらつら考えていたが、実は「週末起業セミナー」に出てからメールマガジンで位相空間のことでも書こうかと考えていた。

が、どう考えても数式部分が出てきて、それを書くことの困難性を今のところ克服できない。

うーん、どうしよう。

ちゃんとした数式を使っているメルマガってあるのだろうか？

２００３年４月２６日　日記より

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