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2007.02.03
テーマ： 塾の先生のページ(8624)
カテゴリ： 数学について
相加・相乗平均の関係に関する問題の第3弾．
今回は「相加・相乗平均の関係を使える形に式を変形する」ことについて書きます．
では問題です．
[問題]～携帯用～
x>-1のとき，x+3/(x+1)の最小値を求めよ．
分数式の最小値を求める問題．
ということでほぼ「相加・相乗平均の関係」を使うだろうと予想．
初めから「相加・相乗平均の関係を使う問題」とは見ていないということを前提としているのでこういう書き方になります．
「相加・相乗平均の関係」を使って，最小値を求めるには，公式の形から考えると「積が定数」になるようにしなければならない．
ここで分母を x にすることも考えることも出来るが，分数の分母を変えるなんて難しすぎるので分子で「調整する」ということです．
x+3/(x+1)=x+1+3/(x+1)-1 と変形しよう．
x を x+1-1 と変形していることがポイント．
この変形はよく使うので覚えておこう．
それでは解答です．
[解答]～携帯用～
x>-1 より，x+1>0 だから，相加・相乗平均の関係より，
x+1+3/(x+1)≧2√{(x+1)・3/(x+1)}＝2√3
∴ x+3/(x+1)≧2√3-1
（等号成立は，x+1=3/(x+1) すなわち x＝√3-1 のとき）
したがって，求める最小値は 2√3-1（x＝√3-1 のとき）
今回は「相加・相乗平均の関係を使える形に式を変形する」ことについて書きます．
では問題です．
[問題]～携帯用～
x>-1のとき，x+3/(x+1)の最小値を求めよ．
分数式の最小値を求める問題．
ということでほぼ「相加・相乗平均の関係」を使うだろうと予想．
初めから「相加・相乗平均の関係を使う問題」とは見ていないということを前提としているのでこういう書き方になります．
「相加・相乗平均の関係」を使って，最小値を求めるには，公式の形から考えると「積が定数」になるようにしなければならない．
ここで分母を x にすることも考えることも出来るが，分数の分母を変えるなんて難しすぎるので分子で「調整する」ということです．
x+3/(x+1)=x+1+3/(x+1)-1 と変形しよう．
x を x+1-1 と変形していることがポイント．
この変形はよく使うので覚えておこう．
それでは解答です．
[解答]～携帯用～
x>-1 より，x+1>0 だから，相加・相乗平均の関係より，
x+1+3/(x+1)≧2√{(x+1)・3/(x+1)}＝2√3
∴ x+3/(x+1)≧2√3-1
（等号成立は，x+1=3/(x+1) すなわち x＝√3-1 のとき）
したがって，求める最小値は 2√3-1（x＝√3-1 のとき）
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最終更新日
2007.02.03 04:10:47
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