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2007.02.15
テーマ： 塾の先生のページ(8682)
カテゴリ： 数学について
その円に内接する三角形の各辺の2乗の和が8より大きいとする．
このとき，その三角形は鋭角三角形であることを証明せよ．
今回は(も？)僕が考えた順番に書いていきます．
つまり僕の思考回路の曝け出しってことですね．
う～ん・・・恥ずかしい．（今更何を言ってるのか・・・）
と冗談を言ってる暇はない・・・
ではいきます！
まずは扱う三角形を△ABC（3辺の長さは a,b,c）とする．
この時点で一つの条件式が作られる．
当たり前の式であるが忘れないようにしよう．
それでは条件を式で表そう．
「外接円」とくれば使うものは「正弦定理」！ということで次式が得られる．
さらに「△ABCの各辺の2乗の和が8より大きい」をそのまま不等式で表すと次のようになる．
以上の3つの式が問題文の条件である．
次に示すべきことを式で表すことを考える．
示すべきことは「△ABCが鋭角三角形」ということだ．
鋭角三角形とは何か？
3つの角がすべて鋭角である三角形のことだ．
条件文を式で表したことからsin，cosで表すことは予想できる．
sinは鋭角でも鈍角でも正で変わらないから符号が変わるcosを使おう．
「 cosA>0 かつ cosB>0 かつ cosC>0 」
この状態ではまだ「かつ」という言葉が残っているので消して1つの式にすることを考える．
3つの数がすべて正だから，3数を掛けても正（原則として和ではなく積を考える）ってことで出てくるのは次の式である．
「 cosAcosBcosC>0 」
逆が成り立つかどうかという疑問である．
3数を掛けて正だからと言って，3数すべてが正であるとは一般には言えない．
しかし，今扱っているのは単なる3つの数ではなく，三角比である．
cosAcosBcosC>0 が成り立つ例として，仮に
「 cosA>0, cosB<0, cosC<0 」
cosB<0, cosC<0 ということから，B, C は共に鈍角．
つまり，B>90°, C>90°となる．
この場合，B+C>180°となり，A+B+C=180°を満たさないので不適となる．
同様にして，どの2つが負になっても不適であることが分かる．
したがって，
cosA>0 かつ cosB>0 かつ cosC>0 ⇔ cosAcosBcosC>0
が成立することが分かり，示すべきことを式で表すことができた．
ちなみにこのこと自体は僕の中では公式となっている．
色々な問題集に証明問題として載っているので，いつでも出来るようにしておこう！
さて，話を戻します．
あとは条件からこの不等式を導くだけ！
ということで初めの問題は次のようになる．
とりあえずは a, b, c を消去し，次数を2次から1次に下げる．
その後，和積の公式を使い，積の形に仕上げていくという感じ．
上記の解答で解説は終わりだけど，ついでなので証明を載せておこう．
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最終更新日
2007.02.15 01:43:54
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