本を読めば『道は開ける』

数学エッセー　１．微分方程式について思う

その中で高校で習う微分・積分も項目に入れたのですが、一つ思ったことは

「微分・積分をやったら簡単な（常）微分方程式も解いてみたいよね」

ということです。

微分・積分だけ習うなら、微分は関数を微分して極大値、極小値を求めて
「こんな形なんだ！」って関数の形を理解するだけだし。

積分は色々なタイプの不定積分の解き方を、パズル気分で解いたり、
もしくは関数の囲む面積や回転体の体積を、定積分を計算することで
機械的に解く、というだけであんまり面白くないかなあと。
（それも十分に面白みがあるのかもしれないけれど）

しかし、「微分方程式が解ける」ということは、「数学の世界」から飛び出して、

「自然現象を記述し、自然の法則を導くための一つの手段」

を手に入れたことになります。

太陽系の惑星の運行だって、バネの振動だって、波や熱の伝わり方だって
微分方程式を解くことによって得られるわけですからね。

「微積分をやったら微分方程式も」なんてことを、つらつらと考えていたら
面白い本を見つけました。

『道具としての微分方程式』（野崎亮太著・日本実業出版社）です。

略歴を見ると、著者は東大の数学科、北海道大学の修士を出て現在は
埼玉の高校の数学教師だとのこと。７５年生まれだから若いですね。
（川越高校の水泳部出身で「ウオーターボーィズ」だとさ。
　あのドラマ少しだけ見てたぜ。）

著者は数学科出身だけあって、同じ数学科出の私も同感できる「微分方程式」
についての考えが書かれていた。

それは、

「数学科では具体的な微分方程式を解かない」ということ。

つまり微分方程式の「理論」ばっかやって、具体的なことは全然やらないから、
理論は知っていても具体的な計算ができない場合が多いのだ。
（「具体的なことは自分でやれ」ってことが数学科の教育方針らしいけれど）

やれ「解の存在定理」とか「解の一意性」だとか「リプシッツ条件」がどうの
とかはやるけれど、個別の方程式は扱わないのです。東大でもそうなのですね。

「具体的なことを知っていての理論だよなあ」、と今になって思うわけです。
どうりで理論がいまいちよくわからなかったわけです
（私の理解力が無かったというのが一番大きいですが・・・）。

学部の時、偏微分方程式の授業に出た時にですね、最初の授業の時に
先生が言うには

「偏微分方程式の理論をやるには「関数解析」、「常微分方程式論」、
「超関数の理論」、「擬微分作用素」、「フーリエ解析」を知って
いなくてはなりません」

と言っておられました。大変ですよ。これら全部を理解するには。

でもね、そんな難しいことは知らなくても、具体的な微分方程式の解を、
（比較的）簡単な計算で具体的な関数で表すことができますよ。
それが微分方程式の一つの楽しみですよ。

というのが『道具としての微分方程式』の主張の一つです。

非線形偏微分方程式であるKdV方程式の解も求めていますね。
（一番最後ですけど）

というわけで、この本を眺めていたら「微積分から微分方程式へ」
という講座でも企画しようかという気になってきました。

希望者が来るかどうかわからないですが、自分自身が面白そうなので
とりあえずやってやろうかなという感じです。

微積分から始めて、ニュートンの理論からケプラーの３法則を導くとか、
この本に載っている単振動とか振り子とか振動回路などの微分方程式の解き方を
学んで、最終目標は変分法まで進みますか。

波動方程式、熱伝導の方程式も入れられたらやってみたいですね。

ボールをすべり台から転がしたときに、一番早く地上につくには、
すべり台をどのような形にしたら良いか？　という最速降下線の問題も、

答えはサイクロイド

と知識で知っていてるだけでなく、実際に計算で導くというのもいいもんだと思います。

では、鎖を両手で持って、鎖をだらっとぶら下げた時に、この鎖はどんな図形になるか？
放物線や楕円の半分みたいな感じに見えますが

答えはカテナリーという、高校３年で習う双曲型三角関数の一つになります。
これら二つは変分法の考え方で解けるんですね。

ここぐらいまでをひとまず目標にやってみましょうか。

変分原理とは、自然現象を表す方程式は必ず「何かの」最小値になっている
という考え方でハミルトンの原理とも言います。

それで「何か」からその最小「値」を求める方法が変分法で、
オイラー・ラグランジュの方程式という微分方程式を解くことと同じになります。
（正確には最小の「値」ではなく『作用積分を最小にする「関数」です』）

そして「何か」というのは「ラグランジアン」と呼ばれています。

実は数学科ではこのようなことをやらないんですね。
物理の「解析力学」で習います。物理をやっている人にとっては常識です。
「数学科でもやればいいのに」と思っているこの頃。

ああ、やけに専門的なことをダラダラと書いてしまった。
果たして、私の日記を覗いてくれる人でこの文章を最後まで読んでくれる人はいるのだろうか？

最後に『道具としての微分方程式』に文句を一つ。

こういう本に、松浦亜弥とかモーニング娘。とか石川梨華とか書いてあっても
ウザいだけ（笑）。写真が載っているならまだしも、単語だけ書いてあったってねえ。

（ちなみに私はグラビアアイドル系の方にどちらかと言えば興味がある。
　吉岡美穂の写真集が９８０円と安かったので買ってしまった。
　井上和香の写真集も買おうか迷っている（汗））

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