５．一次関数の動点問題入門
ＰがＡを出発してからｘ秒後の△ＰＤＡの面積をｙ平方cmとするとき，次の問いに答えなさい。
（１）次の３つの場合に分けて，ｙをｘの式で表しなさい。また，ｘの変域もかきなさい。
ア．ＰがＡＢ上にあるとき
イ．ＰがＢＣ上にあるとき
ウ．ＰがＣＤ上にあるとき
（２）ｘ，ｙの関係を右のグラフに表しなさい。
【考え方】まず，頭の中で点Ｐを動かしてみよう。辺の上をＡ→Ｂ→Ｃ→Ｄの順にたどっていく。それから，Ｐは「毎秒１cmの速さで」とあるが，｢毎秒１cm」の速さとは，｢１秒間に１cm動く」ってことだからね。２秒で２cm，３秒で３cm，ｘ秒でｘcmということ。この場合，秒数はＰが動いた長さとしてそのまま使える。
（２）先にグラフをかいちゃうよ。まずは，上の図のように，
ア．ＰがＡＢ上にいるとき。
この場合，△ＰＤＡの底辺をＡＤ，高さをＡＰとしよう。
一次関数の利用入門のときと同様に，表を作ってみよう。この場合，△ＰＤＡの面積＝底辺×高さ×１／２ で求めるが，底辺ＡＤ＝４cmで変化なし。高さＡＤは，Ｐが動けば動くほど長くなるから，面積は増える。
０秒後・・・底辺４，高さ０ 面積は，４×０×１／２＝０
１秒後・・・底辺４，高さ１ 面積は，４×１×１／２＝２
２秒後・・・底辺４，高さ２ 面積は，４×２×１／２＝４
のように，チマチマ値を求め，
ｘ｜０ １ ２ …
ｙ｜０ ２ ４ …
として，グラフ用紙に点をとっていく。問題は， この状態がいつまで続くのか 。変域の出番だよ。アは，｢ＰがＡＢ上にあるとき」とあるが，ＰがＢに着くまで３秒かかるから，ｘが３のとき(３秒後)までこのように点をとり続ける。変域は，０≦ｘ≦３ となる。
ホントは，一次関数(正比例)になるってわかったら，３秒後の面積だけを，４×３×１／２＝６って求めて，(０，０）と（３，６）を一気に結んでしまった方が早い。
イ．ＰがＢＣ上にあるとき
ここからは，自分で図をかいてみるんだよ。紙にフリーハンドで長方形ＡＢＣＤをかき，次に，ＢＣ上のどこかに点Ｐを書き込んでみよう。そしたら，ＰとＡ，ＰとＤをつないで，△ＰＤＡをつくる。
この場合の△ＰＤＡは，底辺ＡＤ，高さはＰからＡＤに引いた垂線だけど，これはＡＢ(またはＤＣ)と同じ長さだってわかるかな～？ ためしに，４秒後(Ｐが４cm動いたとき。ＰはＢから１cmのところにある)の△ＰＤＡの面積は，
４秒後・・・底辺４，高さ３ 面積は，４×３×１／２＝６
５秒後・・・底辺４，高さ３ 面積は，４×３×１／２＝６
あれっ，おんなじじゃん。図にしてみると，４秒後と５秒後とでは，△ＰＤＡの形は違うけど，面積は変わらないんだ。
じゃあ，この状態は何秒後まで続くだろうか？ ＰがＣに着くまで。ここまでで，ＰはＡ→Ｂ→Ｃと動いているから，ＡＢ＋ＢＣ＝３＋４＝７cm。つまり，７秒後まで続く。変域は，３≦ｘ≦７だ。
では，さっきのグラフに書き足してみようか。点が真横に並ぶから，それをｘが７のときまでつないでいこう。
ウ．ＰがＣＤ上にあるとき
やはり，図をかいてみよう。ＣＤ上のどっかに点Ｐをとり，さっきと同じように△ＰＤＡを作ってみる。
この場合の△ＰＤＡは，底辺がＡＤ，高さはＤＰになる。Ｐが動けば動くほどＤＰは短くなるから，面積は減っていくんだね。
８秒後の面積を求めてみてもいいんだけど，目的はグラフを先に仕上げることだ。ここは，一気に書き上げてしまおう。
先に，この場合のｘの変域を考える。ＰがＣＤ上にあるのは，ＰがＤに着くまで。ＡＢ＋ＢＣ＋ＣＤで３＋４＋３＝１０cm。ＰがＤに着くのに１０秒掛かる。変域は，７≦ｘ≦１０だ。
では，１０秒後の△ＰＤＡの面積は…？ ゼロだ。ＰがＤと重なって三角形が消滅してしまうから，当然，面積もなし。だったら，点(７，６）から，(１０，０）まで結んじゃえ！
書きあがったグラフは，下の図。最後に式を求めてみよう。
ア．原点を通る直線だから，正比例ｙ＝ａｘ。グラフは３行って６上がっているから，傾きは６／３＝２。
ｙ＝２ｘ（０≦ｘ≦３） ・・・答え
イ．ｙいつでも６だから，
ｙ＝６（３≦ｘ≦７） ・・・答え
ウ．ウのグラフの，点(７，６），(１０，０）から傾きを求める。３行って６下がっているから，傾きは－６／３＝－２。
ここまでで，ｙ＝－２ｘ＋ｂ。これに，ｘ＝１０，ｙ＝０を代入し，
０＝－２×10＋ｂ＝０
－20＋ｂ＝０
ｂ＝２０
ｙ＝－２ｘ＋２０（７≦ｘ≦１０） ・・・答え
以上，師匠Mr.Hot Cakeの著書「目からウロコの数学講座」の「ウロコ流」に，初心者向けの説明を加えてアレンジしたものです。
興味のある人は，８／１４日の日記をぜひお読みください。
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