７．素因数分解の利用（１）

ある数の２乗(平方)，すなわち，１，４，９，16，25，36，…には 大きな特徴 がある。
それは，１以外，素数の偶数乗(の積) であるということ。

例えば，３２４(18 ² )を 素因数分解 すると，３２４＝2 ² ×3 ⁴
となり，素数(２，３)の偶数乗(２乗，４乗)の積になる。

｢自然数△に（を），できるだけ小さい自然数□をかけて（で割って），別の自然数の２乗(平方)になるようにしたい…」
というタイプの問題では，この考え方を使う。

　　　　　　　　　　　　　　2000
【例題】nは正の数で―――が整数の平方になるとき，
　　　　　　　　　　　　　　ｎ
　（１）整数nのうちで最も小さいもの

　（２）整数nをすべてかけあわせると何桁の整数になるか

　を求めなさい。

　　　　　　2000
【考え方】――＝2000÷ｎとし，2000を自然数ｎで割り，それが別の自然数
　　　　　　ｎ
の平方になると考える。

【解】
　（１）2000を素因数分解すると，2000＝2 ⁴ ×5 ³
　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　＝２×２×２×２×５×５×５
　　　２が４個と，５が３個掛け合わされている。素数の偶数乗の積にするには，５が１個余計だ。
　　　ここから，５を１個取ってしまえば(５で割ってしまえば)，何かの平方2 ⁴ ×5 ² ＝(2 ² ×5) ² になる。
　　　これによって，手持ちの２と５を最大限生かせるので，５がｎを満たす最小の数となる。

（答え）５

　（２）問題の条件を満たすｎは５の他にもいくつかあるので，それらをすべて見つけて，掛ける。
　　　　見つけ方…２が４個，５が３個あるので，その中から，
　　　　　ア．単独の，素数の偶数乗(2 ² など)
　　　　　イ．アの積
　　　　　ウ．１
　　　と場合分けをする。それらを引き抜いた後，残ったものが，割る数ｎになる。

　　　例　2 ⁴ ×5 ³ (２が４個，５が３個)から，
　　　　　2 ² (２を２個)引き抜くと，
　　　　　2 ² ×5 ³ (２が２個，５が３個)残る。

　　　2 ⁴ ×5 ³ を使って，素数の偶数乗の積をもれなく作ってみると，（｢１｣をお忘れなく！)

　　　　素数の偶数乗(の積)　　　　　　　　　残ったもの(割る数ｎ)

　　　　ア．2 ² (２が２個)　　　　　　　　　・・・2 ² ×5 ³ (２が２個，５が３個)
　　　　　　2 ⁴ (２が４個)　　　　　　　　　・・・5 ³ (５が３個)
　　　　　　5 ² (５が２個)　　　　　　　　　・・・2 ⁴ ×5(２が４個，５が１個)

　　　　イ．2 ² ×5 ² (２が２個と５が２個)・・・2 ² ×5(２が２個と５が１個)
　　　　　　2 ² ×5 ² (２が４個と５が２個)・・・5(５が１個)

　　　　ウ．１　　　　　　　　　　　　　　　・・・2 ⁴ ×5 ³ (２が４個と５が３個)

となるので，・・・の右に並んだ，ｎをすべて掛け合わせる。
ただし，このまま全部掛けたのでは「芸がない」。２と５を上手に組み合わせて，１０をたっくさん作ってみよう。

　(2 ² ×5 ³ )×(5 ³ )×(2 ⁴ ×5)×(2 ² ×5)×5×(2 ⁴ ×5 ³ )　←ａ

＝2 ¹² ×5 ¹² 　となる。

2×5で「10」が作れ，それが１２個できるから，
　2 ¹² ×5 ¹² ＝(2×5) ¹² ＝10 ¹² 　←ｂ

ａの式からｂの式への変形がよく分からん人は，面倒でも，指数をすべて掛け算に直し，２や５を掛け合わせた個数を数える。

10 ¹² とは， １０に０(ゼロ)を１１個くっつけたもの
(10 ^ａは，10に０をａ－１個つけたもの。例えば，
10 ³ ＝1000は，１０に０を２個つける)
１０に０(ゼロ)を１１個くっつけると，１３桁の数になる。

（答え）１３桁

To:沙羽
監修：Mr.Hot Cake

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