19．ぽこりんさんへ

解説に入る前に，

★　指数法則　(a ^m ) ⁿ ＝a ^mn

★　３次式の因数分解
　　a ³ ＋b ³ ＝(a＋b)(a ² －ab＋b ² )
　　a ³ －b ³ ＝(a－b)(a ² ＋ab＋b ² )

はダイジョーブかな？
かなりややこしくなるので，実際に紙に書き写しながら，「過程」をたどってみてね。


x ⁹ ＝Ｘ，y ⁹ ＝Ｙ　とおくと，


　x ¹⁸ －y ¹⁸
＝Ｘ ² －Ｙ ²
＝(Ｘ＋Ｙ)(Ｘ－Ｙ)　もとにもどして，
＝(x ⁹ ＋y ⁹ )(x ⁹ －y ⁹ )

今度は，x ³ ＝Ａ，y ³ ＝Ｂ　とおくと，

＝(Ａ ³ ＋Ｂ ³ )(Ａ ³ －Ｂ ³ )
＝(Ａ＋Ｂ)(Ａ ² －ＡＢ＋Ｂ ² )(Ａ－Ｂ)(Ａ ² ＋ＡＢ＋Ｂ ² )　もとにもどして，
＝(x ³ ＋y ³ )(x ⁶ －x ³ y ³ ＋y ⁶ )((x ³ －y ³ )(x ⁶ ＋x ³ y ³ ＋y ⁶ )

＝(x＋y)(x ² －xy＋y ² )(x ⁶ －x ³ y ³ ＋y ⁶ )(x－y)(x ² ＋xy＋y ² )(x ⁶ ＋x ³ y ³ ＋y ⁶ )


指針

問題の式は， 項の数が極端に少なく，「差」の形になっている 。
見た瞬間，「バラバラに掛け合わせたとき，打ち消しあって項が消滅する形，すなわち，

○　a ² －b ² ＝(a＋b)(a－b)

○　a ³ ＋b ³ ＝(a＋b)(a ² －ab＋b ² )
　　a ³ －b ³ ＝(a－b)(a ² ＋ab＋b ² )

の因数分解が，パッとひらめくように。


そのために，１８乗という「巨大な指数」を公式内で使える形にすることを考える。

ここでは，x ⁹ ＝Ｘ，y ⁹ ＝Ｙ として，「和と差の積」の因数分解に持ち込み，次に「３乗の和・差」を使ったが，先に「３乗の差」の形にすることもできるから，興味があったら別の解き方も研究してみてね。