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2ケタの整数のかけ算を暗算で計算する方法を1つずつ記事にしていこうかなと思ってますよ2つの数字の組み合わせパターンによって暗算が簡単になる計算方法があるのでそれらを1つずつ紹介していきたいと思いますよ2ケタというと10~99 の整数になりますが1ケタも含めますよなので単純に1~99の整数同士の掛け算ということでその組み合わせは99*99=9801 ですな9801通りの組み合わせのかけ算のすべてを暗算で計算できたらちょっと自慢ですなw生活の中でも役立つことだと思いますしねではでは早速始めましょうw十の位が1 で、かつ、2つの数字が同じ場合11x11=12112x12=14413x13=16914x14=19615x15=22516x16=25617x17=28918x18=32419x19=361これらは簡単な暗算を一回するだけで計算できますぞ数学が得意な人であればこの2乗の計算の答えは暗記していという方も多いと思いますな11x11 ~16x16 までに対しては・・・手順1一の位の数字を2乗する。2乗というのは数字が○だったら○x○ のことですな九九の表のななめのビンゴラインにある数字ですな笑これは小学校で暗記したことなので計算は不要ですな手順2手順1の答えに100を足す3桁目が1になるようにするだけですここまでの手順で具体的には・・・11x11 だったら10113x13 だったら10916x16 だったら136手順3最後の手順ですが一の位の数字を20倍してから足す11x11=101+1X20 =12112x12=104+2x20=14413x13=109+3x20=16914x14=116+4x20=116+80=19615x15=125+5x20=125+100=22516x16=136+6x20=136+120=25613x13 までは足し算すらしてませんが答えが出ますな17x17 ~19x19 までに対しては・・・手順1一の位の数字を2乗して1ケタ目の数字だけ覚えておく手順2一の位の数字を40倍して足す17x17=9+7x40=9+280=28918x18=4+8x40=4+320=32419x19=1+9x40=1+360=361これもほとんど足し算はしてませんな数学的に説明すると・・・・(10+n)^2=100+20n+n^2 ....(1)ですがn=1~6 の場合は(1)を使えば、暗算で計算しやすくなることを利用。n=7~9 の場合は・・・(10+n)^2=(10-n)^2+40n ....(2)こちらを使えば、一の位の数字が簡単に決定される形なので暗算しやすいですなこれを覚えておくと以下のような応用もできますな101^2=10000+1+100*2=10201199^2=1+400*99=39601195^2=25+400*95=380251998^2=4+4000*998=3992004どうでしょうか?
2022/11/19
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最近はカシオの計算サイトでプログラムを作って公開することをしておりますよ先日は最小公倍数と最大公約数を計算するプログラムを公開しましたよプログラムを作るのが趣味の1つになっておりまして他にもほとんど毎日なにかプログラムをしておりますなもちろん仕事もそうでございますが他のプログラム言語を使ってみることやプログラムを公開すること自体が興味あることになりますので気になるものがあればとりあえず手をつけてみる感じですなカシオの計算サイトはプログラム言語も備えておりますし公開するための機能は十分とは言えませんがその分簡単で理解しやすいためすぐに手を付けることができて非常に使いやすいものだと感じておりますよただまだマニュアルでの説明が不十分ですのでプログラミングの経験が少ない方には難しいかもしれませんなプログラムの実行環境としてもあまりよい性能ではないのですがそれでも日本語で公開機能を作れる点は非常にメリットが高いと思いますよこのサイトで公開すればサイトの一覧のページにかならず名前が載りましてそのページはgoogleの検索エンジンがアクティブにクロールしているのでgoogleの検索結果に表示されるようになりますよリアルタイムということにはなりませんが数日待っていればつくったプログラムの名前のgoogle検索にかなり高い位置でカシオの計算サイトが表示されてくれますよ「エラトステネスの篩」でgoogle検索すると非常に多くにサイトが検索されますが・・・それでも私が最近カシオの計算サイトで公開したプログラムが1ページ目に表示されておりますよhttps://www.google.com/search?q=%E3%82%A8%E3%83%A9%E3%83%88%E3%82%B9%E3%83%86%E3%83%8D%E3%82%B9%E3%81%AE%E7%AF%A9&sourceid=chrome&ie=UTF-8自作のプログラムはカシオの計算サイトにログインすれば利用できますがログインしなくてもgoogle検索して自作のプログラムにたどり着けますので人に教えて使ってもらうことができますよこれは非常にうれしいですな
2022/03/02
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カシオの計算サイトでエラトステネスの篩をつくってみましたよカシオと言えば関数電卓でございますのでこちらのサイトには沢山の計算プログラムが掲載されておりますよですがなぜか「エラトステネスの篩」による素数生成のプログラムはありませんでしたのでつくってみることにしましたよカシオの計算サイトは関数電卓でプログラムが組めるのと同じように自作の計算プログラムを作って公開して実行させることができるのですよしかも完全無料でございますよ私は計算が趣味という理系の変人でございますので1000桁の整数の計算などをしたくなってしまうのですがカシオの計算サイトは50桁の精度で計算が可能なプログラムを組むことができるのですよ今ではそういうプログラム言語はまったく珍しくもないのでございますがそれでも完全無料で計算プログラムの公開機能まできちんと日本語でいろいろと提供しているサイトはカシオの計算サイトくらいしかないと思いますな急になぜか思い立ってしまいましていくつか自作して公開しておりますがそのうちの1つがこちらの「エラトステネスの篩」でございますよカシオの計算サイトでは自作プログラムのソースコードを公開する機能がありませんのでどうしたもんかと思いましたが自作プログラムの説明欄に別サイトへのリンクを設定することは可能でしたのでこのブログ記事にリンクをしてソースコードを掲載したいと思いますよdo{MAXsieve;numeric sieve[0];numeric sieve[MAXsieve];maxdv = int(sqrt(MAXsieve));for (idx = 0; idx < MAXsieve ; idx=idx+1) { sieve[idx] = 1;}sieve[0] = 0;sieve[1] = 0;for(idx = 2; idx
2022/02/21
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編集数を3つの立方数の和で表せるか?という数学クイズ的な問題がありますよ式で書くと任意の整数 nに対してn=x³+y³+z³ と書ける整数の組(x,y,z)を求めるということですなこの問題は立方となっているところがミソでございまして・・・負数の立方は負数となりまして和と言いつつ計算としては引き算になるために3つの立方の差し引きの計算となるために解を探索する範囲を無限にとる必要があるのですよとは言え解は簡単に見つかるケースも多いですよたとえば4^3+4^3+(-5)^3=3という感じでして3に対する解の組は(4,4,-5)ということになりますなこの問題のさらに奇妙なところは解が無限に存在するらしいと推測されておりますよ例えば1に対しての解は(1,0,0)というあほらしいくらい単純な組しか解にはならないだろうと考えてしまいますが実際には(-6,-8,9),(9,10,-12)という別解がありますよ1と2の場合では無限に解の組を生成できる以下の一般式が発見されておりますよ1に対しては(9a⁴,3a-9a⁴,1-9a³)2に対しては(1+6a³,1-6a³,-6a²)ほぉーまじかいな?と思ってしまいますが実際これらの組をx³+y³+z³ に代入して式変形してみると以下のように確かに1と2に式がまとめられてしまいますよ(9a⁴)³+(3a-9a⁴)³+(1-9a³)³=729a¹²+27a³-81a⁶+729a⁹+729a¹²-(1-27a³+81a⁶+729a⁹)=1そして1に対する2つの別解は一般式(9a⁴,3a-9a⁴,1-9a³)にa=1,a=-1を代入して得られるものですなこの問題は一般式が生成できるほど単純なもの思えないのございますがなかなか面白い問題ですな1と2以外の整数に対しても解の一般式が存在するのかどうかわかりませんがもしかするとあるのかもしれませんなというのは3に対する別解もはやり見つかっているのでございますよ別解があるということは解は無限に存在していてそれを生成する一般式も存在するのでは?と期待してしまいますな3に対しての別解ですが先の(4,4,-5)の組の他に(1,1,1)というあほらしいくらい単純な組も解になるわけですが他にも・・・(569936821221962380720,-569936821113563493509,-472715493453327032)という非常に大きな整数の組も解になるのでございますよこの整数を検算するにはエクセルや電卓では無理でございますので多倍長演算 web電卓のような桁の長い数字の計算を正確にできるものが必要になりますな569936821221962380720³+(-569936821113563493509)³+(-472715493453327032)³=185131426470358721030003064550489120286063150089838997749248000- 185131426364725746289073278168542399539619802127338908944671229- 105632974740929786381946720746443347962500088804576768 =3非常に大きな数値になりますが引き算の結果は正しく3になっておりますよこんな大きな数字が出てきてしまうのは予想できないことでありますな小さい数字の範囲で解の組が2つだけ存在するところで解は出尽くしたのかと思いきや探してみるとこのような大きな数字の組も解となっているということが最近わかったということなのでございますが数学の神様はこの大きな数字の組に一体どのような意味を持たせたのでしょうな?もしやこれはナンバーズ3を予想する鍵なのでしょうか?さて、私もこの謎解きに少し参加してみたくなりましてw³=x³+y³+z³ と書ける整数の組(x,y,z)の組を探してみましたよこれは(n,0,0)という自明な解が存在しますが意味ありませんのでこれ以外の別解を探したいと思いますよそれとn≦100については全ての自然数で解の組が発見されているということなのでn>100の自然数を目標としたいですないろいろと調べているうちにこの問題の解を網羅しているページが見つかったのですがこのページにもw³=x³+y³+z³ の自明でない解は載っていませんでしたのでこれは別解を探してみる価値は少しあるかもしれないと思っておりますよただ前述の3の場合のように巨大な数字まで探索することはできませんので小さい値の組を見付けるという想定で調べておりますよではではまずは小さい数から確認していきますと・・・w=2 つまり n=2^3=8=x³+y³+z³ と書ける整数の組(x,y,z)の組でございますがネットで見つかる(9,15,-16) =9^3+15^3-16^3=という組がありますよ他にも(-16,-12,18)=-16^3-12^3+18^3= という組もありますよw=3 つまりn=3^3=27の場合となりますがネットで見つかる (-4,-5,6)=-4^3-5^3+6^3=27の他に(-10,-18,19)=-10^3-18^3+19^3=27も見つかりましたよw=4 つまりn=4^3=64の場合となりますがネットで見つかる (-3,-5,6)=-3^3-5^3+6^3=の他に(18,30,-32)=18^3+30^3-32^3=64も見つかりましたよなお小さい値で見つかってほしいという期待を込めてエクセルで巨大な掛け算の九九のような表を作って検索することで見つけておりますよw=5 つまりn=5^3=125の場合の解ですがネットでは見付けられませんでしたがエクセルで見つけることが出来ましたよ (-30,-40,45)=-30^3-40^3+45^3=125w=6 つまりn=6^3=216の場合の解もネットでは見付けられませんでしたがエクセルで見つけることが出来ましたよ (-32,-33,41)=-32^3-33^3+41^3=216w=7 つまりn=7^3=343の場合の解もネットでは見付けられませんでしたがエクセルで見つけることが出来ましたよ (-63,-70,84)=-63^3-70^3+84^3=343w³=x³+y³+z³ と書ける整数の組(x,y,z)の組がエクセルで探索した程度で簡単に見つかりましたので任意のw に対しても比較的小さな値として見つかると推測できますなそれから解が簡単に見つかるということは一般式があるだろうと言えますないろいろ探していたらKNOWN FAMILIES OF INTEGER SOLUTIONS OF x³ + y³ + z³ = nこちらのPDF の中に一般式がありましたよx³+y³=z³+w³ となる解の組は以下の式で表せるようですなx = 1 − (p − 3q)(p^2 + 3q^2),y = −1 + (p + 3q)(p^2 + 3q^2),z = (p + 3q) − (p^2 + 3q^2)^2,w = −(p − 3q) + (p^2 + 3q^2)^2次はこちらの検証と実際にプログラムを組んで解をリストさせてみようと思いますよというわけで今回は調べて得た解を表にしてまとめて終わりといたしますよww³xyzx³y³z³x³+y³+z³73436370-84250047343000-592704343→1に対する(9,10,-12) と同値6216-32-3341-32768-35937689212165125-30-4045-27000-6400091125125→1に対する(-6,-8,9) と同値4641830-32583227000-3276864→2に対する(9,15,-16) と同値464-3-56-27-12521664327-4-56-64-12521627327-10-1819-1000-583268592728915-167293375-4096828-16-1218-4096-172858328→1に対する(-6,-8,9) と同値ではでは。
2022/02/16
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またまた数学についての記事でございますよ今回は調和数の値を46番目まで計算してみましたので調和数についての記事を書いてみたいと思いますよまずは調和数は英語ではharmonic numberというようですなwikipedia では Harmonic divisor number となっておりますなオンライン整数列大辞典に"Harmonic divisor number"に完全一致する記事はないようでございますが・・・まぁどちらでもいいでしょう調和数の意味でございますが{(全ての正の約数)の調和平均}が、整数値になる数ですな調和平均とは、{(逆数和の平均)の逆数}ですな【こういう説明も括弧を使ったほうが明確かなと思いますな】つまり6の場合ですと6の約数は、1,2,3,6の4つですので調和平均の計算値は2となりまして整数となり、つまり割り切れたので調和数ですな1/((1/1+1/2+1/3+1/6)/4)=2上の長い式の計算ですがwindows10 の電卓アプリに式を張り付ければ計算されますよ調和数かどうか確かめるには約数の調和平均を計算してみればよいのですが計算には約数を網羅する必要があるのでなかなか面倒でございますなまた調和平均が割り切れた場合には具体的な値も観たいですなそう考えると上記の計算式は少し変形しておいたほうが都合がよいですな1/((1/1+1/2+1/3+1/6)/4)=4/(1/1+1/2+1/3+1/6)=4/((6/1+6/2+6/3+6/6)/6)=4/((6+3+2+1)/6)=6*4/(6+3+2+1)=6*(6 の約数の個数)/(6 の約数の総和)調和数を計算するために約数を網羅するのは当然としてここまで式変形しておくと計算自体もかなり簡単になりますなこの変形した式を用いて調和数を計算して表示するPythonプログラムは以下となりますよimport sympydef main(): counter=0 for n in range(1, 10**7): ds0=divisor_sigma(n, 0) ds1=divisor_sigma(n, 1) if (n * ds0 ) % ds1 == 0: counter+=1 print(counter,n,ds0,ds1,(n * ds0 ) / ds1)main()quit()python のライブラリーに整数論用の関数が提供されておりますのでこちらを使って簡単に計算することが出来ますなソースコードの中で使用されているdivisor_sigma は約数関数でございますな約数関数とは自然数 n の約数に関する関数でございましてdivisor_sigma(n, 0)は、自然数 n の約数の個数を返しますよ数学では、自然数 n の約数の個数は、関数d(n) で表記されることがありますなdivisor_sigma(n, 1)は、自然数 n の約数の総和を返しますよ数学では、自然数 n の約数の総和σ(n) と表記されることが多いですなちなみにdivisor_sigma(n, m)は、自然数 n の約数のm乗の総和を返しますよ計算結果は以下となりますよ番号調和数約数の個数約数の総和約数の調和平均111112641223286563414012336552701672066496109925767224201688163824436899297032864011106200241488010118128141625671281904826208151318600485952015141862036478801415278464878624171630240961209602417327609613104024185586072191520211910566428227584132011780048297600192116740096595200272217360072499968252323751096786240292424206072670320262533264019214515204426360360192157248044275394009617856002928695520192290304046297261801442681280393075348019231449604631950976842958592273210892701443734640423314212801925806080473415397201926289920473521785402168714160543622295009661152003537229026014480438404138245700025610483200603928458001921071360051404358600961130880037414713984160157132804842475488016817751552454357722001441696320049446051500144174283205045850640014424998400494688722001923214080053以降の調和数は最後尾にありますこちらの計算結果(調和数の列)はオンライン整数列大辞典にリストされている調和数と相違なく一致しておりますよ約数の調和平均の列はこちらと相違なく一致しておりますよ調和数の約数の個数と調和数の約数の総和がリストされているページはいまのところ見つけられませんでしたよ調和数の記事をネットで検索してみたところではこちらのPDFに大きな調和数がリストされておりましたので紹介いたしますよ調和数の素因子の個数についてこちらの記事は第9回福岡数論研究集会 in 別府の中で 秀明大学の後藤 丈志准教授が発表したものでございますなこちらの記事はタイトルの通り約数の個数ではなく素因子の重複を許した個数に着目した内容となっておりまして調和数の大きい順にはリストされておりませんな中身はまだ読み切れておりませんが・・・(省略いたしますよ)リストされている調和数の一番大きい値は82550232450186200の17桁の整数でございましたよ私は7桁の整数までの範囲でPCで計算しましたが数時間かかっておりますので上記のソースコードで17桁まで調べるのはちょっと無理でございますななおこの記事(PDF)のサーバー自体は愛知教育大学でございますな愛知教育大学の岸 康弘教授が福岡数論研究集会の世話人ということでファイルが格納されているということなのでしょうなこちらのPDF記事にリストされたいる大きな調和数について抜き出してみましたよ私は46番目までしか計算することができておりませんのでありがたく利用させていただきますよ 44 605150045 850640046 887220047 1198197048 1430352049 1549548050 1616659251 1742832052 1815450053 2308880054 2396394055 2702700056 2941029057 3355033658 3703518059 4466007060 4553280061 4668300062 5040172863 5214132064 5651100065 6926640066 7125300067 7503860068 8083296069 8169525070 9040941071 11058320072 11504844073 11546262074 13789152075 14496300076 16339050077 19171152078 23310378079 25542809680 28742580081 30015440082 31817780083 32678100084 40085136085 40738698086 42318432087 45981824088 49997493089 51351300090 52648050091 54027792092 55990340093 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35793412200164 42054536160165 43952044500166 50497467930167 54572427000168 54648009000169 57648181500170 59388963480171 73924348400172 80551516500173 83410119000174 87825283840175 89526646440176 93419333280177 108061356200178 110886522600179 126090783000180 142985422944181 147112449120182 150115204512183 151955343540184 156473635500185 159248314400186 164297299320187 169696449000188 221908282624189 236489897160190 250230357000191 280541488500192 311203567584193 321300067176194 350280184800195 428555439000196 470717137800197 494122282290198 583096381560199 765181053000200 819730138500201 888875820360202 888988066400203 950432517216204 995024181060205 997978703400206 1159571485800207 1161528261600208 1179832600464209 1253107608480210 1369947647250211 1413817996500212 1517389419000213 1584792261000214 2021976333000215 2096328767456216 2468667064500217 3356538237000218 3448576989000219 3622293071600220 4409499089268221 4903097162600222 5111051997870223 5914045683000224 6175225017000225 6764077878600226 9831938337200227 10256659997220228 10341947847528229 10461217539500230 14747907505800231 15337823806032232 16965637957800233 22047495446340234 29495815011600235 31094717121000236 43180427911400237 46013471418096238 47089809930800239 54934276752360240 56221571976570241 60876700907400242 71969788628304243 110204785627560244 127815198383600245 180789462659988246 181414595016200247 191722797575400248 274350998756016249 351362427945200250 352094693186600251 427721411658996252 510867516000912253 555874137793800254 685877496890040255 822207921882984256 899622357853800257 935607252167952258 1143129161483400259 1291983233155520260 1366639428870800261 2138607058294980262 3431346479682800263 6385843950011400264 61390229699943300265 82550232450186200
2022/02/13
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編集数の特長、性質を表す数学用語が沢山ありますが正直あまりマニアな用語は知らないなぁというものが結構あるようなのでそれらをとりあえずまとめてみようかなと思いましたよ対応する英語を把握しておきたいという目的もありますよどうせならかなり細かく網羅してみようかなと思っておりますよあと前提として数学マニア向けの分類ですので初歩的なものが抜けていると思いますよ追加が簡単なようにしたいので複雑な書き方にはしたくないのですがかと言ってもただ羅列するのもアレですからバランスとって階層図で表現して包含関係があるものは配置をネストさせてますよネストして配置しているもの和が親階層の数を完全一致するわけではないので若干ご注意くださいな(例 )また数の性質ではなくいくつかの数の組に対する性質を表す用語というものもありますが特にこだわらずに混ぜいれておりますよ数と数の関係を表す用語(逆数etc)もありますがそれは基本的には対象外にしておりますよ数(number)*多元数かどうか?→→→多元数*多元数ではない実数(real number)例 オイラーの定数(Euler-Mascheroni constant)有理数無理数(=有理数ではない)例 √2* 代数的かどうか?代数的数(algebraic number)例 √2+iプラスチック数(Plastic number)実代数的数例 ∛3超越数(transcendental number)円周率π(pi)ネイピア数( Napier's constant),自然対数の底e()リウヴィル数(Liouville number)有理数(rational number)例 1.5 ,2/30(zero)正数(positive number)負数(negative number)分数(fraction)小数(decimal),有理小数純小数(pure decimal)例 0.1帯小数(mixed decimal)例 1.1* 小数表示部が有限かどうか?有限小数(terminating decimal)(無限)循環小数(recurring decimal , repeating decimal)例 0.11111...(=1/9)純循環小数(pure recurring decimal)例 1.11111...(=10/9)混合循環小数(mixed recurring decimal)例 1.3333...(=4/3)整数(integer)例 0,1,2奇数(odd number)偶数(even number)単偶数(singly even number),半偶数複偶数(doubly even number)正整数(positive integer)非負整数(Non-negative integer)自然数(natural number)* 完全数かどうか?完全数(perfect number)不完全数(imperfect number)擬似完全数(Pseudoperfect number)準完全数(quasiperfect number)概完全数(almost perfect number)乗法的完全数(multiplicative perfect number)倍積完全数(multiply perfect number)超完全数(Superperfect number)不足数(deficient number)過剰数(abundant number)不思議数(Weird number)友愛数(amicable number)社交数(sociable number)友愛的三対(amicable triple)準友愛数,婚約数(betrothed number)拡大友愛数(perfect number)サブライム数 (sublime number)* 素数かどうか?素数(prime number)双子素数(perfect number)三つ子素数(prime triplet)四つ子素数(prime quadruplet)五つ子素数(prime quadruplet)六つ子素数(prime sextuplet)いとこ素数(cousin primes)セクシー素数(perfect number)メルセンヌ素数(Mersenne prime)弱い素数(weakly prime number)極端に弱い素数(extreme weakly prime number)循環素数(Circular primes)ラマヌジャン素数(Ramanujan prime)置換可能素数切り捨て可能素数(Left truncatable prime)右切り捨て可能素数(right truncatable prime)ソフィー・ジェルマン素数(Sophie Germain prime)safe prime)安全素数(safe prime)ワグスタッフ素数(Wagstaff prime)<プロス素数(Proth prime)ピタゴラス素数(Pythagorean prime)ピアポント素数(Pierpont prime)第2種ピアポント素数一般化ピアポント素数第2種一般化ピアポント素数カルタン素数(Quartan prime)半カルタン素数(Half Quartan prime)メルセンヌ素数(Mersenne prime)二重メルセンヌ素数(double Mersenne prime)Cuban 素数(Cuban prime)キャロル素数(Carul prime)Kynea素数(Kynea prime)レイランド素数(Leyland prime)Thabit 素数(Thabit prime,321 prime)ニューマン–シャンクス–ウィリアムズ素数(Newman–Shanks–Williams prime,NSW prime)モツキン素数(Motzkin prime)合成数(composite number)確率的素数(probable prime)擬素数(pseudoprime)フェルマー擬素数(Fermat pseudoprime)オイラー擬素数(Euler pseudoprime)オイラー・ヤコビ擬素数(Euler–Jacobi pseudoprime)ペリン擬素数(Perrin pseudoprime)フロベニウス擬素数(Frobenius pseudoprime)強い擬素数(Strong pseudoprime)リュカ擬素数(Lucas pseudoprime)フィボナッチ擬素数(fibonacci pseudoprime)概素数(almost prime)多冪数(powerful number)素数冪(prime power)累乗数(perfect number)高度合成数(highly composite number)半素数(semiprimes,semiprime,biprime)完全数(perfect prime)素数階乗(Primorial)素数階乗素数(Primorial prime)四素合成数無平方数(squarefree integer)* その他の分類平方数(square number)多角錐数(pyramidal number)三角錐数(triangular pyramidal number)四角錐数(square pyramidal number)五角錐数(pentagonal pyramidal number)六角錐数(Hexagonal pyramidal number)七角錐数(Heptagonal pyramidal number)八角錐数(Octagonal pyramidal number)五胞体数(pentatope number)図形数(figurate number)多角数(pulygonal number)中心付き多角数(centered pulygonal number)三角数(triangular number)平方三角数(square triangular number)五角数(pentagonal number)六角数(hexagonal number)七角数(Heptagonal number)八角数(Octagonal number)九角数(Nonagonal number)十角数(Decagonal number)十二角数(Dodecagonal number)回文数(Palindromic number)回文素数(Palindromic prime)回文平方数(Palindromic squares)フェルマー数(Fermat number)ユークリッド数(Euclid number)クンマー数(Kummer number), 第二ユークリッド数リュカ数()シルベスター数()トリボナッチ数()カタラン数()ベル数(Bell number)スターリング数(Stirling number)メルセンヌ数(Mersenne number)二重メルセンヌ数(double Mersenne number)オイラー数(Euler Number)星型八面体数()パドヴァン数()幸運数()モツキン数(Motzkin number)ヤーコプスタール数()ウェダーバーン・エサリントン数()ゴロム数()ペラン数()カレン数()矩形数()ウラム数()カーマイケル数()ウッダル数()アルクィン数()アロンソン数()フォーチュン数()ユークリッド数()カプレカー数()楔数()ハッピー数()ファクトリオン(Factorions)魔法数()ベルヌーイ数(Bernoulli number)チャンパーノウン定数(Champernowne constant)起伏数()パンデジタル数()アキレス数()シェルピンスキー数()リーゼル数()ブリエ数()高度トーティエント数(highly totient number)タンジェント数(tangent number)セカント数(Secant Number)ピタゴラス数(Pythagorean triple)タクシー数(taxicab number)フィボナッチ数(fibonacci number)<プロス数(Proth number)ユークリッド・ムリン数(Euclid number)キャロル数(Carul number)Kynea数(Kynea number)レイランド数(Leyland number)第2種レイランド数()Thabit 数(Thabit number)ニューマン–シャンクス–ウィリアムズ数(Newman–Shanks–Williams number,NSW number)多元数(hypercomplex number),超複素数十六元数(sedenion number)八元数(octonion number)四元数(quaternion number)余四元数(coquaternion number)双余四元数(coquaternion number)双複素数(bicomplex number)二元数(binarion number)複素数(complex number)例 √2+i(√-1)* 代数的かどうか?代数的数(algebraic number)超越数(transcendental number)* 虚数かどうか?虚数(imaginary number)例 1+i(=1+√-1)純虚数(pure imaginary number)例 2i(=2*√-1)虚数単位(imaginary unit)例 i(=√-1)ガウス整数(Gaussian integer)ガウス有理数(Gaussian rational number)アイゼンシュタイン整数(Eisenstein integer)共役複素数(conjugate complex number)実数(real number)→→→実数の分類
2022/02/08
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前回の記事が異なる2つの素数のべき乗の和は素数になる?ならない?最小の素数は?というお話でございましたが今回は平方に限定して和を取る素数の個数を増やしてみたいと思いますよではではどんどん確認していきますよ異なる2つの素数の2乗の和となる最小の素数は?132 ^ 2 +3 ^ 2 =これは調べるまでもなく最小値且つ素数ですな異なる3つの素数の2乗の和となる最小の素数は?833 ^ 2 +5 ^ 2 +7 ^ 2 =これも調べるまでもなくという結果の式ですなちなみに2^2 を残してしまうと残りが奇数素数の2乗が偶数個となりますから式全体としては偶数になってしまいますので2^2は含めない形の式が最小値の候補となりますなその形の式ではこれが最小値ですので調べるまでもないですなこの考察から素数個数が奇数の場合には2^2を残さない式が最小値になりますなこの小学生レベルの結果でございますがなんととある大学の理系学部のHPに演習問題として掲載されておりますよ「異なる3つの素数の平方の和は素数になり得ない」という命題の証明問題でございますよもちろん83という素数が示す通りこの問題自体が間違っているのは明らかですな証明内容を読んでみましたが、いやいやちょっと待ってくれと突っ込みたくなる内容でしたよ大学の学問という数学は極めて受動的な態度で学習する傾向が高いので証明が間違っているという見方ができなくなってしまうことがありますよこの問題はまさにその典型と言えるでしょうな異なる4つの素数の2乗の和となる最小の素数は?1992 ^ 2 +3 ^ 2 +5 ^ 2 +7 ^ 2 =これも調べるまでもなくという結果の式ですなこれは単なる偶然であるはずですが興味深い結果ですな異なる5つの素数の2乗の和となる最小の素数は?373(9, 25, 49, 121, 169)3 ^ 2 +5 ^ 2 +7 ^ 2 +11 ^ 2 +13 ^ 2 =これも奇数個の場合の2^2を含めない最小値の式そのままですな異なる6つの素数の2乗の和となる最小の素数は?5692 ^ 2 +3 ^ 2 +5 ^ 2 +7 ^ 2 +11 ^ 2 +19 ^ 2 =ここで初めて最小となる式よりも大きい式が素数となる結果となりましたなまぁさすがに常に最小となる式が素数になるというようなことは考えられませんのでもう少し先まで調べてみたいと思いますよちなみにその次に大きい素数はちょっと面白いですぞ6172 ^ 2 +3 ^ 2 +5 ^ 2 +7 ^ 2 +13 ^ 2 +19 ^ 2 =2 ^ 2 +3 ^ 2 +5 ^ 2 +11 ^ 2 +13 ^ 2 +17 ^ 2 =この617という素数は2通りの素数の2乗の和の組み合わせができますよほんまかいな?ということで、2つの式をWindows10の電卓アプリにペーストしてみてましたが。確かに同じ617の値になりますな。このような特徴をもつ素数が他にもあるのかどうか?また別の機会に調べてみたいと思いますよまた2つの式を簡単にすると7 ^ 2 +13 ^ 2 +19 ^ 2 =11 ^ 2 +13 ^ 2 +17 ^ 2 =579ということですな両辺を比較しやすく少し書き足しますと…素数p711131719p²49121169289361579=7^2+13^2+19^2=11^2+13^2+17^2というなかなか美しい関係になっておりますな素数関連の小ネタとして覚えておきたい式ですなまたこの式の計算値である579も覚えやすいのですがしかし579は素数ではないのが非常に惜しいような気がしますな・・このような形が成り立つ素数の組み合わせは他にもあると思いますのでそちらも調べてみたいと思いますよ異なる7つの素数の2乗の和となる最小の素数は?15435 ^ 2 +7 ^ 2 +11 ^ 2 +13 ^ 2 +17 ^ 2 +19 ^ 2 +23 ^ 2 =この式は3^2を抜いて、素数の中で9個番目に大きい23を追加したという形ですので候補の式としては最小値ではないですなこの1つ抜く素数を選ぶ場合、大きい素数から選択したほうが式全体としては小さい結果になりますなですので7番目の19^2を抜いて、素数の中で9個番目に大きい23を追加した次の式ですな3 ^ 2 +5 ^ 2 +7 ^ 2 +11 ^ 2 +13 ^ 2 +17 ^ 2 +23 ^ 2 =こう考えると、1543の式は、8番目の最小値ということになりますな最小値候補の式の件数は少ないので実際に検証してみましょう最小値となる式は3 ^ 2 +5 ^ 2 +7 ^ 2 +11 ^ 2 +13 ^ 2 +17 ^ 2 +19 ^ 2 =1023(≠素数 3が約数)2番目の最小値となる式は3 ^ 2 +5 ^ 2 +7 ^ 2 +11 ^ 2 +13 ^ 2 +17 ^ 2 +23 ^ 2 =1191(≠素数 3が約数)3番目の最小値となる式は3 ^ 2 +5 ^ 2 +7 ^ 2 +11 ^ 2 +13 ^ 2 +19 ^ 2 +23 ^ 2 =1263(≠素数 3が約数)4番目の最小値となる式は3 ^ 2 +5 ^ 2 +7 ^ 2 +11 ^ 2 +17 ^ 2 +19 ^ 2 +23 ^ 2 =1383(≠素数 3が約数)5番目の最小値となる式は3 ^ 2 +5 ^ 2 +7 ^ 2 +13 ^ 2 +17 ^ 2 +19 ^ 2 +23 ^ 2 =1431(≠素数 3が約数)6番目の最小値となる式は3 ^ 2 +5 ^ 2 +11 ^ 2 +13 ^ 2 +17 ^ 2 +19 ^ 2 +23 ^ 2 =1503(≠素数 3が約数)7番目の最小値となる式は3 ^ 2 +7^ 2 +11 ^ 2 +13 ^ 2 +17 ^ 2 +19 ^ 2 +23 ^ 2 =1527(≠素数 3が約数)ということでどれも素数ではないので8番目の最小値の1543が最小の素数と確認できましたなちなみに検証した式は全て3が約数となっておりますがそれは証明が可能でございますな先に指摘した「大学の理系学部の演習問題」の証明の中の主張が適用できるケースとなりますな簡単に言うと3以外のすべての素数pについて p²≡1(mod.3)となるので3以外の「3の倍数となる個数の素数」の平方の和を考えるとp₁²+p₂²+p₃²+・・・・p²≡3n≡0(mod.3)となりますな。よって・・・3の平方と3以外の異なる6つの素数の平方の和(計7つの和)は必ず3が約数になりますな異なる8つの素数の2乗の和となる最小の素数は?15312 ^ 2 +3 ^ 2 +7 ^ 2 +11 ^ 2 +13 ^ 2 +17 ^ 2 +19 ^ 2 +23 ^ 2 =この式は5^2を抜いて、素数の中で9個番目に大きい23を追加したという形ですな最小値ではないですが他の最小値候補の件数は少ないのでまた検証してみましょう最小値となる式は2 ^ 2 +3 ^ 2 +5 ^ 2 +7 ^ 2 +11 ^ 2 +13 ^ 2 +17 ^ 2 +19 ^ 2 =1027(≠素数 13*79)2番目の最小値となる式は2 ^ 2 +3 ^ 2 +5 ^ 2 +7 ^ 2 +11 ^ 2 +13 ^ 2 +17 ^ 2 +23 ^ 2 =1195(≠素数 5が約数)3番目の最小値となる式は2 ^ 2 +3 ^ 2 +5 ^ 2 +7 ^ 2 +11 ^ 2 +13 ^ 2 +19 ^ 2 +23 ^ 2 =1267(≠素数 =7*181)4番目の最小値となる式は2 ^ 2 +3 ^ 2 +5 ^ 2 +7 ^ 2 +11 ^ 2 +17 ^ 2 +19 ^ 2 +23 ^ 2 =1387(≠素数 =19*73)5番目の最小値となる式は2 ^ 2 +3 ^ 2 +5 ^ 2 +7 ^ 2 +13 ^ 2 +17 ^ 2 +19 ^ 2 +23 ^ 2 =1435(≠素数 5が約数)6番目の最小値となる式は2 ^ 2 +3 ^ 2 +5 ^ 2 +11 ^ 2 +13 ^ 2 +17 ^ 2 +19 ^ 2 +23 ^ 2 =1507(≠素数 =11*137)ということで7番目の最小値の1531が最小の素数と確認できましたなちなみに8つの和の最小値の素数が、7つの和の最小値の素数よりも小さいという結果になるのですな・・・異なる9つの素数の2乗の和となる最小の素数は?23933 ^ 2 +5 ^ 2 +7 ^ 2 +11 ^ 2 +13 ^ 2 +17 ^ 2 +19 ^ 2 +23 ^ 2 +29 ^ 2 =この数字については前々回の記事で取り上げておりますなこの式も最小値であることは一目瞭然という形でございますな異なる10つの素数の2乗の和となる最小の素数は?38772 ^ 2 +5 ^ 2 +7 ^ 2 +11 ^ 2 +13 ^ 2 +17 ^ 2 +19 ^ 2 +23 ^ 2 +31 ^ 2 +37 ^ 2 =これは3^2と29^2を抜いてから31 ^ 2 と37 ^ 2を加えた10個となりますなちょっと簡単には最小値であると確認することは一見には難しいように見えますなですがプログラムによって組み合わせで考えられる式を元に値の小さい順から素数を探し出させた結果でございますので相違はありませんよまた7つのケースについて「大学の理系学部の演習問題」の主張の一部を用いて説明したことが10つのケースでも適用できますので最小値となる式は2^2を含める、かつ3^2を含めない形となりますなつまり2 ^ 2 +5 ^ 2 +7 ^ 2 +11 ^ 2 +13 ^ 2 +17 ^ 2 +19 ^ 2 +23 ^ 2 +29 ^ 2 +31 ^ 2 =が最小値でして3349となりますがこれは17*197 と素数ではありませんな答えとした3877はこの最小値式の次善となる最小値式ですので正しいということになりますなちなみに次の大きい素数は以下となりますよ43572 ^ 2 +5 ^ 2 +7 ^ 2 +11 ^ 2 +13 ^ 2 +17 ^ 2 +19 ^ 2 +23 ^ 2 +31 ^ 2 +43 ^ 2 =異なる11つの素数の2乗の和となる最小の素数は?47233 ^ 2 +5 ^ 2 +7 ^ 2 +11 ^ 2 +13 ^ 2 +17 ^ 2 +19 ^ 2 +23 ^ 2 +29 ^ 2 +31 ^ 2 +37 ^ 2 =この式は奇数個の和ですのでまず2^2を抜いて全て奇数だけにする必要がありますなその上で3からの連続する素数11個を並べた式ですので最小値であることは自明ですなこれが素数になるという結果ですのでなかなか興味深いですな異なる12つの素数の2乗の和となる最小の素数は?50392 ^ 2 +3 ^ 2 +5 ^ 2 +7 ^ 2 +11 ^ 2 +13 ^ 2 +17 ^ 2 +19 ^ 2 +23 ^ 2 +29 ^ 2 +31 ^ 2 +41 ^ 2 =これは12番目の素数37を抜いて13番目の素数41を追加した式ですので2番目の最小値となる式ですなちなみに最小となる式は以下でございますがこれは素数ではないですな2 ^ 2 +3 ^ 2 +5 ^ 2 +7 ^ 2 +11 ^ 2 +13 ^ 2 +17 ^ 2 +19 ^ 2 +23 ^ 2 +29 ^ 2 +31 ^ 2 +37 ^ 2 =4727(≠素数 =29*163)異なる13つの素数の2乗の和となる最小の素数は?104535 ^ 2 +7 ^ 2 +11 ^ 2 +13 ^ 2 +17 ^ 2 +19 ^ 2 +23 ^ 2 +29 ^ 2 +31 ^ 2 +37 ^ 2 +41 ^ 2 +43 ^ 2 +47 ^ 2 =この答えの計算に私のPCではちょっと時間がかかりましたよそれはさておきこの式は単純な話でいうと最小値の式ではないことになりますが素数となり得るかどうかを考慮して最小値となる和の式を考えてみますと・・・・13つと奇数個ですから2^2は必ず抜く必要がありますなさらに3^2を含めると残りは奇数素数が12つとなってその平方の和は必ず3が約数となってしまうので3^2も抜く必要がありますなつまり上記の式は素数の候補となる最小の式であるということになりますなそして実際に素数でありますよ5からの13個の素数を連続して並べた美しい形ですなこのような規則的に生成した式の値が素数であることにはちょっと驚きですないやただの偶然なのでしょうが不思議な結果でございますな世の中の不思議な現象というのはこういうただの偶然の結果なのだと考えるとなにが起きても全て納得するしかないような気がしますな
2022/02/02
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編集今回の記事も素数についての記事でございますよま書こうと思えばいくらでも記事を書くことができる題材ではありますな先日の記事では「異なる素数の平方の和となる最小の素数は?」という簡単な問題から個数を増やして発展させていきましたが今回は乗数を上げていってみたいと思いますよまずは・・・異なる2つの素数の平方の和となる最小の素数は13=2 ^ 2 +3 ^ 2 これは簡単でございますなでは乗数を上げていってみましょうというのがこの記事で検証したいことになりますよ異なる2つの素数の立方の和となる素数はありませんよなぜならa^3+b^3 は因数分解できますからね同様に異なる2つの素数の奇数乗の和は素数になりませんなというわけで以下は2のべき乗だけが調査の対象となりますな異なる2つの素数の4乗の和となる最小の素数は972 ^ 4 +3 ^ 4 =ちなみに、異なる4つの素数の平方の和となる最小の素数は1992 ^ 2 +5 ^ 2 +7 ^ 2 +11 ^ 2 =異なる2つの素数の6乗の和となる素数は存在しませんよa^6+b^6 =(a^2)^3+((b^2))^3となりますからこれも因数分解できますな異なる2つの素数の8乗の和となる最小の素数は8157309772 ^ 8 +13 ^ 8 =815730977でございますよ一気に大きな数となりましたな・・・異なる2つの素数の16乗の和となる最小の素数は154967314251789364350993277960972 ^ 16 +89 ^ 16 =ここまではWindows10 の電卓アプリでは式の結果を正しく表示できますがこの先はダメですな異なる2つの素数の32乗の和となる最小の素数は626232975894487783608284283290747523131002927372 ^ 32 +29 ^ 32 =異なる2つの素数の64乗の和となる最小の素数は231691627527089709431146273826993554456034650755690667535271329652713553366986637083936177797099701772 ^ 64 +37 ^ 64 =異なる2つの素数の128乗の和となる最小の素数は622358701310888872487212606436137322708095421149275339466918604230587654847249468895210367307679725140763134841506758736865409023071163977879019331541215778835898654305626200392273333902060726973819063943186889641645194978254585455915302477613067647007126116085772 ^ 128 +113 ^ 128 =最初の平方の13(2 ^ 2 +3 ^ 2 =) 以外は全て下1桁が7になっておりますなこれはこの先も常に成立するのでしょうか?ちなみに必ず2のべき乗+pのべき乗となるのはこの和が奇数素数であることから自明ですな異なる2つの素数の256乗の和となる最小の素数は私がpython 言語で作成したプログラムでは扱える数値の範囲を超えてしまったので計算できませんでしたよこれはちょっと改善して最小の素数の値を算出したいと思いますよなおこの記事の内容はオンライン整数列大辞典の A123622 Smallest prime of the form p^(2^n) + q^(2^n), where p,q are primes.と同じでございますよ
2022/01/31
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前回に引き続き数学、素数の話題の記事でございますよ今回もわりやすい小ネタ的な内容でございますよ前回は異なる5つ素数の立方のの和となる最小の素数は?という命題でございましたがこれは一般化して考えてることができますな一般化して同じような素数判定を行ってみることで単なる数字であったものにまた特別な意味を見出すことができますな私個人的には4~6桁の数字が素数かどうかといった情報を覚えておくことはボケ防止、記憶力の維持に効果があるかなと思っておりますよさてさて前置きがまた長くなりましたが・・・今回は、異なる9つの素数の平方の和となる最小の素数は?ということを考えてみましたよ答えは2393でございますよ3 ^ 2 +5 ^ 2 +7 ^ 2 +11 ^ 2 +13 ^ 2 +17 ^ 2 +19 ^ 2 +23 ^ 2 +29 ^ 2 =2393これが最小であることは簡単に証明できますな偶数の素数の2を含めてしまうと残りの8個の素数は全て奇数になりますから9つの和は必ず偶数になってしまいますなよって2を含めてはいけないということが確定しますな上の式は3からの奇数素数の9個をもれなく小さい順に並べた式ですからこれが最小の式となりますなちなみに次に大きい素数は3329でございますよ3 ^ 2 +7 ^ 2 +11 ^ 2 +13 ^ 2 +17 ^ 2 +19 ^ 2 +23 ^ 2 +29 ^ 2 +31 ^ 2 =3329この2つの素数は見た目も面白いですな2,3,9,3 の各桁の数字を入れ替えて3329になりますなちょっと気になったのでこの4桁の数字の桁の入れ替えで作られる4桁数字の全てで素数かどうかチェックしてみましたよ2が末尾にくる場合は偶数となりますので当然素数ではないので省略すると・・・2339=素数2393=素数2933=7*419(半素数)3239=41*79(半素数)3293=37*89(半素数)3923=素数3932=2^2*983(偶数)9233=7*1319(半素数)9323=素数偶数を除外すると素数が4、半素数が5ということでほぼ五分五分ですな半素数の3239、3293は暗算での素数判定もちょっと難しいですなこの結果(五分五分)はなぜかちょっと悔しいので2,3,9,9 の4桁で同じ検証をしてみましたよ2399=素数2939=素数2993=41*73(半素数)3299=素数3929=素数3992=素数9239=素数9293=素数9329=19*491(半素数)9392=2^4*587(偶数)9923=素数9932=2^2*13*191(偶数)偶数を除外すると素数が8、半素数が2という結果となりましてこれは検証してみたことが報われたような気がしますな一応検証結果としては、2,3,3,9 も、2,3,9,9 どちらのケースでも並び替えで生成される4桁の奇数は全て、素数か半素数のどちらかであるということが言えますな。これは覚えておくと計算の役に立つかもしませんなこの観点ではもう少し特質性がありますよ2393は(右)切り捨て可能素数という性質もありますよ右側から各桁の数字を切り捨てた数字もまた素数であるという性質でございますな239232と確かに全て素数でございますなちなみに3329に対して同じ操作を行うと332となりますがこれは偶数でございますのでつまり3329は(右)切り捨て可能素数ではないということになりますな
2022/01/30
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私は数学好きの理系な人間でございまして数学的なことをプログラムすることが趣味でございますよIT業界で働いておりますので技術を維持するための勉強としての意味もありますなで今回は異なる5つの素数の立方の和となる最小の素数を見つけてみようということで記事をかいておりますよ答えは9551 でありますよ3^3+5^3+7^3+13^3+19^3=9+27+125+343+2197+6869=9551となりまして、9551 は素数となりますので必要条件の1つはまずは満たしておりますなもう1つの必要条件は最小の素数かどうかという点でございますが・・・まず異なる5つの素数の立方和の最小値は以下となりますな2^3+3^3+5^3+7^3+11^3しかしこれの式は偶数1つ+奇数4つですから計算結果は必ず偶数になりますなこの点を考慮すると計算結果を奇数にするためには2^3 を含めてはいけないことが確定しますなよって奇数素数になる可能性がある最小値の候補の式は以下となりますな3^3+5^3+7^3+11^3+13^3=4023ですがこれは3が約数だとすぐにわかりますな最小の候補の式を元にして、5つのどれかの項をいくつか抜いて代わりに17^3,19^3,23^3...に置換する操作によって最小の素数の次の候補を得ることができますなこの候補を洗い出して素数かどうか確認する作業ですが先に答えとして挙げた9551 の式が最小値の候補の式に既にかなり近いので沢山の計算をこの先する必要はありませんぞ(計算といってもWindows10の電卓アプリに式をペーストしているだけですが・・)実際に候補の式を網羅してみますと・・・1つ抜き 17追加5^3+7^3+11^3+13^3+17^3=8909(≠素数 59が約数 これは暗算は難しい)3^3+7^3+11^3+13^3+17^3=8811(≠素数 11が約数)3^3+5^3+11^3+13^3+17^3=8593(≠素数 13が約数 やや暗算は難しい?)3^3+5^3+7^3+13^3+17^3=7605(≠素数 5が約数)1つ抜き 19追加5^3+7^3+11^3+13^3+19^3=10855(≠素数 5が約数)3^3+7^3+11^3+13^3+19^3=10757(9551より大きいので無視)3^3+5^3+11^3+13^3+19^3=10539(≠素数 3が約数)3^3+5^3+7^3+13^3+19^3=9551(素数)3^3+5^3+7^3+11^3+19^3=8685(≠素数 5が約数)2つ抜き(3といずれか) 7^3+11^3+13^3+17^3+19^3=15643(9551より大きいので無視)5^3+11^3+13^3+17^3+19^3=15425(〃)5^3+7^3+13^3+17^3+19^3=14437(〃)5^3+7^3+11^3+17^3+19^3=13571(〃)2つ抜き(5といずれか) 3^3+11^3+13^3+17^3+19^3=153273^3+7^3+13^3+17^3+19^3=143393^3+7^3+11^3+17^3+19^3=13473・・・・・・というわけで・・・8909、8593、9951 の素因数計算が面倒なものではありましたけども結構少ない計算回数で9951が最小の素数であることが確認できましたな最小の値を求めるという場合には出来るだけ小さい数値を扱うことを目標にすれば答えにたどり着ける可能性が高いと思いますが異なる6つの素数の立方の和となる最小の素数はどうでしょうか?この問題の答えは8693でございますよ2^3+3^3+5^3+7^3+11^3+19^3=8693異なる5つの素数の立方の和となる最小の素数は9551 でしたからそれよりも小さい数値が最小の素数となることは面白い現象ですな8693が素数であることはこちらなどで確認できますなこの式は立方の和が最小値となる組である2~13 の6個の連続する素数の組から、13を抜いて代わりに19 を追加した式となりますな最小値かどうか確認するには、まずは、どの1つを抜くを抜いてどの1つを追加するかということを考えることになりますがそのパターンには以下のようになりますな17追加2^3+17^3+5^3+7^3+11^3+13^3=8917(≠素数 37が約数)2^3+3^3+17^3+7^3+11^3+13^3=8819(素数)2^3+3^3+5^3+17^3+11^3+13^3=8601(≠素数 3が約数)2^3+3^3+5^3+7^3+17^3+13^3=7613(≠素数 23が約数)2^3+3^3+5^3+7^3+11^3+17^3=6747(≠素数 3が約数)19追加2^3+19^3+5^3+7^3+11^3+13^3=10863(≠素数 3が約数)2^3+3^3+19^3+7^3+11^3+13^3=10765(≠素数 5が約数)2^3+3^3+5^3+19^3+11^3+13^3=10547(≠素数 53が約数)2^3+3^3+5^3+7^3+19^3+13^3=9559(≠素数 11が約数)2^3+3^3+5^3+7^3+11^3+19^3=8693(素数)この場合も候補値の探索からすぐに答えがありますのでこの程度であれば電卓計算だけで8693 が最小素数であることを確認できそうですなではではさらに異なる7つ素数の立方のの和となる最小の素数はどうでしょうか?7つの場合は2^3 を含めてはいけませんので・・3^3+5^3+7^3+11^3+13^3+17^3+19^3=15795が最小の候補ですので結構な大きな数字になりますなここから1つ抜いて23を追加する場合のパターンは・・・5^3+7^3+11^3+13^3+17^3+19^3+23^3=27,935(≠素数 5が約数)3^3+7^3+11^3+13^3+17^3+19^3+23^3=27,837(≠素数 3が約数)3^3+5^3+11^3+13^3+17^3+19^3+23^3=27,619(≠素数 71が約数)3^3+5^3+7^3+13^3+17^3+19^3+23^3=26,631(≠素数 3が約数)3^3+5^3+7^3+11^3+17^3+19^3+23^3=25,765(≠素数 5が約数)3^3+5^3+7^3+11^3+13^3+19^3+23^3=23,049(≠素数 3が約数)3^3+5^3+7^3+11^3+13^3+17^3+23^3=21,103(≠素数 47が約数)ここから1つ抜いて29を追加する場合のパターンは・・・5^3+7^3+11^3+13^3+17^3+19^3+29^3=40333(≠素数 53が約数)3^3+7^3+11^3+13^3+17^3+19^3+29^3=40059(≠素数 3が約数)3^3+5^3+11^3+13^3+17^3+19^3+29^3=39841(素数)3^3+5^3+7^3+13^3+17^3+19^3+29^3=38853(≠素数 3が約数)3^3+5^3+7^3+11^3+17^3+19^3+29^3=37987(素数)3^3+5^3+7^3+11^3+13^3+19^3+29^3=35271(≠素数 3が約数)3^3+5^3+7^3+11^3+13^3+17^3+29^3=33325(≠素数 5が約数)となりますな。暗算で素数判定するのは難しい数字が候補になってきましたな27,619、21,103 ともに素数でないですよ実際の計算で確認するのは面倒な数の大きさになりましたが37987が最小の素数となるようですなこの場合も候補値の探索からすぐに答えが見つかりましたなこの最小の素数を求めるプログラムをpython で書いてみましたよそれを使った答えを追加しておきますよ異なる8つの素数の立方の和となる最小の素数158032 ^ 3 +3 ^ 3 +5 ^ 3 +7 ^ 3 +11 ^ 3 +13 ^ 3 +19 ^ 3 +23 ^ 3 =異なる9つの素数の立方の和となる最小の素数817993 ^ 3 +5 ^ 3 +11 ^ 3 +13 ^ 3 +17 ^ 3 +19 ^ 3 +23 ^ 3 +29 ^ 3 +31 ^ 3 =10つの素数の立方の和となる最小の素数772372 ^ 3 +3 ^ 3 +5 ^ 3 +7 ^ 3 +11 ^ 3 +13 ^ 3 +19 ^ 3 +23 ^ 3 +29 ^ 3 +31 ^ 3 =異なる11つの素数の立方の和となる最小の素数2007793 ^ 3 +5 ^ 3 +7 ^ 3 +11 ^ 3 +13 ^ 3 +17 ^ 3 +19 ^ 3 +23 ^ 3 +29 ^ 3 +41 ^ 3 +43 ^ 3 =異なる12つの素数の立方の和となる最小の素数1825192 ^ 3 +3 ^ 3 +5 ^ 3 +7 ^ 3 +11 ^ 3 +13 ^ 3 +17 ^ 3 +19 ^ 3 +23 ^ 3 +29 ^ 3 +37 ^ 3 +43 ^ 3 =13つの素数の立方の和となる最小の素数3343933 ^ 3 +5 ^ 3 +7 ^ 3 +11 ^ 3 +13 ^ 3 +17 ^ 3 +19 ^ 3 +23 ^ 3 +29 ^ 3 +31 ^ 3 +41 ^ 3 +43 ^ 3 +47 ^ 3 =異なる14つの素数の立方の和となる最小の素数3161332 ^ 3 +3 ^ 3 +5 ^ 3 +7 ^ 3 +11 ^ 3 +13 ^ 3 +17 ^ 3 +19 ^ 3 +23 ^ 3 +29 ^ 3 +31 ^ 3 +37 ^ 3 +43 ^ 3 +47 ^ 3 =異なる15つの素数の立方の和となる最小の素数7311133 ^ 3 +5 ^ 3 +7 ^ 3 +11 ^ 3 +13 ^ 3 +17 ^ 3 +19 ^ 3 +23 ^ 3 +29 ^ 3 +37 ^ 3 +41 ^ 3 +43 ^ 3 +47 ^ 3 +53 ^ 3 +61 ^ 3 =異なる16つの素数の立方の和となる最小の素数私のパソコンではこれの計算に結構時間がかかりました・・・6570892 ^ 3 +3 ^ 3 +5 ^ 3 +7 ^ 3 +11 ^ 3 +13 ^ 3 +17 ^ 3 +19 ^ 3 +23 ^ 3 +29 ^ 3 +31 ^ 3 +37 ^ 3 +41 ^ 3 +43 ^ 3 +53 ^ 3 +61 ^ 3 =ちなみに2番目に小さい素数は6886572 ^ 3 +3 ^ 3 +5 ^ 3 +7 ^ 3 +11 ^ 3 +13 ^ 3 +17 ^ 3 +19 ^ 3 +23 ^ 3 +29 ^ 3 +31 ^ 3 +41 ^ 3 +43 ^ 3 +47 ^ 3 +53 ^ 3 +59 ^ 3 =
2022/01/29
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6÷2(1+2)という式の答えについて回答が9と1に分かれるようですな私は1 が正解だと結構自信をもって考えましたよ9は間違いだろうと。その理由は6÷2(1+2) は 6÷2*(1+2) とは違います、という単純な主張でございますな勝手に乗算記号追加しちゃだめだめということですな2(1+2)は項にあたるでしょ?項は項だけで計算してあげなきゃいけないでしょ?なのに、なんで6÷2 を先に計算しちゃうの?なんでそうなるの?という理由ですな実際google の計算ではhttps://www.google.com/search?q=6/2(1%2B2)が9という結果になりますがそれを確認してもなお「googleは数式処理ロジックに手を抜いたんだろう」と思いましたからね笑ですが、いろいろネットの記事を見たりしているうちに9を答とする考え方にも納得できるようになりましたよそれはですね・・・6÷2(1+2) だと、なんとなく、2(1+2)が項に見えてしまうだけでしょ?ということですな6÷2(1+a)という式だった場合は・・・6÷2(1+a)=⁶/₂(1+a) (分数のように見えた、推測した場合)=3(1+a)こんな風に式を解釈することもあり得るなぁということに納得できれば1という答えが、必ずしも全ての人が同じ答えとなるとは言えないことに気付きますないやむしろ 6÷2(1+a) という式が ⁶/{2*(1+a)} なのか ⁶/₂(1+a) なのかはその式を導出した過程に答えがあるのであって式だけではどっちにも取れるなもしかして、これ、あいまいなのか?と理解いたしましたよ式によっては曖昧さが生じてしまうことがあるということですな6÷2(1+2) の2(1+2)の部分が項に見える理由は普通は数字のみの式では掛け算記号は省略しないからですなだから逆に言えば、そこで掛け算記号を省略したっていうことはそこはつまり・・・変数を使った代数的な数式の想定でいいんだよね?そこは項なんだよね?と・・・曖昧な部分に対して自分の知識を当てはめたただの推測だったんだと気付きましたよ対して、6÷2(1+2) の式の 最初の部分の6÷2 が分数的な表現だと推測して解釈することにも一理有るなと。
2021/12/29
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GW中に前からずっと手を付けようと思っていた数学の勉強し直しにやっとここ数日時間をかけて取り組むことが出来ましたよ大学の講義のテキストとして購入した数学の専門書を久しぶりに開いてますよマイナスかけるマイナスがプラスになることの証明について脳内イメージではすんなりと受け入れていることでそれを数直線上で具体的に視覚化して説明することもできますが・・・数学が得意でない方にはチンプンカンプンな内容でも意味ねーと思われてもいいので私個人の大学数学の勉強し直しとして数学的な厳密な証明を記事として書いてみたいと思いますよ数の集合Zをする。集合Zの要素のことを元と呼ぶ。2つの元 a,b に対して「和」という演算を以下のように定義する。a+b という計算式で表現し、その値はZの元となる。同様に「積」という演算を以下のように定義する。ab という計算式で表現し、その値はZの元となる。a*b という計算式も同じく「積」の表現であるとする。さらにZは以下の性質を持っていると定義する。R1.演算「和」について、常に、a+b=b+a が成立する。これを、「和の交換律」 という。R2.演算「和」について、常に、(a+b)+c=a+(b+c) が成立する。これを、「和の結合律」という。R3.演算「和」について、全ての元a に対して、a+0=a を満たす元「0」が存在する。R4.演算「和」について、全ての元a に対して、a+(-a)=0 を満たす元 「-a」が存在する。R5.演算「積」について、常に、ab=ba が成立する。これを、「積の交換律」という。R6.演算「積」について、常に、(ab)c=a(bc) が成立する。これを、「積の結合律」という。R7.演算「和」「積」について、常に、a(b+c)=ab+ac が成立する。これを、「分配律」という。R8.全ての元a に対して、a1=a を満たす元「1」が存在する。以上のように、数の集合Zの性質を数学的に再定義したが現実の数の性質と相違がなくR1~R8の定義内容は全て自明である(参考)。この時、以下の2つの式が成立する。(i) a0=0(ii) (-1)(-1)=1証明:(i)各定義を適用して式変形していく。a0=a*0 =a*(0+0) 「元0」=a0+a0 「分配律」よってa0=a0+a0となり、「元0」の定義 から、a0=0 である。(証明終わり)(ii)各定義、及び、前問(i)を適用して式変形していく。(-1)(-1)=(-1)(-1)+0 「元0」=(-1)(-1)+(1+(-1)) 「元-a」=(-1)(-1)+((-1)+1) 「和の交換」=((-1)+1)+(-1)(-1)「和の交換」=(1+(-1))+(-1)(-1) 「和の交換」=1+((-1)+(-1)(-1)) 「和の結合律」=1+((-1)*1+(-1)(-1)) 「元1」=1+((-1)*(1+(-1)) 「分配律」=1+((-1)*0) 「元-a」=1+0 「(i)」=1 「元0」(証明終わり)
2019/05/04
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この楽天ブログにいくつか IT 関連の記事を投稿しておりますがプログラムを楽天ブログに載せるのはなかなか手間でしたな投稿する際に妙な文字チェックのルールがあってそのまま投稿できなかったりしてわざわざ投稿するために書き換えたりしておりましたよそんなことがあったのでもっと普通に投稿できるところはないかなと探していたのでございますがはやり有名なところのほうが良いかと思いましてQiita というプログラマーのための技術情報共有のサービスを使って投稿することにいたしましたよ作図のみで arctan(1/1)+arctan(1/2)+arctan(1/3)=π/2 を証明ヤフーブログの件のようにいきなりサービスが終了してしまうようなことは楽天では起らないと思いたいですがまぁわかりませんなIT関連の記事は結構長く共有される可能性がありますしQiitaは有名ですからIT関連の記事はそちらにまとめておこうかと思いますよというわけでこちらのブログには画像だけ貼っておきますよ
2019/03/03
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個人的には興味のある話題なのですがあまりニュースになっていないようなので共有しますよ慶應義塾大学の大学院生が発見、世界でたった一組の三角形こちらの記事で説明されていますが・・・377:352:135の直角三角形と、三辺の長さの整数比が366:366:132の二等辺三角形は、比をそのまま長さとすれば、周の長さが864(=377+352+135=366+366+132)、面積が23760(135×352÷2=132×360[二等辺三角形の高さ]÷2)であり同じ値になるということでしてへぇそれで?どうしたの?というツッコミはちょっと待ってくださいよということなんですよねそういう組になる整数の辺の三角形の組み合わせがこれただ1つだというのですから謎ときの暗号のような特別な数字なのかとちょっとわくわくしてみたくなりますな・・・しかし・・・6つの数字はどれも素数ですらないですな377=13 * 29ですな・・・なんか美しさを感じないわけでございましてそう考えるともしかしてもっとシンプルな条件で世界でたった一組の三角形という別の問題が存在するんじゃないかと想像してしまいますなしかし直角三角形と二等辺三角形の組合わせっていうのは小学生にも理解できる十分にシンプルな内容でございます数学の神様はこの唯一の組み合わせにどんなメッセージを隠しているのでしょうか?この数字を応用した技術が出てくると面白いですな
2018/09/24
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