らくがんの休日

宝くじの当たる確立は？

宝くじの当たる確立は？

ナンバーズとロト６

宝くじに、ナンバーズとロト６ってありますよね。
ナンバーズには、０～９までの１０個の数字から３個を選ぶナンバーズ３と、同じく１０個の数字から４個を選ぶナンバーズ４があります。
ロト６は１～４３の数字から、６個を選びます。

当たりのタイプには２種類あって、並び順までが一致するストレートと、選ばれた３種類の数字が一致すればどの並び順でもかまわないボックスとがあります。

会社で、ある人が言いました。
「ナンバーズを買おうと思うんです。今朝、起きた時にひらめくものがあって、当たる気がする・・・」
こういう予感は大切。
「じゃあ買わなきゃね。当たったら、いくらもらえるんだっけ？」

ナンバーズ３の場合、当選人数によりますが、ストレートの当選金はだいたい７～１２万くらい。
ボックスで１～２万くらい。

「３つくらいなら当たりそうじゃない？」
「いや、これがなかなか当たらないんですよ～」
というわけで、当選の確率へと話は発展していきました。

ストレートの場合

ストレートの計算は簡単にできました。

最初の１桁が当たる確立は、１／１０、２番目も同じく１／１０、３番目も１／１０。
１／１０×１／１０×１／１０＝１／１０００

当たる確立は、１／１０００。

ボックスの場合

こちらが難関でした。
ストレートの組み合わせから、同じ数字で構成されるものを除けばいいんですが、さてそれができません。
私、数学は苦手でしたし・・・・。(^^;
幸い、周囲はオール理系。
教えてもらえばいいじゃん、と思ったんですが、これが簡単ではありませんでした。

まず第一に、理系がみんな数学が得意と思ってはいけないらしいです。
いや、少なくとも全員私よりは得意ですが、理数科目の中でも得意な分野があるそうで。

それに自分は理解できていても、それを解りやすく教えるのって結構ムズかしいんですよね。
私の数学に関する理解は、中学で終わっちゃってますし～。(^^;
中学で『順列と組み合わせ』ってあったと思いますが、もうあんまり覚えていません。

「オレ、確率得意！」という人の説明は私には解らず、そして彼は「私が、どこがわからないのか、わからない」状態。
結局、金曜日から始めて、解決を見たのは火曜日。
教師陣は総勢５人。
ごめんね～、出来の悪い生徒で・・・・。(^^;
でもおかげで、『教える・教わる』というのは互いのコミュニケーション能力をフルに活用しないと難しい、ということが
よーくわかりました。
数学みたいに答えのハッキリしたものでさえ、これですからね。
通常の仕事の指導とか、意志の伝達がどれほど大変かわかるってものです。

というわけで、ボックスの場合の当選確率にまいります。

まずは数字のタイプを３種類にわけて考えます。
３つとも同じ数字のもの（１１１とか２２２とかのゾロ目ですね）、２つの数字が同じもの（１１２とか２２３とか）、
３つの数字が全て違うもの（１２３とか４５６とか）です。

次にそれぞれのパターン別に、何通りあるかを考えていきます。

ゾロ目は簡単ですね。
０００，１１１，２２２，３３３～９９９まで、 １０通り しかありません。

次は２つの数字が同じもの。

１１１	２２１	３３１	４４１	５５１	６６１	７７１	８８１	９９１	００１
１１２	２２２	３３２	４４２	５５２	６６２	７７２	８８２	９９２	００２
１１３	２２３	３３３	４４３	５５３	６６３	７７３	８８３	９９３	００３
１１４	２２４	３３４	４４４	５５４	６６４	７７４	８８４	９９４	００４
１１５	２２５	３３５	４４５	５５５	６６５	７７５	８８５	９９５	００５
１１６	２２６	３３６	４４６	５５６	６６６	７７６	８８６	９９６	００６
１１７	２２７	３３７	４４７	５５７	６６７	７７７	８８７	９９７	００７
１１８	２２８	３３８	４４８	５５８	６６８	７７８	８８８	９９８	００８
１１９	２２９	３３９	４４９	５５９	６６９	７７９	８８９	９９９	００９
１１０	２２０	３３０	４４０	５５０	６７０	７７０	８８０	９９０	０００

となるんですが、この時１１で始まるものの１０通りのうち、１１１はカウントしてはいけません。
すでに、ゾロ目の方でカウントしていますから。
ということは、
　　１１で始まるもの９通り　×　１１，２２，３３～００まで１０列　＝　 ９０通り

そして、問題の３つの数字が全て異なるもの・・・私がひっかかったのはココでした。
ここは２段階の考え方をします。

まずは、３つの数字が違うもののストレートの組み合わせが幾つあるかを考えます。

１２３
１２４	１３４							２３４
１２５	１３５	１４５						２３５	２４５
１２６	１３６	１４６	１５６					２３６	２４６	２５６
１２７	１３７	１４７	１５７	１６７				２３７	２４７	・・・	２６７
１２８	１３８	１４８	１５８	１６８	１７８			２３８	２４８		・・・	・・・
１２９	１３９	１４９	１５９	１６９	１７９	１８９		２３９	２４９
１２０	１３０	１４０	１５０	１６０	１７０	１８０	１９０	２３０	２４０

全ての数字が異なるんですから、１桁目に１を選んだら、２桁目以降には１を選べませんよね。
つまり２桁目に選べる数字は、１０種類－１種類＝９種類のどれかです。
そして、３桁目に選べる数字は、１桁目＆２桁目ですでに２種類選んでますから、１０種類－２種類＝８種類。

ということで、
　　１０種類　×　９種類　×　８種類　＝　７２０通り
ストレートだったら７２０通り あるわけです。

でも今考えているのはボックスの当選確率。
７２０種類の中から、同じ数字を使っているものを取り除かなければなりません。

ここで、ａ，ｂ，ｃの３つの記号を使って、３桁の並びがいくつできるか考えてみます。

ストレートの場合

→

ボックスの場合

ａ－ｂ－ｃ
ａ－ｃ－ｂ

ａ、ｂ、ｃ

ｂ－ａ－ｃ
ｂ－ｃ－ａ

ｃ－ａ－ｂ
ｃ－ｂ－ａ

ストレートの場合は６通りのものが、ボックスの場合は１通りになります。
ストレートの計算方法は、上と一緒で
　　３種類　×　２種類　×　１種類　＝　６通り

つまり、３つの異なる数字であれば、どんな数字であっても、ストレートの組み合わせの数はボックスの６倍あるわけです。
だから、上記の７２０通りも
　　７２０通り　÷　６　＝　 １２０通り　がボックスの時の数 。

ちなみに、これを分数の式で表すと、こんな感じ。
　　１０　×　９　×　８
　　---------------
　　　３　×　２　×　１

上記３タイプの考え方によって出た答えを全部足すと、
１０通り　＋　９０通り　＋　１２０通り　＝　２２０通り

よって、ナンバーズ３のボックスの当選確率は、１／２２０です。
やった～～～～～！＼(^o^)／

ナンバーズ４のボックス当選だったら？

基本的には、ナンバーズ３と同じように考えてよいようです。

パターン分けは
　　全部の桁が同じ数　（１１１１，２２２２，３３３３，４４４４～）
　　最初の２桁だけが同じ数　（１１２３，１１２４，１１２５～）
　　最初の３桁だけが同じ数　（１１１２，１１１３，１１１４～）
　　全部の桁が違う数　（１２３４，１２３５，１２３６～）

　　そして、忘れてはいけないのが、２桁ずつが同じ数　（１１２２，１１３３，１１４４～）

奥が深いですね・・・・。

こちらはまだ計算＆検証（検証するのは私ではない。社内の誰か(^^;)）していないので、
今度ヒマな時にやってみようと思います。

数学もわかってくるとオモシロイですね。(^^)

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