くログ

２．確率線

では、その確率分母（上の例では３１５．５回転や２４０．９回転）以内で当たること、つまり確率線内で当たるのって一体どれくらいの割合なんでしょう？

では、まず上の１／３１５．５の例で式をたててみましょう。
その前に、「確率線内で当たる」ということは、「確率線内で当たらないこと」の逆ということはお分かりでしょうか？
例えば、サイコロを３回振って「１の目が１回でも出る」ということは全部の確率、つまり、１から「１の目が１回も出ない」という確率、５／６の３乗を引けばいいんです。

　　　　　　　　　　　　　　　３
　　　　　　１　－　（５／６）　＝　０．４２１２９

このことを踏まえて、１／３１５について考えてみましょう。
先程と同じ考えで式をたてて計算してみます。
今回は３１４．５／３１５．５の３１５．５乗になりますよね。

　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　３１５．５
　　　　　　１　－　（３１４．５／３１５．５）　＝　１　－　０．３６７３０
　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　＝　０．６３２７０

大体６３％ぐらいですね。
では、１／２４０．９の方もやってみます。

　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　３１５．５
　　　　　　１　－　（２３９．９／２４０．９）　＝　１　－　０．３６７１２
　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　＝　０．６３２８８

あれ？
なにやらかなり近い数値が出てきましたね。
これはどう言うことでしょうか？

もし、この確率分母をかなり巨大にしてみたらどうなるでしょうか？

その分母を「ｎ」と置いて式を作ってみます。

　　　　　　　　　　　　　　　　　　　ｎ　　　　　　　　　　　　　　　　ｎ
　　　　　　１　－　｛（ｎ－１）／ｎ｝　＝　１　－　｛１－（１／ｎ）｝

ではここからが本題です。「ｎ」を無限大まで大きくしてみましょう。

その前に・・・少し脱線です。
ある数値をある大きさ（小ささ）まで持っていくとき、数学では「limit」という式を使います。
計算式では「lim」と書きます。
例として、ｈという数値が含まれる式を５まで持って行ってみます。

　　　　　　ｌｉｍ　（２ｈ）　＝　２　ｘ　５　＝　１０
　　　　　　h→5

そして、ｈを無限大に持っていくと・・・。

　　　　　　ｌｉｍ　（２ｈ）　＝　２　ｘ　∞　＝　∞
　　　　　　h→∞

無限大に２をかけても無限大ですからね。

ここで、「ｅ」という記号が出てきます。
詳しい説明は避けますが、下の式に当てはまる数値のことを言います。

　　　　　　　　　　　ｈ
　　　　　　　　　　ｅ　－　１
　　　　　　ｌｉｍ　―――――　＝　１
　　　　　　h→∞　　　　ｈ

そして、「ｅ」の値は・・・。

　　　　　　ｅ　＝　２．７１８２８・・・

となり、決して割り切れません。
円周率みたいですね。

　　　　　　　　　　　　　　　　　　ｎ　　　　　　　　　　　　ｎ
先ほど作った１－｛１－（１／ｎ）｝から、｛１－（１／ｎ）｝だけを取り上げてみます。
とりあえずはこれだけを頭の片隅にいれておいてくださいね。

ところで、「ｅ」には、こんな法則があります。

　　　　　　　　　　　　　　　　　ｎ
　　　　　　ｌｉｍ　｛１＋（１／ｎ）｝　＝　ｅ
　　　　　　ｎ→∞

この式は変形するとこうなります。

　　　　　　　　　　　　　　　　　－ｎ
　　　　　　ｌｉｍ　｛１－（１／ｎ）｝　＝　ｅ
　　　　　　ｎ→∞

あれ？さっき頭の片隅においてあるはずの式にかなり似ていますね。
ｎ乗か－ｎ乗かの違いです。
・・・ということは・・・。

　　　　　　　　　　　　　　　　　　ｎ
　　　　　　ｌｉｍ　｛１－（１／ｎ）｝　＝　１／ｅ
　　　　　　ｎ→∞

となりますよね。
乗数がマイナスということは分母と分子が入れ替わると言う意味なんです。
これでさっき作った、確率分母を無限大にする式の答えがわかります。

　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　ｎ　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　ｎ
　　　　　　ｌｉｍ　［１－｛１－（１／ｎ）｝］　＝　１　－　ｌｉｍ　｛１－（１／ｎ）｝
　　　　　　ｎ→∞　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　ｎ→∞

　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　＝　１　－　１／ｅ

　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　＝　１　－　１／２．７１８２８

　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　＝　１　－　０．３６７８８

　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　＝　０．６３２１２

つまり、確率線内で当たる確率は６３．２％となるわけですね。
約３回に２回は当たるはずなんです。
もちろんあくまでも確率が低くなる（分母が大きくなる）ことでこの値に近づくと言うことですが、分母が１００を超えればほとんど誤差はありません。
この値を心に刻んでおいてくださいね。

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