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February 7, 2015

積分は「積」なんだよって話

(6)

カテゴリ：小鬼の学習記録

小鬼の学校では数IIIの積分が始まっていて、何をやってるか確かめると、なんかいろいろ積分のルールが並んでいる。おおそういえばそんなこと勉強したかも。でも感動するくらいなああーーーんにも覚えてないや。←いちおう数学科。
というか暗記した覚えがないから、IIから勉強してくとこのへんは「自然な流れ」で理解できるノリの公式だったんだよなたぶん。
ま、そんなのどうでもいいや。

小鬼には、グラフに重ねて棒グラフみたいなものを描いて、「つまり面積を求めようって式なわけよ」と教える。xの変化した分とyの変化した分の積だから、積分。

でも実はこれ、高校を卒業してから納得した概念で、それが納得できなかったから物理で微積を使うところで引っかかったのだった……。

小鬼はわかってないようなわかってないような、つまり「わからん」顔をしている。
どうにかなるのだろうか。
あまり時間は無い。

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Last updated February 12, 2015 07:48:50 AM
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■コメント

Re:積分は「積」なんだよって話(02/07)

chem0707 さん

ししゃもさんに質問。
ししゃもさんの中では

数学の問題では

「関数f(x)とx軸、x=aとx=bの直線で囲まれた部分の面積を求めよ」
みたいな問題が頻出しますが、

それと、この記事のテーマ（区分求積法てことですよね）は、
どのようにつながってたのですか、あるいは、つながってなかったのですか？

息子は、上記「関数・・」みたいな問題の範囲で、積分と面積の関係は理解しているし
おそらく、それをぐるっと回転すると体積になる、あたりも理解できていると思いますが、
区分求積法と積分公式の関係はたぶん理解できていないと思います。

(February 12, 2015 04:09:36 PM)

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Re[1]:積分は「積」なんだよって話(02/07)

伊藤ししゃもさん

chem0707さん

＞それと、この記事のテーマ（区分求積法てことですよね）は、
＞どのようにつながってたのですか、あるいは、つながってなかったのですか？

そも微分から既に、定義を読み飛ばしてましたね。
積分は「微分の逆算」くらいの認識です。「面積が出る」と言われたら、へー出るんだーーーみたいな。

大学でイプシロンデルタを理解するのに2年かかったクチですが、ここで「厳密にする」というやつを理解して、ようやく何やってるかわかった、みたいな。

＞息子は、上記「関数・・」みたいな問題の範囲で、積分と面積の関係は理解しているし
＞おそらく、それをぐるっと回転すると体積になる、あたりも理解できていると思いますが、
＞区分求積法と積分公式の関係はたぶん理解できていないと思います。

あー私の高校くらいの感覚が、ほぼそれじゃないかと。少々ルールの細かいパズルを解く感覚です。 (February 14, 2015 05:41:12 PM)

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Re[2]:積分は「積」なんだよって話(02/07)

chem0707 さん

伊藤ししゃもさん
＞あー私の高校くらいの感覚が、ほぼそれじゃないかと。少々ルールの細かいパズルを解く感覚です。

なるほど。

私自身は、高校のころは数学の先取りなどしていなかったので２年生ではじめて微積に出会いました。
微分は、
｛ｆ（ｘ＋ｈ）－ｆ（ｘ）｝／ｈ
で、ｈを１に近づけるという定義でマスターしたと記憶しています。
積分も、区分求積法からはいり、ついで、微分と積分が逆演算であるということを学びました。
この積分についての全く異なる定義がしばらくふわふわ頭の中でただよっていましたが、
しばらく接しているうちにそんなものだと慣れてしまったように記憶しています。

息子は小学3年生で微積に出会いましたが、上記のような定義には全く興味なく、
まさに「少々ルールの細かいパズルを解く感覚」で、数IIレベルの微積分の範囲を一旦終えました。
定義は全く理解していないことは承知していましたが、そのうち、また興味をもつこともあるだろうし・・と思って先に進ませました。
公文では、初歩的な微積のあとに、数列・ベクトルなどの数B範囲の教材があって、
ついで、数IIIの教材にはいります。
数IIの範囲の微積の定義をないがしろのしていた息子はここでつまづきました。
極限値とかがでてくるんですが、さっぱり理解できなかったようです。
公文だと数IIIレベルの微積のあとに、数C範囲（小鬼君からはカリキュラムがかわってしまったけど）確率・統計と行列の教材があって、小学３年生の間にこちらを先に終わらせました。
そして再び数IIIの微積に戻ったのですが、やはりさっぱり進みません。
いろいろ考えて、もう少し前からやり直す方がいいのだろうなと思い、
公文の先生とも相談して、数IIBからやりなおすことにしました。
5年の夏休みに高校基礎課程テストという数IIの微積までの範囲の認定テストをうけることにして、
そこまでの復習をだいぶやりました。
また、数検の準2級（数IAまでの範囲）を昨年11月（小5の11月）にうけ、数Iまでの復習も大分しました。
認定テストにも数検にも無事受かったので、再び数IIIの教材に取り組みはじめました。
復習したのは無駄ではなかったらしく、それまでなんとなくわかった気になっていたことが
実はわかってなくて、つまづいていたことに本人も気が付いたようです。

この1月くらいから極限の勉強を始めて、関数の連続性についても理解できるようになりました。
高校レベルなんでε―δはでてきませんが、右から近づける、左から近づける・・・
不連続な関数の極限といった概念も理解できているようです。

数IAぐらいまでの教材を学ぶ速度は、通常の2倍ぐらいの早さだったのですが（8歳までに16歳までの教材がおわっていた）、そこから3年たってもまだ18歳までの教材はおわっていません。
ししゃもさんのおっしゃる「ちょっと複雑なパズル」から、本格的な高等数学になる境目がそのあたりがあるのではないかな、と思っています。
人によって違うのかもしれないのですが。

私自身は、εーδは高３で先取で教わったこともあって、大学１年レベルの解析はついていけたのですが、線形代数でついていけなくなりました。
抽象的な概念はさっぱりでしたね。必要にせまられて（物理や化学の勉強に線形代数は必須の道具なので）計算方法は身につけましたが、
線形代数の本質が理解できているかというと多分理解できていません。息子がそのレベルまでいけるのかどうかは謎ですが、
息子にはたっぷり時間があるというのがうらやましくもあります。
数IIIを2年間ゆっくり時間をかけて学ぶだけの余裕があるわけですからね。

(February 14, 2015 08:59:54 PM)

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Re[3]:積分は「積」なんだよって話(02/07)

伊藤ししゃもさん

chem0707さん

＞積分も、区分求積法からはいり、ついで、微分と積分が逆演算であるということを学びました。

おお、そうですか。
私は微分をやったとき、「次はこれの逆算やるんだろな」って待ち構えてましたw

ちなみに極限値は、微積とは「別の概念」って感覚です。いや使うのはわかってますし、研究室では無限大にとばしまくってましたがそれはそれ。

＞高校レベルなんでε―δはでてきませんが、右から近づける、左から近づける・・・
＞不連続な関数の極限といった概念も理解できているようです。

で、「別物」感覚なので、このへんは躓かなかったわけです。グラフがあれば、直感的に理解できますし。
ただ、きちんと定義から理解しようとすると、抽象度が増してくのは、確かに微積あたりからでしょうか。

私はたぶん、定義をすっとばしグラフを眺めてこのへんを通りぬけちゃったんですよ。で、イプシロンデルタで苦労する、と。
息子くんは、高校の段階である程度「厳密にする」部分に時間をかけたのかもしれませんね。

余談ですが、３～４年前に大学入試問題の検証の仕事をちょっとだけ担当させてもらったのですが、「あれ?　ここは厳密に証明してから解かなくていいんだっけ?」の連発でした。大学入試までは、解法に関してはパズルに徹するべきもののようです。 (February 18, 2015 11:13:09 PM)

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Re[4]:積分は「積」なんだよって話(02/07)

chem0707 さん

伊藤ししゃもさん

＞余談ですが、３～４年前に大学入試問題の検証の仕事をちょっとだけ担当させてもらったのですが、「あれ?　ここは厳密に証明してから解かなくていいんだっけ?」の連発でした。大学入試までは、解法に関してはパズルに徹するべきもののようです。
-----

たしかに、きちんとした定義を出題する大学は少ないです。
出しても、全員討死では「受験生に差をつける」のが存在意義である入試としては意味がないから。

でも、よく調べてみれば、いくつかの大学で「微分の定義をそのまま問う」問題は出題されているはずです。（数学科向けに特別な問題が用意されているところとか、超難関大学に限定かもしれませんが）

私のよく知っている大学で、個人的によく知っている人が、そういう問題を出していました。

「数学」は数学を専門にしない人にとっては、「道具」にすぎないので、
数学を将来の専門にしない人にとっては、「ちょっと難しいパズル」でも構わないのだと思います。

将来、ちょっとでも数学で飯を食おうと思ったら（高校の数学の教師も含め）、パズル感覚ではちょっと足りないかな。
抽象的な部分をきちんと理解して、さらにそれをかみ砕いて人に説明できるようになっている必要があるのではないでしょうか。
それもまた、教える高校のレベルによるのかもしれないけれど。

(February 19, 2015 08:43:51 AM)

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Re[5]:積分は「積」なんだよって話(02/07)

伊藤ししゃもさん

chem0707さん
＞いくつかの大学で「微分の定義をそのまま問う」問題は出題されているはず
たぶん、そうでしょう。私が担当したのは、全国の国公立の過去問集で、いわゆる解法パターンの解説本だったんで。

＞「数学」は数学を専門にしない人にとっては、「道具」にすぎないので、
＞数学を将来の専門にしない人にとっては、「ちょっと難しいパズル」でも構わないのだと思います。

そう思います。
で、私は定義はスルーしたのに、「これが道具として使える」というところで引っかかっちゃったんですね。それで物理の道具にできなかったと。
実は定義に戻れば、グラフを経由して「道具に使える」ことが納得できたはずなんですが、定義をとばしてたのが拙かったw

＞将来、ちょっとでも数学で飯を食おうと思ったら（高校の数学の教師も含め）、パズル感覚ではちょっと足りないかな。
＞抽象的な部分をきちんと理解して、さらにそれをかみ砕いて人に説明できるようになっている必要があるのではないでしょうか。
＞それもまた、教える高校のレベルによるのかもしれないけれど。

そうですね。
あと予備校だとむしろ、パズルのパターンを知ってることが大事かもしれないと思います。地頭のいいひとはともかく平均値の学生にとって、受験勉強はすべきことが多すぎるように思います。
子どもの学校で、某教科で「この科目の真の価値を教えたい」みたいな先生がいらっしゃって、学習時間の半分を宿題で奪ってくので、すごく迷惑してます。きちんと「道具としての使い方」を教えてほしいのに。 (February 22, 2015 05:11:58 AM)

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