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コメント新着
微分積分いい気分♪
主に数学ネタ中心でのブログ更新です。
2008.09.02
カテゴリ： カテゴリ未分類
Lp空間はルベーグ積分で定義される関数の集合なんですが、これがまた素晴らしい。
くわしくは こちら を参考にしていただけばいいとして、何が素晴らしいのかを簡単に説明すると、
まずLp空間は線形空間になるのはもちろんのこと、同値類を
f～g⇔md(外測度)({x∈E;f(x)≠g(x)})=0 a.e x∈E
で定めれば、Lp/～はノルム空間となります。さらに、このノルム空間は完備なので、なんとバナッハ空間になるのです。
本によると、リーマン積分ではノルム空間を完備にすることはできないそうで、実はこのルベーグ積分による完備性が、現代の解析学でとても重要であるそうです。例えば縮小写像の原理とかが有効なんだとか。
リーマン積分にこれほどの穴があったなんてねぇ。有限個の点を除いて不連続程度ならリーマン積分でも簡単に積分できるから、十分かと思っていましたが、やっぱ可算無限個の基本正方形による被覆は恐ろしいです。
くわしくは こちら を参考にしていただけばいいとして、何が素晴らしいのかを簡単に説明すると、
まずLp空間は線形空間になるのはもちろんのこと、同値類を
f～g⇔md(外測度)({x∈E;f(x)≠g(x)})=0 a.e x∈E
で定めれば、Lp/～はノルム空間となります。さらに、このノルム空間は完備なので、なんとバナッハ空間になるのです。
本によると、リーマン積分ではノルム空間を完備にすることはできないそうで、実はこのルベーグ積分による完備性が、現代の解析学でとても重要であるそうです。例えば縮小写像の原理とかが有効なんだとか。
リーマン積分にこれほどの穴があったなんてねぇ。有限個の点を除いて不連続程度ならリーマン積分でも簡単に積分できるから、十分かと思っていましたが、やっぱ可算無限個の基本正方形による被覆は恐ろしいです。
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