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微分積分いい気分♪
主に数学ネタ中心でのブログ更新です。
2008.03.20
カテゴリ： カテゴリ未分類
小学生の頃に、
1+2+3+4+5+6+7+8+9+10は？
って問題を数人の友達から出されたことがあります。普通に計算すれば、答えは55であることは簡単に分かります。
似たような問題で、
1+2+・・・+100は？
というものもあります。これは、数学担当の教師が、生徒たちが解いている間にしばらく休憩しようと思って出した問題で、案の定、ある1人の生徒以外は地道に足して答えを出していたそうです。1+2=3、3+3=6という風に。
そして、この例外的な1人の生徒が、後の天才数学者ガウスであったことはとても有名な話なんです。彼はこの問題を出された当時はまだ10歳でした。
懸賞となっている問題は、これに深く関係するものです。
では、まず一般にnまでの和
上のように数字のペアをつくると、ペアになった2つの数字の和はどれも（n+1）になるわけです。そして、nコの数字の中からペアをつくったので、ペアの個数はn/2コとなるわけです。だから、
であることが分かるのです。これのn=100のときが、ガウスの解いた問題です。実際にこの式の右辺にn=100を代入してみると、1/2×100×101=5050となって、簡単に和が求まってしまいます。
では、2乗の和
はどうなるんでしょうか？これは最初にやった自然数の和とは違い、ペアをつくっても同じ数になりません。ですから、
を利用してみましょう。
この式をズラーっと縦に足していくのです。
これ、よく見てもらえば分かるんですけど、左辺の和ってうまい具合に打ち消されてこれしか残らないんです。一方で右辺に、求めたい和が出てきます。それから、最初にやった自然数の和も出てきますね。これはさっき、であることが証明されましたから、代入してみましょう。すると、
ですね。あとは普通に変形して、
1+2+3+4+5+6+7+8+9+10は？
って問題を数人の友達から出されたことがあります。普通に計算すれば、答えは55であることは簡単に分かります。
似たような問題で、
1+2+・・・+100は？
というものもあります。これは、数学担当の教師が、生徒たちが解いている間にしばらく休憩しようと思って出した問題で、案の定、ある1人の生徒以外は地道に足して答えを出していたそうです。1+2=3、3+3=6という風に。
そして、この例外的な1人の生徒が、後の天才数学者ガウスであったことはとても有名な話なんです。彼はこの問題を出された当時はまだ10歳でした。
懸賞となっている問題は、これに深く関係するものです。
では、まず一般にnまでの和
上のように数字のペアをつくると、ペアになった2つの数字の和はどれも（n+1）になるわけです。そして、nコの数字の中からペアをつくったので、ペアの個数はn/2コとなるわけです。だから、
であることが分かるのです。これのn=100のときが、ガウスの解いた問題です。実際にこの式の右辺にn=100を代入してみると、1/2×100×101=5050となって、簡単に和が求まってしまいます。
では、2乗の和
はどうなるんでしょうか？これは最初にやった自然数の和とは違い、ペアをつくっても同じ数になりません。ですから、
を利用してみましょう。
この式をズラーっと縦に足していくのです。
これ、よく見てもらえば分かるんですけど、左辺の和ってうまい具合に打ち消されてこれしか残らないんです。一方で右辺に、求めたい和
が出てきます。それから、最初にやった自然数の和も出てきますね。これはさっき、であることが証明されましたから、代入してみましょう。すると、ですね。あとは普通に変形して、
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