Tough Boy-World of cap_hiro（Subtitle：sense of wonder）

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2023年08月14日

ルドルフ・ジョセフ・ローレンツ・シュタイナー

カテゴリ：霊魂論

「四次元/Die Vierte Dimension」数学と現実
多次元空間 1908年10月22日、ベルリン空間の概念 1-1
　今日のテーマは様々な困難を私たちに提示することになるでしょう。そして、あなた方のリクエストによるこの講義は一連の講義の一つとして見られなければなりません。単に形式的なレベルにおいてであったとしても、その課題を深く理解するためには、数学的な予備知識が必要です。尚且つ、その課題の現実を把握するためには、秘教主義へのより深い洞察が要求されるのです。今日は、この側面について、さらなる考察のための刺激を与えるとしても、きわめて皮相的な取り扱いしかできないでしょう。より高次の次元について語ること自体が非常に難しいことなのですが、それは、通常の三つの次元を越えたいかなる次元であっても、それを思い描くためには抽象的な領域に入っていかなければならず、もし、私たちの概念がきわめて正確かつ厳密に定式化されていないとすれば、その領域において、私たちは深淵へと落ち込むことになるということによります。私たちが知っている多くの人々、友人敵をば問わず、この運命を辿りました。より高次の次元空間についての概念は、私たちが一般に信じているほど数学にとって見知らぬものではありません。数学者たちは既により高次元の操作を含めた計算を実行しています。もちろん、数学者たちがより高次元の空間について語ることができるのは、きわめて限られた範囲においてであり、本質的に、彼らが議論できるのは、それが存在する可能性についてだけです。そのような空間が現実のものであるかどうかを決定するのは、実際にそれを見ることができる人たちでなければなりません。ここで私たちが取り扱うのは、もし、それが正確に定式化されたならば、私たちの空間に関する概念を本当に明確なものにするであろうような純粋な概念です。空間とは何でしょうか。私たちは普通、空間は私たちのまわりにある、私たちは空間のなかを歩きまわる等々とい云います。空間に関して、より明確なアイデアを得るためには、私たちはより高いレベルの抽象化を受け入れなければなりません。私たちはその中で私たちが動き回るところの空間を「三次元的」と呼びます。それは上と下に、右と左に、そして、前と後ろに拡がっています。私たちが物体を見るときには、私たちはそれを三次元空間を占めているものとして、つまり、ある一定の長さ及び幅、そして高さを有しているものとして見ます。けれども、もし、私たちがより高度の明晰性を達成することを欲するのであれば、私たちは空間についての概念の詳細を取り扱わなければなりません。最も単純な立体である立方体を、長さ、幅、そして高さの最も明らかな例として見てみましょう。立方体の底面の長さと幅は同等です。この底面を、それが最初にあった位置から、その長さと幅に等しい高さにまで持ち上げると、立方体、すなわち三次元図形が得られます。立方体の境界を検証してみますと、それらは平らな表面から構成されており、それらの表面は今度は同じ長さの辺によって境界づけられているということが分かります。立方体は六つのそのような平らな表面を有しています。平らな表面とは何でしょうか。ここまで来ますと、きわめて鋭敏な抽象性に耐えられない人たちはあらぬ方向に彷徨（さまよ）い始めるでしょう。例えば、蝋でできた立方体の境界の一つを蝋の非常に薄い層の形で切り取ることは不可能です。何故かというと、得られるのはいつも一定の厚みをもった層、すなわち、立体だからです。この方法では、立方体の境界に到達することは決してできません。その本当の境界は長さと幅だけを有しているのであって、高さ、すなわち厚みというものがありません。こうして、私たちは、平らな表面は三次元図形の境界の一つであり、一つ少ない次元を有しているという公式に到達します。では、正方形のような平らな表面の境界とは何でしょうか。ここでも、それを規定するためには、高度の抽象性が要求されます。平面図形の境界は線ですが、それは一つの次元、長さだけを有しています。幅は取り除かれました。線分の境界とは何でしょうか。それは点であり、ゼロの次元を有しています。このように、私たちは幾何学図形の境界を見いだすために、いつも一つの次元を取り除くのです。とりわけよい仕事をしたリーマンを含めて、多くの数学者の思考の跡を辿ってみることにしましょう。ゼロ次元を有する点、一次元を有する線、二次元を有する平面、三次元を有する立体について考えてみましょう。純粋に技術的なレベルにおいて、数学者たちは、第四の次元をつけ加えることは可能かと問います。もし、それが可能であったならば、ちょうど平面が立体の境界であったように、線が平面の、そして、点が線分の境界であったように、四次元図形の境界は三次元図形でなければならないでしょう。もちろん、数学者たちはそれからさらに進んで、五、六、七、あるいは、正の整数であるｎ次元について考えることさえできるでしょう。
　ここまで来ますと、私たちが、点はゼロ次元、線は一次元、平面は二次元、そして立方体は三次元を有していると云うとき、ある明晰性の欠如が入り込んできます。私たちは立方体のような立体を、あらゆる物質、蝋・銀：金等々から作り出すことができます。それらの物質は異なっていますが、仮に、私たちがそれらをすべて同じ大きさにするならば、それぞれが占める空間の量は同じになります。そして、もし、私たちがこれらの立方体が含んでいるすべての物質を取り除くならば、私たちに残るのは、特定の空間部分、立方体の空間的なイメージだけです。これらの空間部分は、その立方体がどのような物質でできていたかに拘わらず、すべて同じ大きさになり、すべてが長さ、幅、そして高さを有しています。私たちはそのような立方体の形をした空間が無限に広がり、結果として無限の三次元空間が生じると想像することができます。物体はこの空間の一部に過ぎません。