中学受験算数プロ家庭教師の生徒募集 0
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次の条件(ⅰ)、(ⅱ)をともに満たす正の整数Nをすべて求めよ。(ⅰ)Nの正の約数は12個(ⅱ)Nの正の約数を小さい方から順に並べたとき、7番目の数は12 ただし、Nの約数には1とNも含める。(注)正の→0より大きいにほんブログ村東工大の問題は、数学の知識を要することが多く、小学生が解ける問題が少ないですが、この問題は小学生でも簡単に解けます。問題文もシンプルで、「正の」という言葉をカットすれば、そのまま中学入試に出せそうです。約数の個数の条件があるからといって、いきなり約数の個数の公式を振りかざしてはいけません。約数の順番が扱いにくいので面倒なことになってしまいます。約数の個数を求める問題を初めて解いたとき、約数をペアにして書き出して個数を求めたはずです(この解法を教えずにいきなり約数の個数を求める公式を教えるような愚かな塾はさすがにないでしょう)。その解法を利用します。約数の順番が扱いやすいですからね。詳しくは、下記ページで。 東京工業大学2017年数学第1問(問題) 東京工業大学2017年数学第1問(解答・解説) 中学受験算数プロ家庭教師の生徒募集について 中学受験算数プロ家庭教師のお申込み・ご相談 中学受験算数の参考書・問題集 中学受験の参考書・問題集の書評 大阪・京都・神戸の中学受験プロ家庭教師なら、プロ家庭教師のPTへもっと考え抜く数学 ~学コンの発展問題に挑戦~ [ 東京出版編集部 ]考え抜く数学 ~学コンに挑戦~ 学コンに挑戦 (大学への数学) [ 東京出版編集部 ]
2024年06月19日
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以下の問いに答えよ。(1)2017と225の最大公約数を求めよ。(2)225との最大公約数が15となる2017以下の自然数の個数を求めよ。(3)225との最大公約数が15であり、かつ1998との最大公約数が111となる2017以下の自然数をすべて求めよ。(注)自然数→1以上の整数にほんブログ村中学入試に出されてもかなりの受験生が完答できる問題です。東大などでもよくありますが、答えが1つなのにわざわざ「すべて求めよ」とするのがちょっといやらしいですね。数学ではすべて求めるのが当たり前なのだからわざわざ「すべて」とつける必要がないですからね。詳しくは、下記ページで。 九州大学2017年文系数学第4問(問題) 九州大学2017年文系数学第4問(解答・解説) 中学受験算数プロ家庭教師の生徒募集について 中学受験算数プロ家庭教師のお申込み・ご相談 中学受験算数の参考書・問題集 中学受験の参考書・問題集の書評 大阪・京都・神戸の中学受験プロ家庭教師なら、プロ家庭教師のPTへもっと考え抜く数学 ~学コンの発展問題に挑戦~ [ 東京出版編集部 ]考え抜く数学 ~学コンに挑戦~ 学コンに挑戦 (大学への数学) [ 東京出版編集部 ]
2024年06月15日
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黒玉3個、赤玉4個、白玉5個が入っている袋から玉を1個ずつ取り出し、取り出した玉を順に横一列に12個すべて並べる。ただし、袋から個々の玉が取り出される確率は等しいものとする。(1)どの赤玉も隣り合わない確率pを求めよ。(2)どの赤玉も隣り合わないとき、どの黒玉も隣り合わない条件付確率qを求めよ。(注)確率→小学生の場合、とりあえず、すべての場合に対してある場合が起こる割合と考えればよいでしょう。条件付確率→小学生の場合、とりあえず、条件を満たす場合に対してある場合が起こる割合と考えればよいでしょう。(1)は、確率の意味が与えられていれば簡単に解ける中学受験生も多いでしょう。(1)は、(2)を解く際、条件付確率の公式を利用しなさいということなのでしょうね。文科はともかく、理科では要らない感じがしますけどね。小学生の場合、条件付確率の公式は当然知らないので、(1)は無視して解きます(赤玉が隣り合わない場合の数は利用します)。赤玉も黒玉も隣り合わない場合は、場合分けすれば求めることができますが、面倒そうなので、赤玉が隣り合わない場合から、黒玉が隣り合う場合を取り除く方針で解きます。その際、ダブりに注意する必要がありますが、あえてダブらせて後で調整することができるので、問題ありません。この手法は応用性が高く、下の問題などでも利用しています。 灘高等学校2008年数学第5問 灘高等学校2022年数学第4問なお、東大の問題はぎりぎりまで計算しないことが大切です。途中でむやみやたらと計算すると面倒なことになってしまいます。詳しくは、下記ページで。 東京大学2023年理科数学第2問・文科数学第3問(問題) 東京大学2023年理科数学第2問・文科数学第3問(解答・解説) 中学受験算数プロ家庭教師の生徒募集について 中学受験算数プロ家庭教師のお申込み・ご相談 中学受験算数の参考書・問題集 中学受験の参考書・問題集の書評 大阪・京都・神戸の中学受験プロ家庭教師なら、プロ家庭教師のPTへもっと考え抜く数学 ~学コンの発展問題に挑戦~ [ 東京出版編集部 ]考え抜く数学 ~学コンに挑戦~ 学コンに挑戦 (大学への数学) [ 東京出版編集部 ]にほんブログ村
2024年05月09日
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初項a1=1、公差4の等差数列{an}を考える。以下の問いに答えよ。(1){an}の初項から第600項のうち、7の倍数である項の個数を求めよ。(2){an}の初項から第600項のうち、7^2の倍数である項の個数を求めよ。(3)初項から第n項までの積a1a2…anが7^45の倍数となる最小の自然数nを求めよ。(注)初項、第600項、第n項→1番目の数、600番目の数、n番目の数7^2→7の2乗(7を2個掛け合わせた数)(他も同様)自然数→1以上の整数(1)と(2)は単なる倍数と余りの周期性の問題で、中学入試にもよく出されます。(3)だけ出すと難しいと判断して、(1)と(2)を誘導として出したのでしょうが、誘導が親切すぎて、小学生でも(3)が簡単に解けてしまいます。メインの(3)の問題も本質的には東大寺学園中学校2003年算数第2問と何ら変わりはないでしょう。詳しくは、下記ページで。 九州大学2017年前期理系数学第3問(問題) 九州大学2017年前期理系数学第3問(解答・解説) 中学受験算数プロ家庭教師の生徒募集について 中学受験算数プロ家庭教師のお申込み・ご相談 中学受験算数の参考書・問題集 中学受験の参考書・問題集の書評 大阪・京都・神戸の中学受験プロ家庭教師なら、プロ家庭教師のPTへもっと考え抜く数学 ~学コンの発展問題に挑戦~ [ 東京出版編集部 ]考え抜く数学 ~学コンに挑戦~ 学コンに挑戦 (大学への数学) [ 東京出版編集部 ]にほんブログ村
2024年04月23日
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以下の問いに答えよ。(1)10^10を2020で割った余りを求めよ。(2)100桁の正の整数で各位の数の和が2となるもののうち、2020で割り切れるものの個数を求めよ。(注)正の→0より大きい(小学生は無視して考えればいいでしょう)10^10→10の10乗(10を10個かけあわせた数)(1)は、いきなり10^10を考えるのではなく、10^nと一般化した上で、nの小さい値から順に調べていけば、すぐに周期性が見つかります。昨日紹介した九大の問題と何ら変わりはないですね。(2)は、(1)で見つけた周期性を利用することになりますが、100桁の正の整数で各位の数の和が2となるものと10^nを結びつける必要があります。少し小さな桁(例えば3桁)で考えてみると、200、110、101の数が考えられますが、それぞれ100+100(10^2+10^2)、100+10(10^2+10^1)、100+1=(10^2+10^0)と変形すれば、(1)で見つけた周期性が使えることがわかります。桁が100になっても同様に考えられますね。詳しくは、下記ページで。 一橋大学2020年前期数学第1問(問題) 一橋大学2020年前期数学第1問(解答・解説) 中学受験算数プロ家庭教師の生徒募集について 中学受験算数プロ家庭教師のお申込み・ご相談 中学受験算数の参考書・問題集 中学受験の参考書・問題集の書評 大阪・京都・神戸の中学受験プロ家庭教師なら、プロ家庭教師のPTへもっと考え抜く数学 ~学コンの発展問題に挑戦~ [ 東京出版編集部 ]考え抜く数学 ~学コンに挑戦~ 学コンに挑戦 (大学への数学) [ 東京出版編集部 ]にほんブログ村
2024年04月18日
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以下の問いに答えよ。(1)nを自然数とするとき、2^nを7で割った余りを求めよ。(2)自然数mは、2進法で101が6回連続する表示 101101101101101101(2)をもつとする。mを7で割った余りを求めよ。(注)自然数→1以上の整数2^n→2のn乗(2をn個かけあわせた数)2進法で101が6回連続する表示101101101101101101(2)をもつ→ 1の位が1、2の位が0、22の位が1、・・・というように、2進法で表したとき、1の位から1、0、1が6回繰り返されるということnの小さい値から順に調べていけば、すぐに周期性が見つかります。(2)は、(1)で見つけた周期性を利用することになりますが、親切な出題者の意図に従って解けば、大した計算もなく簡単に解けます。詳しくは、下記ページで。 九州大学2018年文系数学第2問(問題) 九州大学2018年文系数学第2問(解答・解説) 中学受験算数プロ家庭教師の生徒募集について 中学受験算数プロ家庭教師のお申込み・ご相談 中学受験算数の参考書・問題集 中学受験の参考書・問題集の書評 大阪・京都・神戸の中学受験プロ家庭教師なら、プロ家庭教師のPTへもっと考え抜く数学 ~学コンの発展問題に挑戦~ [ 東京出版編集部 ]考え抜く数学 ~学コンに挑戦~ 学コンに挑戦 (大学への数学) [ 東京出版編集部 ]にほんブログ村
2024年04月17日
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次の問に答えよ。(1)自然数m、nについて2^m・3^nの正の約数の個数を求めよ。(2)6912の正の約数のうち、12で割り切れないものの総和を求めよ。(注)自然数→1以上の整数正の→0より大きい(小学生は無視して考えればいいでしょう)。2^m・3^n→2をm個かけあわせた数(2のm乗)と3をn個かけあわせた数(3のn乗)の積最難関中学校の受験生であれば、約数の個数と総和の求め方(神戸女学院中学部1995年算数2日目第4問の解答・解説を参照)をマスターしているはずなので、簡単に解けるでしょう。(1)は一瞬で解決しますね。(2)は12で割り切れない約数の和を直接考えてもいいですし、すべての約数の和から12で割り切れる約数の和を引いてもよいでしょう。詳しくは、下記ページで。 北海道大学2024年前期文系数学第1問(問題) 北海道大学2024年前期文系数学第1問(解答・解説) 中学受験算数プロ家庭教師の生徒募集について 中学受験算数プロ家庭教師のお申込み・ご相談 中学受験算数の参考書・問題集 中学受験の参考書・問題集の書評 大阪・京都・神戸の中学受験プロ家庭教師なら、プロ家庭教師のPTへもっと考え抜く数学 ~学コンの発展問題に挑戦~ [ 東京出版編集部 ]考え抜く数学 ~学コンに挑戦~ 学コンに挑戦 (大学への数学) [ 東京出版編集部 ]にほんブログ村
2024年04月08日
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nを5以上の奇数とする。平面上の点Oを中心とする円をとり、それに内接する正n角形を考える。n個の頂点から異なる4点を同時に選ぶ。ただし、どの4点も等確率で選ばれるものとする。選んだ4点を頂点とする四角形がOを内部に含む確率pnを求めよ。(注)内接する→ぴったり入る確率→小学生の場合、とりあえず、すべての場合に対してある場合が起こる割合と考えればよいでしょう。今年の一橋大学の問題( 一橋大学2024年数学第5問(問題))は三角形でしたが、東大は四角形です。直接数えるのは厳しそうなので余事象を考えます。四角形の4頂点を反時計回りに指定し、点Oに最も近い辺も指定しておくことでダブりを防いでいます。因みに、東大の問題の解説で示した解法で一橋大学の問題も解くことができます。詳しくは、下記ページで。 東京大学2024年文科数学第4問(問題) 東京大学2024年文科数学第4問(解答・解説) 中学受験算数プロ家庭教師の生徒募集について 中学受験算数プロ家庭教師のお申込み・ご相談 中学受験算数の参考書・問題集 中学受験の参考書・問題集の書評 大阪・京都・神戸の中学受験プロ家庭教師なら、プロ家庭教師のPTへもっと考え抜く数学 ~学コンの発展問題に挑戦~ [ 東京出版編集部 ]考え抜く数学 ~学コンに挑戦~ 学コンに挑戦 (大学への数学) [ 東京出版編集部 ]にほんブログ村
2024年03月04日
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nを自然数とする。以下の問に答えよ。(1)1個のサイコロを投げて出た目が必ずnの約数となるようなnを小さい順に3つ求めよ。(2)1個のサイコロを投げて出た目がnの約数となる確率が5/6であるようなnを小さい順に3つ求めよ。(3)1個のサイコロを3回投げて出た目の積が160の約数となる確率を求めよ。(注)自然数→1以上の整数確率→小学生の場合、とりあえず、すべての場合に対してある場合が起こる割合と考えればよいでしょう。(1)と(2)は倍数と約数の問題にすぎません。メインの(3)ですが、さいころを3回ふる問題なので、6×6の表をかけば小学生でも簡単に解けるでしょう。詳しくは、下記ページで。 神戸大学2024年理系数学第3問(問題) 神戸大学2024年理系数学第3問(解答・解説) 中学受験算数プロ家庭教師の生徒募集について 中学受験算数プロ家庭教師のお申込み・ご相談 中学受験算数の参考書・問題集 中学受験の参考書・問題集の書評 大阪・京都・神戸の中学受験プロ家庭教師なら、プロ家庭教師のPTへもっと考え抜く数学 ~学コンの発展問題に挑戦~ [ 東京出版編集部 ]考え抜く数学 ~学コンに挑戦~ 学コンに挑戦 (大学への数学) [ 東京出版編集部 ]にほんブログ村
2024年03月02日
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nを3以上の奇数とする。円に内接する正n角形の頂点から無作為に相異なる3点を選んだとき、その3点を頂点とする三角形の内部に円の中心が含まれる確率pnを求めよ。(注)円に内接する→円にぴったり入る確率→小学生の場合、とりあえず、すべての場合に対してある場合が起こる割合と考えればよいでしょう。昔からよくある典型問題で、nが奇数に限定されているので、一橋大学にしては簡単な問題と言えるでしょう。因みに、当方が作成した灘中対策演習問題には、正十五角形と正十六角形から3頂点を選んで鋭角三角形を作る場合の数の問題があります。きっちりとした解法で解けば、具体的な数であっても抽象的なnであっても同じことです。当方が作成した灘中対策演習問題でnが奇数の場合と偶数の場合を問うているのは、nの偶奇によって状況が異なるからです。今から50年以上前の京都大学の入試において、nの偶奇によって場合分けする必要がある問題が出されています。詳しくは、下記ページで。 一橋大学2024年数学第5問(問題) 一橋大学2024年数学第5問(解答・解説) 中学受験算数プロ家庭教師の生徒募集について 中学受験算数プロ家庭教師のお申込み・ご相談 中学受験算数の参考書・問題集 中学受験の参考書・問題集の書評 大阪・京都・神戸の中学受験プロ家庭教師なら、プロ家庭教師のPTへもっと考え抜く数学 ~学コンの発展問題に挑戦~ [ 東京出版編集部 ]考え抜く数学 ~学コンに挑戦~ 学コンに挑戦 (大学への数学) [ 東京出版編集部 ]にほんブログ村
2024年03月01日
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n個の異なる色を用意する。立方体の各面にいずれかの色を塗る。各面にどの色を塗るかは同様に確からしいとする。辺を共有するどの二つの面にも異なる色が塗られる確率をpnとする。次の問いに答えよ。(1)p3を求めよ。(2)p4を求めよ。(注)同様に確からしい→起こりうるすべての結果の起こる可能性がすべて同じ(要するに、平等に起こりますよということ)確率→小学生の場合、とりあえず、すべての場合に対してある場合が起こる割合と考えればよいでしょう。この問題の(2)は京都大学2024年理系数学第1問(1)と同じです。確率の問題になっていますが、場合の数の問題であれば小学生でも解ける問題です。実際、当方が作成した灘中対策演習問題には、立方体ABCD-EFGHを6色以下で塗り分ける問題が入っています。京大の問題はその一部にすぎません。詳しくは、下記ページで。 京都大学2024年文系数学第2問(問題) 京都大学2024年文系数学第2問(解答・解説) 中学受験算数プロ家庭教師の生徒募集について 中学受験算数プロ家庭教師のお申込み・ご相談 中学受験算数の参考書・問題集 中学受験の参考書・問題集の書評 大阪・京都・神戸の中学受験プロ家庭教師なら、プロ家庭教師のPTへ京大数学プレミアム/杉山義明【1000円以上送料無料】にほんブログ村
2024年02月29日
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ある自然数を八進法、九進法、十進法でそれぞれ表したとき、桁数がすべて同じになった。このような自然数で最大のものを求めよ。ただし、必要ならば次を用いてもよい。 0.3010<log102<0.3011、0.4771<log103<0.4772であることを用いてよい。(注)自然数→1以上の整数小学生は但し書き以降を無視して考えればよいでしょう。今年の京大文系の入試問題は小学生が解ける問題が5問中2問ありました。そのうちの1問がこの問題です。中学入試問題として出されても何の不思議もありません。小学生の場合、得体のしれない記号は無視して考えればいいでしょう。詳しくは、下記ページで。 京都大学2024年文系数学第4問(問題) 京都大学2024年文系数学第4問(解答・解説) 中学受験算数プロ家庭教師の生徒募集について 中学受験算数プロ家庭教師のお申込み・ご相談 中学受験算数の参考書・問題集 中学受験の参考書・問題集の書評 大阪・京都・神戸の中学受験プロ家庭教師なら、プロ家庭教師のPTへ栗田哲也先生のスピードアップ算数発展 [ 栗田哲也 ]栗田哲也先生のスピードアップ算数基礎 [ 栗田哲也 ]にほんブログ村
2024年02月28日
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与えられた自然数a0に対して、自然数からなる数列a0、a1、a2、…を次のように定める。 an/2 (anが偶数のとき) an+1= (3an+1)/2 (anが奇数のとき) 次の問いに答えよ。(1)a0、a1、a2、a3がすべて奇数であるような最小の自然数a0を求めよ。(2)a0、a1、…、a10がすべて奇数であるような最小の自然数a0を求めよ。規則性の基本がマスターできていれば、小学生でも正解にたどり着くことができるでしょう。詳しくは、下記ページで。 京都大学2024年理系数学第4問(問題) 京都大学2024年理系数学第4問(解答・解説)。 中学受験算数プロ家庭教師の生徒募集について 中学受験算数プロ家庭教師のお申込み・ご相談 中学受験算数の参考書・問題集 中学受験の参考書・問題集の書評 大阪・京都・神戸の中学受験プロ家庭教師なら、プロ家庭教師のPTへ京大・入試数学51年の軌跡【1971年~2021年】 [ 東京出版編集部 ]京大数学プレミアム/杉山義明【1000円以上送料無料】にほんブログ村
2024年02月27日
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以下の問いに答えよ。必要ならば、0.3<log102<0.31であることを用いてよい。(1)5^n>10^19となる最小の自然数nを求めよ。(2)5^m+4^m>10^19となる最小の自然数mを求めよ。(注)log102→小学生は無視して考えればよいでしょう。5^n→5をn個かけあわせた数(他も同様)自然数→1以上の整数得体のしれない記号が問題文に書かれていますが、そんなものを使わなくても解けます。(1)は、まずnが19を超えるという当たり前のことを使って、5を19個取り除くことを考えます。すると、5を順にかけていったときに初めて2の19乗を超えるのは何個かけたときですかという単純な問題にすぎないことが分かります。なお、2の10乗=1024であることは覚えているはずなので、2の10乗×2の9乗=1024×512=524288と簡単に計算できます。(2)は(1)がヒントになっていることに気付けば簡単です。詳しくは、下記ページで。 東京大学2024年文科数学第2問(問題) 東京大学2024年文科数学第2問(解答・解説)で。 中学受験算数プロ家庭教師の生徒募集について 中学受験算数プロ家庭教師のお申込み・ご相談 中学受験算数の参考書・問題集 中学受験の参考書・問題集の書評 大阪・京都・神戸の中学受験プロ家庭教師なら、プロ家庭教師のPTへ東大・入試数学50年の軌跡【1971年~2020年】 [ 東京出版編集部 ]東大数学プレミアム (赤本プレミアム) [ 米村明芳 ]にほんブログ村
2024年02月26日
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nを自然数とする。1個のさいころをn回投げ、出た目を順にx1、x2、……、xnとし、n個の数の積x1x2……xnをYとする。(1)Yが5で割り切れる確率を求めよ。(2)Yが15で割り切れる確率を求めよ。(注)自然数→1以上の整数確率→小学生の場合、とりあえず、すべての場合に対してある場合が起こる割合と考えればよいでしょう。x1x2……xn→無視して考えればよいでしょう。今から30年ぐらい前の過去問を露骨に焼き直した問題です。東大でも20年ぐらい前に同様の問題が出ているので、いまさら感がすごかったです。因みに、確率を求める問題を場合の数を求める問題に直して、Yが12で割り切れるという条件にしたものを灘中対策演習問題にいれていましたが、今年灘中に受かった教え子は普通に解けていました。詳しくは、京都大学2023年理系数学第3問の解答・解説で。現在、ゴールデンウイーク期間中、祝祭日の短期集中特訓のご予約・ご相談を承っています。 中学受験算数プロ家庭教師のお申込み・ご相談京大・入試数学51年の軌跡【1971年~2021年】 [ 東京出版編集部 ]京大数学プレミアム/杉山義明【1000円以上送料無料】 中学受験算数の参考書・問題集 中学受験の参考書・問題集の書評 大阪・京都・神戸の中学受験プロ家庭教師なら、プロ家庭教師のPTへにほんブログ村
2023年03月26日
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pが素数ならばp^4+14が素数でないことを示せ。(注)p4→p×p×p×p問題文が短いのがいいですね。くだらない太郎と花子の対話を長々と出すくだらない問題を作っている人たちにも見習ってもらいたいものです。過去に京大で何度も出されているタイプの問題(京都大学2006年前期理系数学第4問など)で、3の平方非剰余を考えれば、p^4+14が3の倍数であることはすぐにわかるので、あとはpに3を入れて5の倍数となっていることを確認して終わりです。文系の受験生であっても、答案を書く時間を含めても5分程度で解けないといけないでしょう。最近徐々に数学化している灘中入試でも平方剰余・平方非剰余の考え方は当然必要でしょう。詳しくは、京都大学2021年文系数学第5問の解答・解説で。 中学受験算数プロ家庭教師のお申込み・ご相談 中学受験算数の参考書・問題集 中学受験の参考書・問題集の書評 大阪・京都・兵庫の中学受験プロ家庭教師なら、プロ家庭教師のPTへ近畿圏 国公立大医学部数学入試問題15カ年 平成9年〜23年 (数学入試問題医学部) [ 聖文新社編集部 ]にほんブログ村
2021年06月07日
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各辺の長さが20m、22m、24m、26m、28m、30m、32m、34m、36mのいずれかである3角形は、いく種類あるか。ただし、合同な3角形は同じ種類と考える。中学受験の塾のテキストに載っているような問題です。場合分けして瞬殺できないといけないでしょう。各辺の長さが20から3ずつ増えるようにしていれば、罠にかかる人もいたでしょうが、残念ながら、この問題には何の罠もありません。詳しくは、京都大学1968年理系・文系共通数学第2問の解答・解説で。 中学受験算数プロ家庭教師のお申込み・ご相談 中学受験算数の参考書・問題集 中学受験の参考書・問題集の書評 大阪・京都・兵庫の中学受験プロ家庭教師なら、プロ家庭教師のPTへピーターキューブ (頭のよくなる図形パズル) [ ピーター・フランクル ]にほんブログ村
2021年04月28日
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1000以下の素数は250個以下であることを示せ。シンプルな問題文がいいですね。以前紹介した洛南高等学校附属中学校2021年算数第2問(1)同様、オイラー関数を利用します。小さい素数2、3、5、7の倍数で1000に近い1050を利用すると計算が楽になります。250という数値が甘い値だったので、最後に少し書き出す作業をせずに済むのがありがたいですね。詳しくは、一橋大学2021年数学第1問の解答・解説で。 中学受験算数プロ家庭教師のお申込み・ご相談 中学受験算数の参考書・問題集 中学受験の参考書・問題集の書評 大阪・京都・兵庫の中学受験プロ家庭教師なら、プロ家庭教師のPTへピーターキューブ (頭のよくなる図形パズル) [ ピーター・フランクル ]にほんブログ村
2021年03月03日
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10進法で表された数6.75を2進法で表せ。また、この数と2進法で表された数101.0101との積として与えられる数を2進法および4進法で表せ。N進法がわかっていれば、小学生でも普通に解ける問題です。文系の問題としても簡単すぎますが、計算が少なくて済むような数字にしてあるのが京大らしいですね。詳しくは、京都大学2021年文系数学第1問 問1の解答・解説で。 中学受験算数プロ家庭教師のお申込み・ご相談 中学受験算数の参考書・問題集 中学受験の参考書・問題集の書評 大阪・京都・兵庫の中学受験プロ家庭教師なら、プロ家庭教師のPTへ近畿圏 国公立大医学部数学入試問題15カ年 平成9年〜23年 (数学入試問題医学部) [ 聖文新社編集部 ]にほんブログ村
2021年02月26日
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nを2以上の自然数とする。(1)nが素数または4のとき、(n-1)!はnで割り切れないことを示せ。(2)nが素数でなくかつ4でもないとき、(n-1)!はnで割り切れることを示せ。(注)自然数→1以上の整数(n-1)!→1から(n-1)までの整数の積(n-1)!が2以上の整数nで割り切れるための必要十分条件を求めなさいという問題であれば、小さな例で実験してこの問題の条件を発見しないといけませんが、この問題の場合、最初から証明すべきことが明記されているので簡単です。詳しくは、東京工業大学2016年数学第4問の解答・解説で。オンライン授業(Face Timeとオンラインの共有ホワイトボードを使ったもの、ハングアウトとオンラインの共有ホワイトボードを使ったもの、Zoomを使ったものなどで、内容はキッズBEE対策、算数オリンピック対策、灘中対策演習問題を使った灘中対策など)を始めました。ご希望の方は下記ページにあるフォームよりお問い合わせください。 中学受験算数プロ家庭教師のお申込み・ご相談 中学受験算数の参考書・問題集 中学受験の参考書・問題集の書評 大阪・京都・兵庫の中学受験プロ家庭教師なら、プロ家庭教師のPTへ近畿圏 国公立大医学部数学入試問題15カ年 平成9年〜23年 (数学入試問題医学部) [ 聖文新社編集部 ]にほんブログ村
2020年04月29日
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以下の問に答えよ。(1)和が30になる2つの自然数からなる順列の総数を求めよ。(2)和が30になる3つの自然数からなる順列の総数を求めよ。(3)和が30になる3つの自然数からなる組合せの総数を求めよ。(注)自然数→1以上の整数順列→取り出す順番を考慮した並べ方計算で楽に解くこともできますし、システマティックに書き出しても解けます。過去に東大で同様の問題(東京大学1996年後期理科数学第1問)が出されていて、ホームページでも取り上げているので、ぜひ解いてみましょう。詳しくは、神戸大学2020年理系数学第3問・文系数学第3問の解答・解説で。 中学受験算数プロ家庭教師のお申込み・ご相談 中学受験算数の参考書・問題集 中学受験の参考書・問題集の書評 大阪・京都・兵庫の中学受験プロ家庭教師なら、プロ家庭教師のPTへ近畿圏 国公立大医学部数学入試問題15カ年 平成9年〜23年 (数学入試問題医学部) [ 聖文新社編集部 ]にほんブログ村
2020年04月05日
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2016の正の約数は全部で[ア]個あり、それらの平均は[イ]である。(注)正の→0より大きい(小学生は無視して考えればよいでしょう)ある程度レベルの高い中学校を受験しようとする小学生であれば、約数の個数と和は計算で求められるはずですね。単に公式として丸暗記するのではなく、公式の意味をしっかり理解しておく必要があります。詳しくは、慶應義塾大学2016年理工学部数学第1問(1)の解答・解説で。 中学受験算数プロ家庭教師のお申込み・ご相談 中学受験算数の参考書・問題集 中学受験の参考書・問題集の書評 大阪・京都・兵庫の中学受験プロ家庭教師なら、プロ家庭教師のPTへ近畿圏 国公立大医学部数学入試問題15カ年 平成9年〜23年 (数学入試問題医学部) [ 聖文新社編集部 ]にほんブログ村
2020年03月25日
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縦4個、横4個のマス目のそれぞれに1、2、3、4の数字を入れていく。このマス目の横の並びを行といい、縦の並びを列という。どの行にも、どの列にも同じ数字が1回しか現れない入れ方は何通りあるか求めよ。下図はこのような入れ方の1例である。(図はホームページにあります。)今年の京大の問題です。問題文が無駄に長くないですし、難しい知識がいらないので、いい問題です。条件の対等性を利用すれば小学生でも解けます。実際、3×3のマス目のものが1990年代後半に神戸女学院中学部で出されています。詳しくは、京都大学2020年理系数学第5問・文系数学第5問の解答・解説で。 中学受験算数プロ家庭教師のお申込み・ご相談 中学受験算数の参考書・問題集 中学受験の参考書・問題集の書評 大阪・京都・兵庫の中学受験プロ家庭教師なら、プロ家庭教師のPTへ近畿圏 国公立大医学部数学入試問題15カ年 平成9年〜23年 (数学入試問題医学部) [ 聖文新社編集部 ]にほんブログ村
2020年03月14日
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3で割ると2余り、5で割ると3余り、11で割ると9余る正の整数のうちで、1000を超えない最大のものは[ ]である。(注)正の→0より大きい(小学生は無視して考えればよいでしょう)中学受験の塾のテキストに必ず載っている典型問題ですね。まず2つの条件について考えれば簡単に解けます。詳しくは、早稲田大学2007年教育学部数学第1問(1)の解答・解説で。 中学受験算数のプロ家庭教師(生徒募集について) 中学受験算数の参考書・問題集 中学受験の参考書・問題集の書評近畿圏 国公立大医学部数学入試問題15カ年 平成9年〜23年 (数学入試問題医学部) [ 聖文新社編集部 ]にほんブログ村
2019年09月06日
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図のような格子状の道路がある。S地点から出発して、東または北に進んで、G地点に到達する経路を考える。ただし、太い実線で描かれた区間aを通り抜けるのに1分、点線で描かれた区間bを通り抜けるのに8分、それ以外の各区間を通り抜けるのに2分かかるものとする。たとえば、図の矢印に沿った経路ではSを出発しGに到達するまでに16分かかる。(1)aを通り抜ける経路は何通りあるか。(2)aを通り抜けずにbを通り抜ける経路は何通りあるか。(3)すべての経路から任意に1つ選んだとき、S地点からG地点に到達するのにかかる時間の期待値を求めよ。(図はホームページにあります。)(注)期待値→平均(ここでは、すべての経路における所要時間の平均のことです) 問題のレベルが低いセンター試験より簡単かもしれませんね。解説では組合せを用いて計算で解いていますが、いわゆるいちいち解法を使えば、(1)、(2)は大半の中学受験生が解けるでしょうね。詳しくは、北海道大学2014年前期文系数学第4問・理系数学第4問の解答・解説で。 中学受験算数のプロ家庭教師(生徒募集について) 中学受験算数の参考書・問題集 中学受験の参考書・問題集の書評近畿圏 国公立大医学部数学入試問題15カ年 平成9年〜23年 (数学入試問題医学部) [ 聖文新社編集部 ]にほんブログ村
2019年07月28日
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素数p、qを用いて p^q+q^pと表される素数をすべて求めよ。(注)p^q→pをq個かけた数(他も同様) 京大受験生なら、特殊な素数の2と3が絡んでいるなとすぐにわからないとお話にならない問題です。詳しくは、京都大学2016年理系数学第2問の解答・解説で。 中学受験算数のプロ家庭教師(生徒募集について) 中学受験算数の参考書・問題集 中学受験の参考書・問題集の書評近畿圏 国公立大医学部数学入試問題15カ年 平成9年〜23年 (数学入試問題医学部) [ 聖文新社編集部 ]にほんブログ村
2019年07月18日
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455と273の最大公約数は[ ]である。また、方程式455x+273y=2821を満たす自然数の組(x,y)をすべて求めると、(x,y)=[ ]である。(注)方程式→小学生は無視すればよいでしょう。455x→455とxの積273y→273とyの積自然数→1以上の整数いもづる算の問題です。中学入試ではもっと難しい問題が出されていますが、この問題はご丁寧にヒントまであります。詳しくは、南山大学2016年理工学部数学第1問(2)の解答・解説で。 中学受験算数のプロ家庭教師(生徒募集について) 中学受験算数の参考書・問題集 中学受験の参考書・問題集の書評近畿圏 国公立大医学部数学入試問題15カ年 平成9年〜23年 (数学入試問題医学部) [ 聖文新社編集部 ]にほんブログ村
2019年06月06日
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n段の階段を上るのに、一歩で1段、2段、または3段を上ることができるとする。この階段の上り方の総数をanとおく。たとえば、a1=1、a2=2、a3=4である。(1)a4、a5の値を求めよ。(2)an、an+1、an+2、an+3(n≧1)の間に成り立つ関係式を求めよ。(3)a10の値を求めよ。規則性の基本的な考え方がマスターできていれば簡単に解けます。有名問題で、中学入試にもほぼ同じ問題(例えば、慶應義塾中等部2007年算数第6問など)が何度も出題されていますし、中学受験の塾ならテキストに必ず載っているような問題です。詳しくは、千葉大学2011年前期文系数学第8問の解答・解説で。 中学受験算数のプロ家庭教師(生徒募集について) 中学受験算数の参考書・問題集 中学受験の参考書・問題集の書評近畿圏 国公立大医学部数学入試問題15カ年 平成9年〜23年 (数学入試問題医学部) [ 聖文新社編集部 ]にほんブログ村
2019年05月18日
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4個の整数n+1、n^3+3、n^5+5、n^7+7がすべて素数となるような正の整数nは存在しない。これを証明せよ。(注)n^3→n×n×n(他も同様)正の→0より大きい(小学生は無視して考えればよいでしょう) よくある問題(ホームページでも京大の問題などを取り上げています)で、何も考えずに解けないといけない問題です。なお、n+1に関する条件は不要です。詳しくは、大阪大学2013年前期理系数学第3問の解答・解説で。 中学受験算数のプロ家庭教師(生徒募集について) 中学受験算数の参考書・問題集 中学受験の参考書・問題集の書評近畿圏 国公立大医学部数学入試問題15カ年 平成9年〜23年 (数学入試問題医学部) [ 聖文新社編集部 ]にほんブログ村
2019年04月28日
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pを自然数とする。数列{an}を a1=1、a2=p2、an+2=an+1-an+13(n=1,2,3,…)により定める。数列{an}に平方数でない項が存在することを示せ。問題文が抽象的なので、nに小さな値を入れて書き出してみましょう。そうすれば、解法が見えてくるはずです。詳しくは、一橋大学2019年前期数学第1問の解答・解説で。 中学受験算数のプロ家庭教師(生徒募集について) 中学受験算数の参考書・問題集 中学受験の参考書・問題集の書評近畿圏 国公立大医学部数学入試問題15カ年 平成9年〜23年 (数学入試問題医学部) [ 聖文新社編集部 ]にほんブログ村
2019年04月22日
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図1から図3は、辺の長さが1の正方形が並んだ図形である。これらの図において、1つ、またはいくつかの正方形で構成される四角形を考える。例えば、図1において灰色で示した図形は、点Aを1つの頂点とする幅が3、高さが2の四角形である。次の問いに答えよ。(図はホームページにあります。)(1)図1の中に点Aを1つの頂点とする四角形はいくつあるか。(2)図2の中に四角形はいくつあるか。(3)図3の中に四角形はいくつあるか。 親切な誘導がついているので、それに従って解いていけばいいでしょう。メインの(3)の問題はあえてダブらせて後で調整して解くと簡単に解けます。詳しくは、名古屋市立大学2016年前期医学部・芸術工学部・経済学部数学第2問の解答・解説で。 中学受験算数のプロ家庭教師(生徒募集について) 中学受験算数の参考書・問題集 中学受験の参考書・問題集の書評近畿圏 国公立大医学部数学入試問題15カ年 平成9年〜23年 (数学入試問題医学部) [ 聖文新社編集部 ]にほんブログ村
2019年04月19日
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53で割ると5余り61で割ると6余る最小の自然数を求めよ。(注)自然数→1以上の整数数字が少し大きいですが、中学入試によく出題される問題ですね。大学受験生なら、53x+5=61y+6より53x-61y=1(x、yは非負整数)として、ユークリッドの互除法を利用するなどして特殊解を求めてから一般解を求め、その後条件を満たす解を求めるということになるでしょうが、そんなことをしなくても簡単に解けます。詳しくは、関西医科大学2019年前期数学第1問の解答・解説で。 中学受験算数のプロ家庭教師(生徒募集について) 中学受験算数の参考書・問題集 中学受験の参考書・問題集の書評近畿圏 国公立大医学部数学入試問題15カ年 平成9年〜23年 (数学入試問題医学部) [ 聖文新社編集部 ]にほんブログ村
2019年04月16日
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AからBへ行く最短経路の総数を求めよ。(図はホームページにあります。)灘中学校(灘中学校1995年算数1日目第3問など)などでも出されている最短経路の問題です。灘中の問題は、対称性を利用することで少し楽になりますが、奈良県医の問題はどうにもならないですね。しょうがくしゃに通っていれば、低学年の子でも解けますね。詳しくは、奈良県立医科大学2013年前期数学第3問の解答・解説で。 中学受験算数のプロ家庭教師(生徒募集について) 中学受験算数の参考書・問題集 中学受験の参考書・問題集の書評近畿圏 国公立大医学部数学入試問題15カ年 平成9年〜23年 (数学入試問題医学部) [ 聖文新社編集部 ]にほんブログ村
2019年04月06日
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自然数m、nに対して、自然数m◇nを次のように定める。(図はホームページにあります。) 例えば、1◇1=4、1◇2=6、2◇1=9、4◇2=33、5◇3=56、1◇6=14、6◇1=49である。(1)数列8◇1、8◇2、8◇3、……の初項8◇1から第25項8◇25までの和を求めよ。(2)m◇n=474を満たす自然数m、nの組をすべて求めよ。(注)自然数→1以上の整数初項→1番目の数第25項→25番目の数 中学入試にもよく似た問題が出題されています。規則性をしっかり把握して一般化できれば小学生でも問題なく解けるでしょう。詳しくは、岡山大学2010年前期文系数学第2問の解答・解説で。 中学受験算数のプロ家庭教師(生徒募集について) 中学受験算数の参考書・問題集 中学受験の参考書・問題集の書評目で解く幾何(立体・座標編)(高校への数学)目で解く幾何(直線図形編)(高校への数学)目で解く幾何(円・三平方編)(高校への数学)にほんブログ村
2019年03月22日
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平行四辺形ABCDにおいて、辺ABを1:1に内分する点をE、辺BCを2:1に内分する点をF、辺CDを3:1に内分する点をGとする。線分CEと線分FGの交点をPとし、線分APを延長した直線と辺BCの交点をQとするとき、比AP:PQを求めよ。(注)内分する→分ける 高校生であれば、ベクトルを利用して計算問題として解くのでしょうが、補助線を引いて相似をフルに活用すれば小学生でも簡単に解けます。詳しくは、京都大学2013年理系数学第1問・文系数学第2問の解答・解説で。 中学受験算数のプロ家庭教師(生徒募集について) 中学受験算数の参考書・問題集 中学受験の参考書・問題集の書評目で解く幾何(立体・座標編)(高校への数学)目で解く幾何(直線図形編)(高校への数学)目で解く幾何(円・三平方編)(高校への数学)にほんブログ村
2019年03月19日
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nを1以上の整数とする。(1)n^2+1と5n^2+9の最大公約数dnを求めよ。(2)(n^2+1)(5n^2+9)は整数の2乗にならないことを示せ。(注)n^2→n×n5n^2→5×n×n(n^2+1)(5n^2+9)→(n^2+1)×(5n^2+9)整数の2乗→同じ整数を2個掛け合わせた数(平方数) 東大にしては問題文がシンプルですね。メインの問題は、先日取り上げた神戸大学の問題(神戸大学2019年前期理系数学第4問・文系数学第2問)と内容的に同じです。詳しくは、東京大学2019年前期理科数学第4問の解答・解説で。 中学受験算数のプロ家庭教師(生徒募集について) 中学受験算数の参考書・問題集 中学受験の参考書・問題集の書評目で解く幾何(立体・座標編)(高校への数学)目で解く幾何(直線図形編)(高校への数学)目で解く幾何(円・三平方編)(高校への数学)にほんブログ村
2019年03月16日
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次のように1、3、4を繰り返し並べて得られる数列を{an}とする。 1,3,4,1,3,4,1,3,4,・・・ すなわち、a1=1、a2=3、a3=4で、4以上の自然数nに対し、an=an-3とする。この数列の初項から第n項までの和をSnとする。以下の問に答えよ。(1)Snを求めよ。(2)Sn=2019となる自然数nは存在しないことを示せ。(3)どのような自然数kに対しても、Sn=k2となる自然数nが存在することを示せ。(注)an→数列のn番目の数(他も同様)自然数→1以上の整数初項→数列の1番目の数第n項→数列のn番目の数群数列の基本がわかっていれば、(2)までは小学生でも簡単に解けるでしょう。(3)は平方剰余・平方非剰余の問題で、小学生には少し難しいかもしれません。詳しくは、神戸大学2019年前期理系数学第4問・文系数学第2問の解答・解説で。 中学受験算数のプロ家庭教師(生徒募集について) 中学受験算数の参考書・問題集 中学受験の参考書・問題集の書評目で解く幾何(立体・座標編)(高校への数学)目で解く幾何(直線図形編)(高校への数学)目で解く幾何(円・三平方編)(高校への数学)にほんブログ村
2019年03月13日
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m、nは自然数で、m<nをみたすものとする。m^n+1、n^m+1がともに10の倍数となるm、nを1組与えよ。(注) 自然数→1以上の整数 m^n→mをn個かけあわせた数 n^m→nをm個かけあわせた数 見た目は難しそうですが、小学生でも解ける問題です。中学入試でも出題される一の位の周期性に関する問題で、下の問題と本質的には何も変わりません。 神戸女学院中学部1991年算数1日目第5問詳しくは、京都大学1996年後期理系数学第2問の解答・解説で。 中学受験算数プロ家庭教師の生徒募集について 中学受験算数の参考書・問題集 大学受験数学の参考書・問題集ハイレベル数学1・A・2・Bの完全攻略 [ 米村明芳 ]ハイレベル数学3の完全攻略 [ 米村明芳 ]にほんブログ村
2018年11月20日
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nを3以上の整数とする。1から3nまでの番号が書かれた3n枚のカードをAさん、Bさん、Cさんの3人にn枚ずつ配る。(1)カードの配り方は何通りあるか。(2)Aさんのカードの番号の最小値がn+1で、Bさんのカードの番号の最小値が2n-1である配り方は何通りあるか。(注)3n→3×n、2n→2×n 組み合わせの基本問題です。(2)は一見難しそうですが、問題文をきちんと読み取れれば簡単に解けます。詳しくは、北海道大学2012年理系後期数学第1問の解答・解説で。 中学受験算数プロ家庭教師の生徒募集について 中学受験・算数の参考書・問題集 大学受験数学の参考書・問題集ハイレベル数学1・A・2・Bの完全攻略 [ 米村明芳 ]ハイレベル数学3の完全攻略 [ 米村明芳 ]にほんブログ村
2018年10月05日
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自然数nに対して n!=n(n-1)(n-2)・・・・・・3・2・1とおく。また、 n(n-2)(n-4)・・・・・・5・3・1(nが奇数のとき) n!!= n(n-2)(n-4)・・・・・・6・4・2(nが偶数のとき)とおく。次の問いに答えよ。(1)1000!を素因数分解したときにあらわれる素因数3の個数を求めよ。(2)1000!!を素因数分解したときにあらわれる素因数3の個数を求めよ。(3)999!!を素因数分解したときにあらわれる素因数3の個数を求めよ。要するに、それぞれの数が3で何回割り切れますかということですね。中学入試でもよく出される典型問題です(ホームページでも同様の問題を複数取り上げています)。全部合わせて5分もかからずに解けるでしょう。詳しくは、大阪市立大学2018年前期文系数学第1問の解答・解説で。 中学受験算数のプロ家庭教師(生徒募集について) 中学受験・算数の参考書・問題集 中学受験の参考書・問題集の書評ハイレベル数学1・A・2・Bの完全攻略 [ 米村明芳 ]ハイレベル数学3の完全攻略 [ 米村明芳 ]にほんブログ村
2018年03月26日
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数列{an}は、初項aおよび公差dが整数であるような等差数列であり、 8≦a2≦10 14≦a4≦16 19≦a5≦21をみたしているとする。このような数列{an}をすべて求めよ。(注)an→数列のn番目(他も同様)初項→数列の1番目の数 2数の差を大きくしたり、小さくしたりするにはどうすればいいかがわかっていれば、小学生にも解けます。実際、中学入試でも同様の問題が出されています。 開成中学校2002年算数第1問(2)詳しくは、神戸大学2002年前期文系数学第1問の解答・解説で。 中学受験算数のプロ家庭教師(生徒募集について) 中学受験・算数の参考書・問題集 中学受験の参考書・問題集の書評ハイレベル数学1・A・2・Bの完全攻略 [ 米村明芳 ]ハイレベル数学3の完全攻略 [ 米村明芳 ]
2017年12月22日
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(1)4個の数字1、2、3、4を使ってできる5桁の整数について、以下の個数を求めよ。ただし、同じ数字を重複して使ってよいものとする。(a)2の倍数の個数(b)9の倍数の個数(c)22000以上の整数の個数(2)前問と同じ方式で5桁の整数を独立に2個作り、それらをm、nとするとき、m≦nとなる(m,n)の組の個数を求めよ。(1)は中学入試で普通に出される簡単な問題ですね。9の倍数ではなく、3の倍数のほうが差がついて面白かったですが・・・(2)は少し難しいような気がしますが、条件の対等性を利用すれば、30秒以内に解ける問題です。詳しくは、鳥取大学2015年前期医学部医学科数学第1問の解答・解説で。 中学受験算数のプロ家庭教師(生徒募集について) 中学受験・算数の参考書・問題集 中学受験の参考書・問題集の書評ハイレベル数学1・A・2・Bの完全攻略 [ 米村明芳 ]ハイレベル数学3の完全攻略 [ 米村明芳 ]にほんブログ村
2017年11月07日
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A、B、C、D、E、Fはすべて異なる1以上9以下の整数で、右の計算結果を得た。3けたの整数DEFは□である。 ABCDEF × 6 DEFABC ABC +DEF 999 巡回数(ダイヤル数)に関する問題です。問題自体は、(解法1)で解けば秒殺できますが、関連知識をしっかり押さえておきましょう。京都大学1957年数学解析1第2問と大阪大学1961年理系数学第2問・文系数学第2問もぜひ解いてみましょう。詳しくは、灘中学校1998年算数1日目第8問の解答・解説で。 中学受験算数のプロ家庭教師(生徒募集について) 中学受験・算数の参考書・問題集 中学受験の参考書・問題集の書評灘中の算数20年(2018年度受験用) (難関中学シリーズ)栗田哲也先生のスピードアップ算数発展 [ 栗田哲也 ]
2017年09月29日
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自然数360は2つの自然数aとbの積で表すことができる。a、bが互いに素であるとすると、a、bの組(a,b)はいくつあるか。ただし、例えば、(a,b)=(1,360)、(360,1)は、異なる組としてあつかうこととする。(注)自然数→1以上の整数互いに素→最大公約数が1まず、360を九九の逆を用いて素因数分解し、それぞれの素因数をa、bのどちらに割り振るかを考えれば、小学生でも30秒以内に解けます。素因数の種類をもう少し増やしたほうがおもしろかったですね。きっちりとした解き方をするか否かで、できる人の中でも差が大きく出ますから。詳しくは、自治医科大学医学部2017年数学第15問の解答・解説で。 中学受験算数のプロ家庭教師(生徒募集について) 中学受験・算数の参考書・問題集 中学受験の参考書・問題集の書評ハイレベル数学1・A・2・Bの完全攻略 [ 米村明芳 ]ハイレベル数学3の完全攻略 [ 米村明芳 ]
2017年08月29日
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2以上の自然数nに対し、nとn^2+2がともに素数になるのはn=3の場合に限ることを示せ。(注)自然数→1以上の整数ですが、2以上と書いてあるので、整数と考えればよいでしょう。自治医科大学2016年医学部第6問と同レベルですね。自治医科大学は大量の問題をさっと解く事務処理能力が試される試験だからいいですが、150分6問の試験で秒殺問題を出されては困りますね。京大数学のレベルが著しく低かった暗黒時代の問題(2003年~2006年、2010年、2011年)とはいえひどすぎます。詳しくは、京都大学2006年前期理系数学第4問の解答・解説で。 中学受験算数のプロ家庭教師(生徒募集について) 中学受験・算数の参考書・問題集 中学受験の参考書・問題集の書評ハイレベル数学1・A・2・Bの完全攻略 [ 米村明芳 ]ハイレベル数学3の完全攻略 [ 米村明芳 ]
2017年08月28日
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A、B、C、D、Eの5人の紳士から、それぞれの帽子を1つずつ受けとり、それらを再び1人に1つずつ配る。帽子は必ずしも元の持ち主に戻されるわけではない。このとき、以下の問いに答えよ。(1)次の空欄に当てはまる数を解答欄に記入せよ。 帽子を配る方法は全部で[ア]通りある。そのうち、Aが自分の帽子を受けとるのは[イ]通り、Bが自分の帽子を受けとるのは同じく[イ]通り、AとBがともに自分の帽子を受けとるのは[ウ]通りである。したがって、Aが自分の帽子を受けとらず、かつBも自分の帽子を受け取らない場合は[エ]通りである。(2)A、B、Cの3人が誰も自分の帽子を受けとらない場合は何通りか。 (1)の問題文に詳しい解き方が書いてあるので、それに従って解いていけば、(2)も簡単に解けます。そのまま中学入試で出せそうな問題です。詳しくは、早稲田大学2015年政治経済学部第3問の解答・解説で。 中学受験算数のプロ家庭教師(生徒募集について) 中学受験・算数の参考書・問題集 中学受験の参考書・問題集の書評ハイレベル数学1・A・2・Bの完全攻略 [ 米村明芳 ]ハイレベル数学3の完全攻略 [ 米村明芳 ]
2017年08月27日
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関数f(x)が次の2つの性質(1)、(2)を持つという。(1)任意の実数x、yに対して、f(x+y)=f(x)f(y)が成り立つ。(2)f(3)=8 このとき、f(1)=2であることを証明せよ。(ただし、f(x)は実数であるとする。)(注)関数f(x)→小学生の場合、xのところにある数を入れると、何か数が出てきますと考えればいいでしょう。実数→小学生の場合、数と考えればいいでしょう。f(x)f(y)→f(x)とf(y)の積(1)は、f(x+y)=f(x)f(y)のx、yに好きな数を入れても成り立ちますということです。(2)は、f(x)のxに3を入れると8になりますということです。 京大数学で非常にレベルが低い問題が出された暗黒時代とはいえ、ひどすぎますね。30秒以内に解けます。式の意味さえわかれば、小学生でも余裕で解けます。詳しくは、京都大学2004年後期文系数学第3問の解答・解説で。 中学受験算数のプロ家庭教師(生徒募集について) 中学受験・算数の参考書・問題集 中学受験の参考書・問題集の書評ハイレベル数学1・A・2・Bの完全攻略 [ 米村明芳 ]ハイレベル数学3の完全攻略 [ 米村明芳 ]
2017年08月23日
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さいころの6つの面の中から2面を選んで赤色に塗る。残った4面の中から2面を選んで黒色に塗る。最後に残った2面は白色に塗る。なお、色を塗っても、さいころの目は判別できるものとする。このとき次の問いに答えよ。(1)上のような各面への色の塗り分け方は全部で何通りあるか。(2)赤い面が向かい合うような、各面への色の塗り分け方は何通りあるか。(3)赤い面が隣り合うような、各面への色の塗り分け方は何通りあるか。(4)同じ色の面がすべて隣り合うような、各面への色の塗り分け方は何通りあるか。(5)同じ色の面がすべて向かい合うような、各面への色の塗り分け方は何通りあるか。(4)と(5)は入れ替えるべきですね。秒殺問題の(5)を先に解くと、(4)でそれが利用できて、(4)も秒殺できますから。(5)の答えを利用せずに、出題順に解くと面倒なんですよね。解説にはアップしていませんが、実際にやってみたら面倒でした。詳しくは、大阪市立大学2016年前期文系数学第2問の解答・解説で。 中学受験算数のプロ家庭教師(生徒募集について) 中学受験・算数の参考書・問題集 中学受験の参考書・問題集の書評ハイレベル数学1・A・2・Bの完全攻略 [ 米村明芳 ]ハイレベル数学3の完全攻略 [ 米村明芳 ]
2017年08月22日
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整数nは、1≦n≦100を満たす。n、n+2、n+4がすべて素数となる整数nは、何個あるか。 特殊な素数に注目すれば簡単に解けます。大学受験生なら、30秒以内に解けるでしょうね。。。エラトステネスのふるいについてもしっかりマスターしておきましょう。詳しくは、自治医科大学2016年医学部数学第6問の解答・解説で。 中学受験算数のプロ家庭教師(生徒募集について) 中学受験・算数の参考書・問題集 中学受験の参考書・問題集の書評ハイレベル数学1・A・2・Bの完全攻略 [ 米村明芳 ]ハイレベル数学3の完全攻略 [ 米村明芳 ]
2017年08月21日
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さいころを5回投げ、出た5つの目を出た順に並べたものを目の出方とする。(1)すべての目の出方は何通りあるか。(2)5以上の目が2つ以上ある目の出方は何通りあるか。(3)和が10以上となる2つの目を選ぶことができる目の出方は何通りあるか。誘導なしに(3)だけ出すと面白い問題ですが、医学部保健学科だと0点が続出してしまって、厳しいのでしょうね。親切な誘導があるため、誘導に従っていけば、それなりの学校を受験する小学生であれば普通に解けます。詳しくは、徳島大学2013年前期工学部・医学部(保健)第6問の解答・解説で。 中学受験算数のプロ家庭教師(生徒募集について) 中学受験・算数の参考書・問題集 中学受験の参考書・問題集の書評ハイレベル数学1・A・2・Bの完全攻略 [ 米村明芳 ]ハイレベル数学3の完全攻略 [ 米村明芳 ]
2017年08月18日
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