ノーテンキ娘と母の日々　－　勉強を通して

楽しい数学のハナシ（円の面積）って

　なんとなく、気分がノって２回目の数学のハナシです。

　数学で、一番浪漫を感じるのは、なんといっても無限のハナシをきいたとき。
無限を当然のように話してしまう学問って、すごいと思いません？

　今回紹介したいのは円の面積。
有名なので、実はみんな知っているのかもしれないけど。一応ね。

　たとえば。
３角形の面積って、

　　　（底辺）　×　（高さ）　÷　２

でしょ？　これは、言うまでもなく当然。

　それが５角形、６角形、７角形って増えていくと、面倒って思うでしょ？
それがそうでもないんです。
円をイメージして、どんどん区切っていくって考えるの。
折り紙を拡げたみたいなかんじ。。。
中心の点を頂点とした３角形がどんどん増えていくイメージです。

　画像入れないけど、イメージわかるかしらん？
ピザをたくさんの人たちで分ける、あんなかんじです。
ケーキを分ける。でもいいんですけどね。
円の中心から△をいくつも作っていくイメージですね。

　それでね。
　たとえば１０角形の面積って、
円を１０等分したピザの３角形１０個を足し合わせればいいんですよね。
（但しこの場合、周辺部分は直線じゃないから、正確には
　「周辺を切り落とした３角形」というのが正しいんだけど。）

　２０角形も同様で、
２０等分した３角形２０個を足し合わせればいい。

　こうやって、段々増えていって、
無限の人たちでピザとかケーキを分けることを考えてみます。

　そうすると、一つ一つの３角形の面積

　　　（底辺）　×　（高さ）　÷　２

を無限に割った個数分足し合わせることを考えるのね。

　　ここからが、一番のミソなんです。
「無限」に分けるとね、
　（高さ） 　と　円の（半径）そのもの 　って同じになっちゃうんです。
まあ、これは感覚的にそれっぽいでしょ？

　じゃあ次。
この場合の（底辺）ってなに？

　ふつーは。
　１０角形の場合、
ピザの周辺部分って、そのまま３角形の（底辺）じゃないよね。
だって、（底辺）の部分がうにーって曲がっているんだもん。
直線じゃないんだもん。

　２０角形になっても、３０角形になっても、１０００角形になっても、
正確には、直線じゃないでしょ。

　なのに、「無限」だけは違うの。
それだけ、「無限」という世界は、「特別」なの。

　「無限」個に分けたそのときだけ、（底辺）部分は曲がってないとみなされちゃうの。
つまり直線と同じになるの。

　だから、

　　　（底辺）　×　（高さ）　÷　２

が成り立つんです。

　このとき、今さっき無限に分けていったけど、その周辺部分を足し合わせちゃえば
結局、元々の円周の長さそのものに戻っちゃうわけ。

だから。。。円全体の３角形を足すことを考えるとき、

　　　（底辺）　×　（高さ）　÷　２

　が

　　　（円周）　×　（半径）　÷　２

ってなるわけデス。

　でもね。
　これってよくよく考えてみると。

　　　（円周）って　２　×　（半径）　×　（円周率）　じゃない？
　　　　　　　　　　（よく２πｒっていうでしょ？）

だから。

　　　（円周）　×　（半径）　÷　２

　　　　　　　＝　（半径）　×　（半径）　×　（円周率）

という公式が出てくるんです。

　単に、暗記として覚えていた方。。。いたとしたら、
ぜひ認識を新たにしてください。。

　円の面積の公式はこんなに、すてきな無限を使っていたんですよ～♪

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