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夏休み特別講座：数学

　一般公立校の高校入試、数学の問題では、第1問目に各学習項目から1問ずつ

基本的な内容のものが出題されてきました。今年度も同様に 10 問　程度

構成されています。数学は合計 5 問出題されますから、 1 問当たり 6 分以内

で解く必要があります。 1 問目のような基本問題は、日頃からいくつもこなして、

どのようなものでも確実に解答できるようにしておきましょう。

1. 次の各問いに答えなさい

(1) 　次の計算をしなさい。

　　　ア　 -12 + 3 ÷ 6
　　　イ　 3/5 - 8/7
　　　　 * 四則計算のルールを思い出します
ウ　 48a 2 b 2 ÷ 3ab 2
* 累乗計算のルール　 a m b n = a m+n ,　(a m ) n = a m×n
を利用
エ　 8√3 + √108
* √a 2 b = a√b を利用

(2)　(x+2) 2 - (x+3)(x-5) を計算しなさい。　
* 展開して式を整理します

(3) (x+1) 2 - 2(x+1) - 24 を因数分解しなさい。
* x+1 = A に置きかえて「たすきがけの因数分解」
を行います

(4) 2 次方程式　 4x 2 - 9x + 3 = 0 を解きなさい。　
* まず、平方公式が使えるかを確認し、
使えなければ「解の公式」を利用

(5)　√1440n が自然数となるような、最も小さい自然数 n の値を求めなさい。
* 1440 を素因数分解して、ある数の 2 乗の形
にならない素数を見つけます

(6) 　関数　 y=-1/4x 2 について、 x の変域が - 6 ≦ x ≦ 4 のとき、 y の変域は
a ≦ y ≦ b である。このとき、 a, b の値を求めなさい。
* 関数の x に -6, 4 を代入します

　(7) 　連続する 2 つの自然数があり、それぞれを 2 乗した数の和が 117 に
　　　　なるとき、小さい方の自然数を答えなさい。
* 1 ～ 9 までの自然数を 2 乗し、それら 2 数の和のうち、
一の位が 7 のものを見つけます

(8) 　次の資料は、ある農園で収穫したトマト 20 個のそれぞれの重さ
　　　　（単位 g）の記録である。このとき、この資料におけるメジアン
　　　　を求めなさい。

142　157　107　188　115　146　173　123　106　139
162　114　135　151　192　174　166　143　135　122
* 資料を小さい順に並べ替えます

(9)　図のような平行四辺形 ABCD があり、辺 BC の中点を E とする。また、
辺 AB 上に点 F を AF : FB = 4 : 3 となるようにとり、辺 DC 上に
　　　　点 G を AD // FG となるようにとる。線分 AE と線分 FG との交点を
H, DE と線分 FG との交点を I とする。このとき、三角形 AFH と
　　　　三角形 EHI の面積比を最も簡単な整数の比で表しなさい。
　* 平行線と線分の比を利用、各比の値を長さに見立てます　

—　答　え　—

(1) 　　ア　 = -12+ 1/2 = -23/2
　　　　イ　 = 21/35 - 40/35 = -19/35
　　　　ウ　 = 48/3 × a 2-1 × b 2 - 2 = 16 × a × 1 = 16a
　　　　エ　 = 8√3 + √2×2×3×3×3 = 8√3 + 6√3 = 14√3
(2)　= x 2 +4x+4 - (x 2 - 2x - 15) = x 2 - x 2 +4x+2x+15 = 6x+15
(3)　A 2 - 2A - 24 = (A+4)(A - 6) = (x+1+4)(x+1-6) = (x+5)(x - 5)
(4)

　(5)　1440 = 2×720 = 2×2×360 = 2×2×2×180 = 2×2×2×2×90
　　　　　　= 2×2×2×2×2×45 = 2×2×2×2×2×3×15
　　　　　　= 2×2×2×2×2×3×3×5= 25×32×5
　　　　25×32×5×2×5
　　　　　　= 26×32×52 = (8×3×5)2 = 1202 = 14400
∴　n = 10
　(6)　y = -1/4x2 において、
x = -6 　のとき　 y = -1/4×(-6)2 = -1/4×36 = -9
x = 4 　のとき　 y = -1/4×(4)2 = -1/4×16 = -4
　　　　よって、
x の変域が - 6 ≦ x ≦ 4 のとき、 y の変域は -9 ≦ y ≦ -4
∴　a = -9,　b = -4
　(7)　1 ～ 9 までの自然数を 2 乗は、 1, 4, 9, 16, 25, 36, 49, 64, 81
　　　　これらのうち、一の位が 7 のものは、 36+81 = 117
　　　　よって、 6 と 9 の2乗の和になります
∴　6
(8) 　資料を小さい順に並べると、　
106 107 114 115 122 123 135 135 139 142
　　　　 143 146 151 157 162 166 173 174 188 192
　　　　偶数個の資料の中央値は真ん中の 2 数の平均なので、
(142 + 143) ÷ 2 = 142.5
∴　142.5 g
(9)　△AFH = 2×3 ÷ 2=3,　△EHI = 3×3 ÷ 2=9/2
△AFH : △EHI = 3 : 9/2 = 6 : 9 = 2 : 3
∴ 2 : 3