数字の扉＆言葉の窓

問い１９．の答えの考察

トムとジェリーさんより、「もっと答えがありそう」というコメントをいただきました。それで、答えの数をきちんと検証しておこう！（まだしてなかったのか？すみません。＾＾；）ということで、考察をします。（おそ！＾＾；

さて、徒然なるままに、考察を始めます。＾＾；
いっしょに考えてあげてもいいという人は、どうか、いっしょにお願いします。＾＾

まず、A＋B＋C＝A×B×C　を考えやすいように変形してみます。

　　A×B×C＝A＋B＋C
　　A（B×C－１）＝B＋C

　　A＝(B＋C)÷(B×C－１）

　　Aが正の整数であるためには、割り切れる必要がありますから、

ｎ×（B×Cー１）＝B＋C　（ただし、ｎは自然数）

さて、ここで、 ｎ＝１ のときは、

　　　（B×Cー１）＝B＋C　
B×C＝B＋C＋１ になるときを考えるといいんですね。

と、その前に、B×C＝B＋C　（積＝和）になるときはどうなんでしょう？

　　１×１＜１＋１、１×２＜１＋２、１×３＜１＋３・・・・・・
　　２×２＝２＋２、２×３＞２＋３、２×４＞２＋４・・・・・・
　　３×３＞３＋３、３×４＞３＋４・・・・・・・・・・・・・・

２×２＝２＋２しかありませんよね。＾＾

では、 B×C＝B＋C＋１ （積＝和＋１）になるときはどうでしょう。

　　上の九九を見るとわかるように、１の段では、B×C＜B＋C　なので
　　絶対無理！
　　２×２＝２＋２なので、これも無理！

　　２×３＝２＋３＋１、２×４＞２＋４＋１、２×５＞２＋５＋１・・・
　　３×３＞３＋３＋１、３×４＞３＋４＋１・・・・・・・・・・・・・

　　となり、 ２×３＝２＋３＋１ しかありません。＾＾

つまり、 （１、２、３）の組み合わせですね。

では、 ｎ＝２ のときです。＾＾

２×（B×Cー１）＝B＋C　
　変形をして、
　　B×（２×C－１）＝C＋２

　　B＝（C＋２）÷（２×C－１）となります。
　　Bは、正の整数ですから、
　　C＋２は、（２×C－１）の倍数でなくてはなりません。

　　では、具体的に考えてみましょう。＾＾

　　C＝１のとき、C＋２＝３、２×C－１＝１・・・OK
　　C＝２のとき、C＋２＝４、２×C－１＝３・・・だめ
　　C＝３のとき、C＋２＝５、２×C－１＝５・・・OK
　　C＝４のとき、C＋２＝６、２×C－１＝７・・・だめ
　　C＝５のとき、C＋２＝７、２×C－１＝９・・・だめ

　　C＋２は１づつ増えていくのに対し、２×C－１は２ずつ増えていくので、
　　これ以上見ても、無駄ですね。＾＾

　　したがって、 C＝１、C＝３ のときしかないことがわかります。＾＾
C＝１のときは、B＝３、A＝２
C＝３のときは、B＝１、A＝２　しかありません。
やっぱり、 （１，２，３） の組み合わせでした。

では、 ｎ＝３ のときです。もう少しお付き合いください。＾＾

　　３×（B×Cー１）＝B＋C　
　変形をして、
　　B×（３×C－１）＝C＋３

　　B＝（C＋３）÷（３×C－１）となります。
　　Bは、正の整数ですから、
　　C＋３は、（３×C－１）の倍数でなくてはなりません。

　　では、同様に考えてみましょう。＾＾

　　C＝１のとき、C＋３＝４、３×C－１＝２・・・OK
　　C＝２のとき、C＋３＝５、３×C－１＝５・・・OK
　　C＝３のとき、C＋３＝６、３×C－１＝８・・・だめ
　　C＝４のとき、C＋３＝７、３×C－１＝１１・・だめ
　　C＝５のとき、C＋３＝８、３×C－１＝１４・・だめ

　　したがって、 C＝１、C＝２ のときしかないことがわかります。＾＾
C＝１のときは、B＝２、A＝３
C＝２のときは、B＝１、A＝３　しかありません。
やっぱり、 （１，２，３） の組み合わせでした。

さてさて、ｎ＞＝４のときを考えてみましょう。（いよいよラストです。）

　　ｎ×（B×Cー１）＝B＋C　
　変形をして、
　　B×（ｎ×C－１）＝C＋ｎ

　　B＝（C＋ｎ）÷（ｎ×C－１）となります。
　　Bは、正の整数ですから、
　　C＋ｎは、（ｎ×C－１）の正の倍数でなくてはなりません。

　　よって、（C＋ｎ）÷（ｎ×C－１）＝正の整数
　　そのためには、C＋ｎ＝＞ｎ×C－１でなくてはなりません。

　　つまり、（ｎー１）×C＝＜ｎ＋１
　　　　　　　C＝＜（ｎ＋１）/（ｎ－１）
ｎ＞＝４の自然数ｎの範囲では、C＝１以外は存在しません。

　　したがって、 C＝１ のときしかないことがわかります。＾＾
C＝１のときは、B＝２、A＝３
　やっぱり、 （１，２，３） の組み合わせでした。

結局、、（A、B、C）の組み合わせは（１、２、３）の組み合わせしかないことがわかりました。＾＾

　　　　　　　　　　　　（おしまい）　　

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