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森のマック
算数の統一的な解法を研究している筆者が算数や数学に関する雑感や，ヒントをつづっていきます。算数が好きになれるきっかけをつかんでいただければ，幸いです。
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2005.07.11
テーマ： 小学生の勉強(1383)
カテゴリ： 数となかよしになる！
■■■ Ｒくん、魔法の式を使う □□□□
「互いに素？」
・・・マークがいっぱいついたＲくん。
たとえば、素数、素数同士のペアになっている
２と３
これは共通の約数（公約数）が１しかないね。
つまり、最大公約数が１になっている。
公約数の中で、一番でかいのが、最大公約数（GCD）だよ。
ｇｃｄ（２，３）＝１
これを「互いに素」と言うんだよ。
２と６
これは、最大公約数が２だから、
「互いに素」になっていない。
ｇｃｄ（２，６）＝２
だね。
ところで、最大公約数（GCD）の求め方だけれど、
１２と１８の最大公約数はいくつ？
分からなかったら、それぞれを素数で表してみて。
できるだけ小さな素数で割っていくのが、コツ(^.^)
「１２は、２で割れる・・・６になった・・・」
「６はまだ２で割れる・・・３になった。これ以上は無理。」
できたら、つぎは１８も素数に分解してみよう。
まとめると、
１２＝２×２×３
１８＝２×３×３
１２は素数の種類で言えば、２と３でできている。
このことを
１２の約数⇒（あ）×（い）
と表そう。
（あ）に入る数の候補は、１か２か４
（い）に入る数の候補は、１か３
「１が入るのは、なぜ？」
約数を考えるのだから、
１にも立候補してもらう必要がある。
逆に、この１がないと、約数１が出てこない(-_-;)
「４が出ているのは、なぜ？」
４は、２のファミリーだよ。 ２×２＝４ だからね。
（あ）は、２のファミリー で １か２か４
（い）は、３のファミリー で １か３
「めんどうだね。」
確かに、ね。
だけれど、この考え方は、後できっと役に立つ。
いいかい、見ていて！
１２⇒（２のファミリー）×（３のファミリー）
１２の約数は、こんな形で表せる。
さっそく、（あ）に数字を入れてみよう。
１２の約数⇒１×（３のファミリー）
１２の約数⇒２×（３のファミリー）
１２の約数⇒４×（３のファミリー）
次に、（い）にも数字を入れてみよう。
１×１＝１
１２の約数⇒１×（３のファミリー）は
１×３＝３
２×１＝２
１２の約数⇒２×（３のファミリー）
２×３＝６
４×１＝４
１２の約数⇒４×（３のファミリー）
４×３＝１２
「全部で約数は６こ出てきたね。」
数え上げているＲくんに、こんな式を書いてもらいました。
１２＝１×１２
１２＝２×６
１２＝３×４
だから、１２の約数は １，２，３，４，６，１２
こうやると、簡単に約数が出てくるね。
でも、これだけだと、応用につながっていかない。
ファミリーのやり方に慣れておいてね。
これから、いろいろなところで、このやり方に
お目にかかるよ。
１２＝（２のファミリー）×（３のファミリー）
共通の約数、公約数に戻るよ。。
１２＝２×２×３
１８＝２×３×３
共通の素数の組に注目！
２と３が１つずつだね。
すると、公約数は・・・
１２と１８の公約数⇒（２のファミリー）×（３のファミリー）
（２のファミリー）は、１か２
（３のファミリー）は、１か３
１×１＝１
１×（３のファミリー）
１×３＝３
２×１＝２
２×（３のファミリー）
２×３＝６
１，２，３，６ の４つ出てきたね。
「これが公約数なんだね。」
そう。そして、この中で一番大きな公約数、
それを最大公約数（GCD）と言うんだ。
ｇｃｄ（１２，１８）＝６
この求め方を「下に下に」とやっていく方法に
慣れた方が便利。
大名行列ではないけれど、とにかく共通の素数
で同時に割っていく方法が速いよ。
２ │ １２ １８
└─────
３ │ ６ ９
└─────
２ ３
１２＝２×２×３
１８＝２×３×３
と比べてみよう。
「同時にできる！」
Ｒくんは感激しています。
（つづく）
◇◆◇◆◇◆◇◆◇◆◇◆◇◆◇◆◇◆◇◆◇◆◇◆
■数の動きって？ その２６
魔女●と、クララ■の単位をそろえる！
これが式を立てるときに、大きな助けになります。
式を立てたら、チェックすること！
そのリトマス試験紙が
魔女●と、クララ■の単位をそろえる！
ということなのです。
では、ここで、少し前に戻ってみましょう。
「比」があります。
６年生で、「比例」の手前で習います。
この「比」の正体は、何でしょう？
「比」は「割合」にとても近い思考法なのです。
例えば、
「姉リスは１５個のクルミを拾いました。妹リスが拾ったクルミの数
と比べると、姉リスと妹リスは ３：２ になっていました。
では、妹リスは一体、いくつクルミを拾いましたか？」
こどもたちの立場に立って、考えてみましょう。
１５個：（ ）個＝３：２
単位が同じなら、それは魔女●とクララ■
●：■＝３：２
こんなかたちで、魔法の式が見えてきました。
すると、●は１単位のことだから
●：■＝３／３：２／３＝１：２／３
つまり、▲は「２／３倍」ということが見えてきますね。
▲は２／３倍です。
まとめてみましょう。
● １５個
▲ ２／３倍
■ 妹リスは何個
じゅもんをとなえて、
●×▲＝■
１５個×２／３倍＝１０個
こうして、「比」も
魔法の式とリンクしていることがわかります。
この解法は、ほとんどの公立小学校では、
おそらく教えていないと思います。
しかし、マックの知っている名門と呼ばれている
私立小学校では、教えています。
この私立小学校で使っている問題集に、
このやり方が出ていました。
これを、
１５個：（ ）個＝３：２
内項どうしの積＝外項どうしの積
としか教えてもらっていないと、応用力がつかないのです。
その例は、次回に取り上げます。
（つづく）
「互いに素？」
・・・マークがいっぱいついたＲくん。
たとえば、素数、素数同士のペアになっている
２と３
これは共通の約数（公約数）が１しかないね。
つまり、最大公約数が１になっている。
公約数の中で、一番でかいのが、最大公約数（GCD）だよ。
ｇｃｄ（２，３）＝１
これを「互いに素」と言うんだよ。
２と６
これは、最大公約数が２だから、
「互いに素」になっていない。
ｇｃｄ（２，６）＝２
だね。
ところで、最大公約数（GCD）の求め方だけれど、
１２と１８の最大公約数はいくつ？
分からなかったら、それぞれを素数で表してみて。
できるだけ小さな素数で割っていくのが、コツ(^.^)
「１２は、２で割れる・・・６になった・・・」
「６はまだ２で割れる・・・３になった。これ以上は無理。」
できたら、つぎは１８も素数に分解してみよう。
まとめると、
１２＝２×２×３
１８＝２×３×３
１２は素数の種類で言えば、２と３でできている。
このことを
１２の約数⇒（あ）×（い）
と表そう。
（あ）に入る数の候補は、１か２か４
（い）に入る数の候補は、１か３
「１が入るのは、なぜ？」
約数を考えるのだから、
１にも立候補してもらう必要がある。
逆に、この１がないと、約数１が出てこない(-_-;)
「４が出ているのは、なぜ？」
４は、２のファミリーだよ。 ２×２＝４ だからね。
（あ）は、２のファミリー で １か２か４
（い）は、３のファミリー で １か３
「めんどうだね。」
確かに、ね。
だけれど、この考え方は、後できっと役に立つ。
いいかい、見ていて！
１２⇒（２のファミリー）×（３のファミリー）
１２の約数は、こんな形で表せる。
さっそく、（あ）に数字を入れてみよう。
１２の約数⇒１×（３のファミリー）
１２の約数⇒２×（３のファミリー）
１２の約数⇒４×（３のファミリー）
次に、（い）にも数字を入れてみよう。
１×１＝１
１２の約数⇒１×（３のファミリー）は
１×３＝３
２×１＝２
１２の約数⇒２×（３のファミリー）
２×３＝６
４×１＝４
１２の約数⇒４×（３のファミリー）
４×３＝１２
「全部で約数は６こ出てきたね。」
数え上げているＲくんに、こんな式を書いてもらいました。
１２＝１×１２
１２＝２×６
１２＝３×４
だから、１２の約数は １，２，３，４，６，１２
こうやると、簡単に約数が出てくるね。
でも、これだけだと、応用につながっていかない。
ファミリーのやり方に慣れておいてね。
これから、いろいろなところで、このやり方に
お目にかかるよ。
１２＝（２のファミリー）×（３のファミリー）
共通の約数、公約数に戻るよ。。
１２＝２×２×３
１８＝２×３×３
共通の素数の組に注目！
２と３が１つずつだね。
すると、公約数は・・・
１２と１８の公約数⇒（２のファミリー）×（３のファミリー）
（２のファミリー）は、１か２
（３のファミリー）は、１か３
１×１＝１
１×（３のファミリー）
１×３＝３
２×１＝２
２×（３のファミリー）
２×３＝６
１，２，３，６ の４つ出てきたね。
「これが公約数なんだね。」
そう。そして、この中で一番大きな公約数、
それを最大公約数（GCD）と言うんだ。
ｇｃｄ（１２，１８）＝６
この求め方を「下に下に」とやっていく方法に
慣れた方が便利。
大名行列ではないけれど、とにかく共通の素数
で同時に割っていく方法が速いよ。
２ │ １２ １８
└─────
３ │ ６ ９
└─────
２ ３
１２＝２×２×３
１８＝２×３×３
と比べてみよう。
「同時にできる！」
Ｒくんは感激しています。
（つづく）
◇◆◇◆◇◆◇◆◇◆◇◆◇◆◇◆◇◆◇◆◇◆◇◆
■数の動きって？ その２６
魔女●と、クララ■の単位をそろえる！
これが式を立てるときに、大きな助けになります。
式を立てたら、チェックすること！
そのリトマス試験紙が
魔女●と、クララ■の単位をそろえる！
ということなのです。
では、ここで、少し前に戻ってみましょう。
「比」があります。
６年生で、「比例」の手前で習います。
この「比」の正体は、何でしょう？
「比」は「割合」にとても近い思考法なのです。
例えば、
「姉リスは１５個のクルミを拾いました。妹リスが拾ったクルミの数
と比べると、姉リスと妹リスは ３：２ になっていました。
では、妹リスは一体、いくつクルミを拾いましたか？」
こどもたちの立場に立って、考えてみましょう。
１５個：（ ）個＝３：２
単位が同じなら、それは魔女●とクララ■
●：■＝３：２
こんなかたちで、魔法の式が見えてきました。
すると、●は１単位のことだから
●：■＝３／３：２／３＝１：２／３
つまり、▲は「２／３倍」ということが見えてきますね。
▲は２／３倍です。
まとめてみましょう。
● １５個
▲ ２／３倍
■ 妹リスは何個
じゅもんをとなえて、
●×▲＝■
１５個×２／３倍＝１０個
こうして、「比」も
魔法の式とリンクしていることがわかります。
この解法は、ほとんどの公立小学校では、
おそらく教えていないと思います。
しかし、マックの知っている名門と呼ばれている
私立小学校では、教えています。
この私立小学校で使っている問題集に、
このやり方が出ていました。
これを、
１５個：（ ）個＝３：２
内項どうしの積＝外項どうしの積
としか教えてもらっていないと、応用力がつかないのです。
その例は、次回に取り上げます。
（つづく）
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