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森のマック
算数の統一的な解法を研究している筆者が算数や数学に関する雑感や，ヒントをつづっていきます。算数が好きになれるきっかけをつかんでいただければ，幸いです。
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2005.07.12
テーマ： 小学生の勉強(1383)
カテゴリ： 数となかよしになる！
☆マックの教育雑感
Ｒくんは以前にも触れましたが、中学２年生です。
これまで算数や数学の世界から逃げていました。
マックの塾にやって来て、
今、相当なスピードで小学校からの遅れを取り戻し中です。
マックも、初めのうちは相当に不安でした。
かけ算もしっかりと覚えていない・・・・・
でも、こどもって、養分をあげれば、
すくすくと伸びるものです(^.^)
チャレンジできるまでに成長しました。
まだ、計算が多少あやしかったりしますが、
考え方は、かなり論理的になってきました。
どんな子も、限りない可能性を秘めています。
こどもたちを信じてあげること・・・
大人はすぐに成果を求めます。
しかし、待つことも大切です。
でも、ただ待つだけでなく、その間、
しっかりと養分を与え続けることが
大人のすべきこと、してあげられることです。
そんなことを考えながら、
■■■ Ｒくん、魔法の式を使う □□□□
１２と１８の最大公約数が６であることを
ｇｃｄ（１２，１８）＝６
と表しました。
すると、１２と１８は、それぞれこんな表し方もできるね。
１８＝ｇｃｄ（１２，１８）×３
ここで、２と３は互いに素、つまり
ｇｃｄ（２，３）＝１
つまり、６の倍数であって、
このほかに、２と３という素数をもっている最小の数は
６×２×３＝３６
こうして１２と１８の最小公倍数（ＬＣＭ）は
ｌｃｍ（１２，１８）
＝ｇｃｄ（１２，１８）×２×３
＝６×６
＝３６
という風に出てくるね(^.^)
ここで、おもしろい実験をしてみよう。
ｇｃｄ（１２，１８）×ｌｃｍ（１２，１８）
＝６×３６
＝６×６×６
＝６×６×２×３
＝６×２×６×３
＝１２×１８
最大公約数と最小公倍数をかけたら・・・
「もとの１２と１８という数の積にもどってしまった！」
Ｒくんは、またまた不思議そうに、この結果を見ています。
☆中学生向けに、文字で証明しておきましょう。
Ａ＝ｇｃｄ（Ａ，Ｂ）×ａ
Ｂ＝ｇｃｄ（Ａ，Ｂ）×ｂ
ａとｂは互いに素
すると
ｌｃｍ（Ａ，Ｂ）＝ｇｃｄ（Ａ，Ｂ）×ａ×ｂ
こうして
ｇｃｄ（Ａ，Ｂ）×ｌｃｍ（Ａ，Ｂ）
＝ｇｃｄ（Ａ，Ｂ）×ｇｃｄ（Ａ，Ｂ）×ａ×ｂ
＝ｇｃｄ（Ａ，Ｂ）×ａ×ｇｃｄ（Ａ，Ｂ）×ｂ
＝Ａ×Ｂ
もうひとつ、実験！
その前に、こんな問題、きみならどうする？
［練習問題］
９１８ と ２０４０ の最大公約数はいくつですか？
なんだか大きな数だね(^.^)
（つづく）
◇◆◇◆◇◆◇◆◇◆◇◆◇◆◇◆◇◆◇◆◇◆◇◆
■数の動きって？ その２７
「おはじきが２４個あります。これを姉と妹で５：３に分けました。
姉はいくつ取ったでしょうか？」
内項どうしの積＝外項どうしの積
の考え方では、もうお手上げです。
この問題、比例配分を使えば一発です。
魔法の式からスタートしてみましょう。
●×▲＝■
（ ）：（ ）＝５：３
（ ）どうしは、単位が同じなので、
●と■でおきかえてみます。
●：■＝５：３
●：■＝１：３／５
この３／５が魔法のつえ▲です。
すると、
●×３／５＝■
ということは、
●＋■＝２４ なので、
●＋●×３／５＝２４
●×（１＋３／５）＝２４
●×８／５＝２４
●＝２４÷８／５
●＝２４×５／８
●＝１５
答え １５個
このようになります。
これで、魔法の式と「比例配分」がリンクしましたね。
「比例配分」は「分数」の考え方でもかまいません。
●＝２４×５／８
の５／８に注目してください。
分母の８という数字は ５＋３
分子は そのうちの ５
つまり、５：３ということは
一番小さな数で考えれば、
姉５個、妹３個に分けるということ。
全体が８個しかなければ、
８個を５個と３個に分けるということですね。
これを分数に転換します。
１個ならば５／８個 と ３／８個 に分ける。
２４個なら、２４×５／８個 と ２４×３／８個 に分ける。
ポイントは「１個を分ける」という考え方です。
（つづく）
Ｒくんは以前にも触れましたが、中学２年生です。
これまで算数や数学の世界から逃げていました。
マックの塾にやって来て、
今、相当なスピードで小学校からの遅れを取り戻し中です。
マックも、初めのうちは相当に不安でした。
かけ算もしっかりと覚えていない・・・・・
でも、こどもって、養分をあげれば、
すくすくと伸びるものです(^.^)
チャレンジできるまでに成長しました。
まだ、計算が多少あやしかったりしますが、
考え方は、かなり論理的になってきました。
どんな子も、限りない可能性を秘めています。
こどもたちを信じてあげること・・・
大人はすぐに成果を求めます。
しかし、待つことも大切です。
でも、ただ待つだけでなく、その間、
しっかりと養分を与え続けることが
大人のすべきこと、してあげられることです。
そんなことを考えながら、
■■■ Ｒくん、魔法の式を使う □□□□
１２と１８の最大公約数が６であることを
ｇｃｄ（１２，１８）＝６
と表しました。
すると、１２と１８は、それぞれこんな表し方もできるね。
１８＝ｇｃｄ（１２，１８）×３
ここで、２と３は互いに素、つまり
ｇｃｄ（２，３）＝１
つまり、６の倍数であって、
このほかに、２と３という素数をもっている最小の数は
６×２×３＝３６
こうして１２と１８の最小公倍数（ＬＣＭ）は
ｌｃｍ（１２，１８）
＝ｇｃｄ（１２，１８）×２×３
＝６×６
＝３６
という風に出てくるね(^.^)
ここで、おもしろい実験をしてみよう。
ｇｃｄ（１２，１８）×ｌｃｍ（１２，１８）
＝６×３６
＝６×６×６
＝６×６×２×３
＝６×２×６×３
＝１２×１８
最大公約数と最小公倍数をかけたら・・・
「もとの１２と１８という数の積にもどってしまった！」
Ｒくんは、またまた不思議そうに、この結果を見ています。
☆中学生向けに、文字で証明しておきましょう。
Ａ＝ｇｃｄ（Ａ，Ｂ）×ａ
Ｂ＝ｇｃｄ（Ａ，Ｂ）×ｂ
ａとｂは互いに素
すると
ｌｃｍ（Ａ，Ｂ）＝ｇｃｄ（Ａ，Ｂ）×ａ×ｂ
こうして
ｇｃｄ（Ａ，Ｂ）×ｌｃｍ（Ａ，Ｂ）
＝ｇｃｄ（Ａ，Ｂ）×ｇｃｄ（Ａ，Ｂ）×ａ×ｂ
＝ｇｃｄ（Ａ，Ｂ）×ａ×ｇｃｄ（Ａ，Ｂ）×ｂ
＝Ａ×Ｂ
もうひとつ、実験！
その前に、こんな問題、きみならどうする？
［練習問題］
９１８ と ２０４０ の最大公約数はいくつですか？
なんだか大きな数だね(^.^)
（つづく）
◇◆◇◆◇◆◇◆◇◆◇◆◇◆◇◆◇◆◇◆◇◆◇◆
■数の動きって？ その２７
「おはじきが２４個あります。これを姉と妹で５：３に分けました。
姉はいくつ取ったでしょうか？」
内項どうしの積＝外項どうしの積
の考え方では、もうお手上げです。
この問題、比例配分を使えば一発です。
魔法の式からスタートしてみましょう。
●×▲＝■
（ ）：（ ）＝５：３
（ ）どうしは、単位が同じなので、
●と■でおきかえてみます。
●：■＝５：３
●：■＝１：３／５
この３／５が魔法のつえ▲です。
すると、
●×３／５＝■
ということは、
●＋■＝２４ なので、
●＋●×３／５＝２４
●×（１＋３／５）＝２４
●×８／５＝２４
●＝２４÷８／５
●＝２４×５／８
●＝１５
答え １５個
このようになります。
これで、魔法の式と「比例配分」がリンクしましたね。
「比例配分」は「分数」の考え方でもかまいません。
●＝２４×５／８
の５／８に注目してください。
分母の８という数字は ５＋３
分子は そのうちの ５
つまり、５：３ということは
一番小さな数で考えれば、
姉５個、妹３個に分けるということ。
全体が８個しかなければ、
８個を５個と３個に分けるということですね。
これを分数に転換します。
１個ならば５／８個 と ３／８個 に分ける。
２４個なら、２４×５／８個 と ２４×３／８個 に分ける。
ポイントは「１個を分ける」という考え方です。
（つづく）
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