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2022/01/31

異なる2つの素数の立方の和は素数になる？ならない？

テーマ：数学(322)

カテゴリ：数学と算数

編集

今回の記事も素数についての記事でございますよ
ま書こうと思えばいくらでも記事を書くことができる題材ではありますな

先日の記事では「異なる素数の平方の和となる最小の素数は? 」
という簡単な問題から個数を増やして発展させていきましたが今回は
乗数を上げていってみたいと思いますよ

まずは・・・
異なる2つの素数の平方の和となる最小の素数は
13=2 ^ 2 +3 ^ 2

では乗数を上げていってみましょうというのがこの記事で検証したいことになりますよ

異なる2つの素数の立方の和となる素数はありませんよ
なぜならa^3+b^3 は因数分解できますからね
同様に異なる2つの素数の奇数乗の和は素数になりませんな
というわけで以下は2のべき乗だけが調査の対象となりますな

異なる2つの素数の4乗の和となる最小の素数は
97
2 ^ 4 +3 ^ 4 =

ちなみに、異なる4つの素数の平方の和となる最小の素数は
199
2 ^ 2 +5 ^ 2 +7 ^ 2 +11 ^ 2 =

a^6+b^6 =(a^2)^3+((b^2))^3となりますからこれも因数分解できますな

異なる2つの素数の8乗の和となる最小の素数は
815730977
2 ^ 8 +13 ^ 8 =815730977
でございますよ

異なる2つの素数の16乗の和となる最小の素数は
15496731425178936435099327796097
2 ^ 16 +89 ^ 16 =

ここまではWindows10 の電卓アプリでは式の結果を正しく表示できますが
この先はダメですな

異なる2つの素数の32乗の和となる最小の素数は
62623297589448778360828428329074752313100292737

2 ^ 32 +29 ^ 32 =

異なる2つの素数の64乗の和となる最小の素数は

23169162752708970943114627382699355445603465075569066753527132965271355336698663708393617779709970177

2 ^ 64 +37 ^ 64 =

異なる2つの素数の128乗の和となる最小の素数は

62235870131088887248721260643613732270809542114927533946691860423058765484724946889521036730767972514076313484150675873686540902307116397787901933154121577883589865430562620039227333390206072697381906394318688964164519497825458545591530247761306764700712611608577

2 ^ 128 +113 ^ 128 =

最初の平方の13(2 ^ 2 +3 ^ 2 =) 以外は全て下1桁が7になっておりますな
これはこの先も常に成立するのでしょうか？
ちなみに必ず2のべき乗+pのべき乗となるのはこの和が奇数素数であることから自明ですな

異なる2つの素数の256乗の和となる最小の素数は
私がpython 言語で作成したプログラムでは扱える数値の範囲を超えてしまったので
計算できませんでしたよ
これはちょっと改善して最小の素数の値を算出したいと思いますよ

なおこの記事の内容はオンライン整数列大辞典の A123622 Smallest prime of the form p^(2^n) + q^(2^n), where p,q are primes. と同じでございますよ

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