プログラミングのための線形代数 4.4.1 変数変換

100万ポイント山分け！1日5回検索で1ポイントもらえる

000000

ホーム | 日記 | プロフィール

【フォローする】【ログイン】

フリーページ

Linux日記

< 新しい記事

新着記事一覧(全2383件)

過去の記事 >

2007年01月27日

プログラミングのための線形代数という本を読んでいます。
http://wiki.fdiary.net/lacs/

4.4.1 変数変換

いろいろ書き直すという方向でやってみます。

◆まずは具体例

ばらすだけだと手が出ないケース。式を文字で置き換え計算すると4.3節で示した形の通りですので一目で暴走するかどうかわかります。

◆行列に翻訳すると

先の例を行列で考えます。これは式の見方が変わっただけですね。

◆一般化

ということでCは正則行列ということにします。そしてP=C^-1と置き換えます。これはPの方があとあと都合が良いからです。

そして元の変数 x(t) に対し、何か正則行列 P を持ってきて
x(t) = Py(t)
で別の変数 y(t) に変換することを考えてみましょう。このとき x(t) = Ax(t-1) という差分方程式はどう変換されるでしょうか。x(t) = Py(t)は言い方を変えるとy(t)=P^-1x(t) なのでごちゃごちゃ変形するとy(t)=Λy(t-1),Λ=P^-1APという形になります。これを相似変換とよびます。

これでΛが対角行列なら簡単にもとまりそうです。後は x(t) = Py(t) と y(0) =P^-1x(0) から x も求まります。ということでうまい正則行列 P を選んで P^-1AP を対角行列にすれば良いわけですね。これを対角化と呼びます。対角化は本質的に1通りになります。

お気に入りの記事を「いいね！」で応援しよう