プログラミングのための線形代数 4.7.3 Jordan 標準形の性質

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2007年04月02日

プログラミングのための線形代数 4.7.3 Jordan 標準形の性質

カテゴリ：カテゴリ未分類

プログラミングのための線形代数という本を読んでいます。
http://wiki.fdiary.net/lacs/

4.7.3 Jordan 標準形の性質

Jordan 標準形のメリットは以下2つ。

・固有値・固有ベクトルの様子が見える
・べき乗が具体的に計算できる

Jordan 標準形はブロック対角ですから、その固有値やべき乗計算は、ブロックごとに見れば分かります。従って個々の対角ブロック(Jordan細胞)について調べれば十分です。

■Jordan 標準形の固有値

Jordan 細胞の固有値・固有ベクトルはブロックを見ればすぐ分かります。固有値の解の数と線形独立な固有ベクトルの数があわなければ対角化不可能だと言うこともわかります。

・対角成分が固有値λ
・対角成分のλの個数が、固有値λが何重解か（代数的重複度）に対応
・対角成分がλな Jordan 細胞の数が、固有値λに対する線形独立な固有ベクトルの本数（幾何学的重複度）に対応

ということになります。 Jordan 標準形に変換されれば固有値・固有ベクトルがどうなっているかもわかります。固有値に重解がないときには、 Jordan 標準形は対角行列になるしかありません。

・固有値に重解が無ければ対角化可能

ということになります。

■Jordan 標準形のべき乗

Jordan 標準形のべき乗は

B = n x I + Z

Z:左からかけると1行ずらして右からかけると1列ずらす行列

のようにとらえると扱いやすいです。

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