2007年04月09日
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プログラミングのための線形代数という本を読んでいます。
http://wiki.fdiary.net/lacs/
4.7.6 Jordan 標準形に変換できることの証明
■流派の大きさについて
どの流派 W(λ) にも o は入っています。でも基底を作るためには o では困るので他のメンバーが必要です。 o 以外のメンバーがいる流派は特別な λ だけです。 o 以外の p に (A-λI) を繰り返し掛けていって、 o になる直前のベクトル p' はまだゼロベクトルではないけれどあと1回 (A-λI) を掛けると o になってしまうわけです。これは p' が固有値λの固有ベクトルということなのですから、 o 以外のメンバーがいる流派 W(λ) は、λが A の固有値なものだけだということです。
次に考えるのは各流派から何人選ぶかということです。具体的には W(λ) の中で線形独立なベクトルが何本取れるかの調査が必要です。この際に固有値 λ が特性方程式 φa(λ) = 0 の k 重解だったら W(λ) の中から k 本の線形独立なベクトルが取れることが保証されます。
http://wiki.fdiary.net/lacs/
4.7.6 Jordan 標準形に変換できることの証明
■流派の大きさについて
どの流派 W(λ) にも o は入っています。でも基底を作るためには o では困るので他のメンバーが必要です。 o 以外のメンバーがいる流派は特別な λ だけです。 o 以外の p に (A-λI) を繰り返し掛けていって、 o になる直前のベクトル p' はまだゼロベクトルではないけれどあと1回 (A-λI) を掛けると o になってしまうわけです。これは p' が固有値λの固有ベクトルということなのですから、 o 以外のメンバーがいる流派 W(λ) は、λが A の固有値なものだけだということです。
次に考えるのは各流派から何人選ぶかということです。具体的には W(λ) の中で線形独立なベクトルが何本取れるかの調査が必要です。この際に固有値 λ が特性方程式 φa(λ) = 0 の k 重解だったら W(λ) の中から k 本の線形独立なベクトルが取れることが保証されます。
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