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2010.07.07

グラスマン多様体にユニタリ群が推移的に作用しているので、等質空間として表せるわけだが、ユニタリ群の次元をいかにして計算したらよいのかというのがなかなか難しかったわけですよ。

まずg(gの転置の複素共役）=1という条件をgの成分に関して書き下したときに、独立な定義方程式がいくつできるかというのを考えないといけないよね。しかも線型じゃないからこれは厄介だと思っていたんだけど…

こういうときはLie環の次元を計算するほうが早いんだね！！

gを1の近傍でテイラー展開しとくと、Lie環の定義方程式が歪エルミートであるという式で与えられるから、これで次元が計算できるんだね。

あとはグラスマン多様体を複素射影空間に埋め込むときに、ケイリー・プリュッカー・グラスマン座標系を考えるわけだが、逆にこの座標系からグラスマン多様体の点を復元するには、他に条件式が要るようだね。この条件式がどのようにして導かれるかというのは結構興味深いです。

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