りりたんのPSO周回日記

Q.200枚のカードに、1から200まで番号が書いてあり、番号順に並んでいます。（1が書いてあるカードが一番上で200が、一番下）

1番上のカードを1番下に持っていき、次のカードを捨てるという作業を繰り返したとき、最後に残るカードに書いてある数字は何か答えなさい。

A.145

少し長くなりますが説明。

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カードの総枚数が奇数の時と偶数の時が存在するのは少し考えれば分かります。

問題で言うと200→100→50→25→

のところです。偶数の場合は話は単純。奇数の場合は一サイクルした時に一番最初に上にあったカードが捨てられます。

つまり。

カードの枚数が偶数の時。

[1 2] [3 4] … [2n-1 2n]

というペアが出来、[]の右側の数字が捨てられ、一番上のカードは「2n」となります。

カード枚数が奇数の時。最初のカードは別にして並べます。

1 [2 3] [4 5] … [2n 2n+1]

というペアが出来、[]の左側の数字と「1」のカードが捨てられ、一番上のカードは「2n+1」となります。

さて。

この法則に当てはめていくと200枚のカードは

200→100→50→25→12→6→3→1

と減っていくことが分かります。これを先の数式に逆算して当てはめて行きます。

1→3は元のカードの枚数が奇数なので「2n+1(n=1)」で「3」
3→6は元のカードの枚数が偶数なので「2n-1(n=3)」で「5」
6→12は元のカードの枚数が偶数なので「2n-1(n=5)」で「9」
12→25は元のカードの枚数が奇数なので「2n+1(n=9)」で「19」
25→50は元のカードの枚数が偶数なので「2n-1(n=19)」で「37」
50→100は元のカードの枚数が偶数なので「2n-1(n=39)」で「73」
100→200は元のカードの枚数が偶数なので「2n-1(n=73)」で「145」

となります。

さらに。

感嘆した簡単な方法。

200を2進数で表します。

「11001000」

そしてこれの逆数を取ります。

「00110111」

元の数から逆数を引きます

11001000
-00110111
=10010001

これを10進数に戻すと「145」。

なんでしょうか、この数字マジックは。数字の魔力って素晴らしい。

素晴らしいついでに、ここまで来たらとことん書きますが（爆）。

世界で一番美しい数式というものがあります。

オイラーの公式の応用。

eのiπ乗=-1

iは虚数を、πは円周率を、eはネイピア数（自然対数の底でありe=2.71828…と言えば思い出すでしょうか）を表しています。それぞれの記号を導いた人物は全く別人で関連性は無い。しかし、その三つの数値が合わさると「-1」という単純な数字になってしまう。

凄いですよね。「人類の至宝」と呼ばれているのも納得です。