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2003年10月27日

今日の一言

井の中の蛙、大海を知らず　
されど天の高きを知る

さて、そろそろ核心に迫っていきます。

「公理」＝証明する必要のない、自明なこと

B.C.300年頃、ユークリッド幾何学が生まれました。
これは、我々が小、中学校でならう「点・線・平面」などを取り扱う図形の学問です。
平行線は決して交わらないなどの公理をもとに理論化された法則です。
ふむふむ、確かに平行線はどこまでいっても交わらないぞ、これは証明する必要のない自明な事だ（公理）。

1830年頃そんな、疑問をもとにユークリッド幾何学に挑んだ天才がいました。ガウスさんです。
平行線は交わるという定義に置き換えて幾何学を作りなおしてみたら、なんと矛盾どころか新しい幾何学が出来てしまったではないですか。
これを「非ユークリッド幾何学」と呼んでいます。ゆがんだ紙の上に書いた図形を扱うという物です。

学問の世界に衝撃が走りました。
幾何学だけでなく、数学も、物理学も、哲学もありとあらゆる学問はある一定の公理をもとに成り立っていたからです。
無から理論を構築するのは不可能です、どんな理論も最初に公理が存在するのです。
逆に言えば、どんなテキトーで、いい加減な公理でも無矛盾な理論体系を作る事が出来る＝公理しだいで理論は何とでも出来る。
そして、その公理の正当性をその理論体系では証明できない。
これは、信じるか？信じないか？の世界です。
幾何学も、数学も、物理学も、哲学も、法律も、宗教も、証明不能な公理を信じるか否かということでは本質的に同じことなのです。
次回、もう少し公理について補足します。

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