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部分分数分解 その3
部分分数分解を速くする方法の第3弾です．(第1弾と第2弾を読んでから読んでください)分母に1次式の3乗を含む場合の部分分数分解の方法の解説をします．※3乗以上でも同じ方法で対応できます．
2007.03.05
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2次方程式の重解について
今回は2次方程式が重解をもつ条件とその解について書きます．問題自体は難しくないですが，よく質問されるので書いておこうと思いました．まずは2次方程式の解の公式．次に判別式について．判別式って単に「解の公式の根号の中身」ってことだからね．そして，よくされる質問とは・・・「重解が x = -b/(2a) となるのが分からない」解の公式と判別式の関係をしっかり理解しておこう．重解をもつということは，判別式が0になる．つまり，根号内が0になるということ．どうも忘れやすい事項みたいなので，しっかり理解して使えるようにしよう！最後に解答です．計算の途中の掛け算はわざと計算してません．両辺を9で割るのも楽だし，どっちにしろ，素因数分解して根号の外に出せるものは出さないといけない．それなら計算するだけ時間の無駄ってこと．掛け算の形になっているんだから，その形を最大限利用しよう．この問題ではたまたま4の2乗になったが，そうでない場合でも有効だと思う．そして最後は問題集などの答えでよく書かれている式で，よく質問されるポイント．「2次方程式の重解」が問題になったときはいつでも使えるようにしよう！
2007.02.07
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第5弾の証明
この問題は等式の証明に必要な考え方を知らないと解けない．当然であるが，何を証明すればよいのかが分からないと証明なんてできるわけがない．この場合は，「x, y, z のうち少なくとも1つが1に等しいこと」を証明すればよいのだが，それは問題文を見れば分かることであって，僕が言いたいこととは違う．条件として式が与えられていて，示すものが式で書かれているならまだ楽である．しかし，今回は条件として式が与えられていて，示すものが言葉で書かれている．この場合は条件式を言葉で表して，「言葉→言葉」の論証で攻めるか，示すものを式で表して，「式→式」で攻めるかどちらかである．論証より「式→式」の方が楽だと思う．つまり「x, y, z のうち少なくとも1つが1に等しい」ことを数式で表すことを考えなければならない．「3つのうち少なくとも1つは1」ということは，最低でも1つは1ということ．つまり，1つが1でもいいし，2つが1でもいいし，3つとも1でもいいということ．x, y, z のうち少なくとも1つが1に等しい ⇔ x = 1 または y = 1 または z = 1となる．しかし，これではまだダメだ．「または」っていう言葉が入ってるからね．このままでは難しいので次の問題を考えてみよう．この逆はよく使っていると思う．2次方程式を解く際に絶対使っている事項だ．a, b のうち少なくとも一つは 0 ということは，a = 0 または b = 0 ということ．つまり，積が 0 ということ．次にこれを発展させていく．a, b の少なくとも一方が 1 に等しい⇔ a = 1 または b = 1⇔ a - 1 = 0 または b - 1 = 0ここまで来れば分かりますね．a, b の少なくとも一方が1に等しい ⇔ (a-1)(b-1)=0元の問題に戻ります．x, y, z のうち少なくとも1つが1に等しい⇔ x=1 または y=1 または z=1⇔ (x-1)(y-1)(z-1)=0ということですね．これで示すべき等式が得られました．あとは書く量を減らすために，「文字の置き換え」という工夫をします．具体的には，x-1, y-1 z-1 をそれぞれ他の文字，例えば a, b, c とおきます．x+y+z=3 は a+b+c=0 と書き換えることができます．この結果，次のように問題を単純化できます．こうなればかなり簡単ですね．前にも書いた公式 を利用することは見え見え．ってことで証明は次のようになります．
2007.02.01
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無限級数
基本は「第n部分和をnで表し，n→∞として極限を求める」方法．kの値を1から1ずつ増やしていくと，cos(k-1)π/4の値は1，1/√2，0，-1/√2，-1，-1/√2，0，1/√2，1，・・・と周期8で変わっていく．したがって，まずは考えやすい「n=8m (m=1，2，3，・・・)の場合」を考え，それぞれの値で分けて部分和を求める．なんか分かりにくい表現だ・・・お許しを・・・それでは解答～式が長くて嫌・・・もっとスッキリした解答があるような気がする．
2007.03.02
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2文字の対称式
次の具体例を出す前に必要な事項を一つ．「対称式」について．x,y の対称式とは，x と y を入れ替えても元の式と同じ式になる式のこと．その中で最も簡単な x+y, xy を基本対称式という．x+y において，x と y を入れ替えると y+x となりこれは元の式と同じ．xy において，x と y を入れ替えると yx となりこれも元の式と同じ．そして，次が対称式の最大のポイント．全ての対称式は基本対称式のみで表すことが可能．つまり，2文字の場合，次のように表すことができる．(4),(5)については x+y, xy で表されていないが，(1),(2)を用いればよいので通常はここで変形を止める．
2007.01.30
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- 子供に英語。どうしてますか？
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- (2026-09-07 09:28:31)
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