正方形の面積問題

上図の正方形ABCDの面積はいくらかという問題で、三平方の定理を使わずに解くようにということである。辺BC上の点Eは図の通り、∠DEC＝60°で、辺DE＝４である。これは小学生にも分るだろうということで、方程式を解くようなことをせずに解きましょう。ポイントは、補助線をどう引くかによって、自ずから答えが出てきます。点Cから辺DEに垂線CFを引くと、∠DEC＝60°なので、辺EC＝辺DEの1/2＝２、ゆえに、辺EF＝辺ECの1/2＝１です。よって、辺DF＝辺DE-辺EF＝４－１＝３となります。次に、点Aから辺DEに垂線AGを引くと、三角形AGDは三角形DFCと同じ形(合同)であり、辺AG＝辺DF＝３である。よって、三角形AEDの面積は底辺DE×高さAG×1/2＝3×4×1/2＝６となる。ここに、三角形AEDの面積は底辺をAD、高さをABと見れば、正方形ABCDの面積の1/2である。したがって、正方形ABCDの面積＝三角形AEDの面積×２＝6×2=12となります。