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2006年01月25日
テーマ： 中学受験のお母さん集まれ(7045)
カテゴリ： 雑感
東京出版
今年の灘中の算数問題
が載っていたので解いてみました。
間違ってる部分もあるかもしれないので、その点は悪しからず。（間違ってたら指摘してやって下さい…ｍ(_ _)ｍ）
*******************************************************************************************
＜１番＞
計算問題。□＝ ８１
＜２番＞
平均が５５５なので、２４個の数の合計は、５５５×２４＝１３３２０
百の位が１、３、□、９となる数は、３×２×１＝各６個ずつ。
１３３２０÷６＝２２２０＝２０００＋２００＋２０
よって、１＋３＋□＋９＝２０であるから、
７
＜３番＞
Ｐ君に関しては、３０分＋５分＝３５分を１セットとして考える。
つまり、Ｐ君は ３５分で２ｋｍ進む 。
Ｑの分速は、１２０００÷６０＝２００ｍ／分なので、
Ａを折り返すのは、１００００÷２００＝５０分後。
５０分後以降でＰが休憩を取り始めるのは、３５＋３０＝６５分後でその時点でのＰ、Ｑの位置は、
Ｐ君：２×２＝４→Ａから４ｋｍの地点。
Ｑ君：２００×（６５－５０）＝３０００ｍ＝３ｋｍ→Ａから３ｋｍの地点。
この時点でＰ君とＱ君は１ｋｍ＝１０００ｍ離れており、
これをＱ君は、１０００÷２００＝５分で進めるので、
Ｐ君が休憩し終わる ７０分後 ４ｋｍ の地点。
よって、１つめの□＝ ７０ ・２つめの□＝ ４
＜４番＞
算数・国語・理科の３教科の○・×の付け方は下の表の７通り。（全て×はいないので）
ここで、算数に○をつけた３５人のうち、算数だけ○が２人いるので、
Ａ＋Ｂ＋Ｃ＝３３人
また、算数に×・理科に○をつけた生徒はＤかＦなので、 Ｄ＋Ｆ＝４人 である。
よって、国語だけに○をつけた生徒、すなはちＥの人数は、
Ｅ＝４０－（Ａ＋Ｂ＋Ｃ＋Ｄ＋２＋Ｆ）＝４０－（３３＋２＋４）＝ １人
次に、○の数が１００個、×の数が２０個と分かっているので、
３教科に全て○をつけた人数を最も多くするには、 ３教科に○をした生徒以外の○の数を減らせばよい。
よって、Ｄ＋Ｆ＝４人であるから、Ｄ＝０、Ｆ＝４人とすればよい。
この時点での○の数は、１×２＋１×１＋１×４＝７個となり、残りは１００－７＝９３個。
ここからは、つるかめ算。
Ａ＋Ｂ＋Ｃ＝３３人で、Ａ＝３３人だとすると○の数は、３×３３＝９９個。
９９－９３＝６個多いので、６人をＢかＣに変えれば、○が６個減ってつじつまが合う。
ゆえに、３教科すべてに○をつけた生徒の人数は最も多くて、３３－６＝ ２７人 である。
１つめの□＝ １ 、２つめの□＝ ２７
＜５番＞
倍数判定法を用いる。
３６の倍数＝４の倍数であり、かつ９の倍数であるもの と考えられる。
４の倍数判定法＝下２ケタが００、もしくは４の倍数である。
９の倍数判定法＝各位の数の合計が９の倍数である。
まずは、各位の和を決める。
５ケタなので、 ２＋３＋５＋Ａ＋Ｂ＝（９の倍数） とならなければならない。
ここで２＋３＋５＝１０なので、上の式を満たすには、 Ａ＋Ｂ＝８ 。
このようなＡとＢの組み合わせ（順不同）は、
（Ａ、Ｂ）＝（１、７）・（２、６）・（３、５）、（４，４）
の４通りある。
問題では「最も小さいもの」とあるので、１の含まれている（１、７）を用いる。
よって、この５ケタの数は１、２、３、５、７の５つの数でできており、
あとは、 下２ケタを４の倍数にすること 、 上の位にできるだけ小さい数を用いること に注意する。
□＝ １３５７２
＜６番＞
２５で割った商、３５で割った商が同じになるものの範囲は、下の表のようになる。
商が７以上になると、共通する範囲がなくなる。（範囲がどんどんズレていくので）
よって、３ケタの整数のうち３５で割っても４０で割っても商が同じになるものの数は、
５＋２０＋１５＋１０＋５＝ ５５個 であり、
そのうち最も大きい整数は、商が６の時の ２４４ である。
１つめの□＝ ５５ 、２つめの□＝ ２４４
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時間が無くなってしまったので（これから塾のバイト）、７番～１３番については帰ってきてからということで。
間違ってる部分もあるかもしれないので、その点は悪しからず。（間違ってたら指摘してやって下さい…ｍ(_ _)ｍ）
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＜１番＞
計算問題。□＝ ８１
＜２番＞
平均が５５５なので、２４個の数の合計は、５５５×２４＝１３３２０
百の位が１、３、□、９となる数は、３×２×１＝各６個ずつ。
１３３２０÷６＝２２２０＝２０００＋２００＋２０
よって、１＋３＋□＋９＝２０であるから、
７
＜３番＞
Ｐ君に関しては、３０分＋５分＝３５分を１セットとして考える。
つまり、Ｐ君は ３５分で２ｋｍ進む 。
Ｑの分速は、１２０００÷６０＝２００ｍ／分なので、
Ａを折り返すのは、１００００÷２００＝５０分後。
５０分後以降でＰが休憩を取り始めるのは、３５＋３０＝６５分後でその時点でのＰ、Ｑの位置は、
Ｐ君：２×２＝４→Ａから４ｋｍの地点。
Ｑ君：２００×（６５－５０）＝３０００ｍ＝３ｋｍ→Ａから３ｋｍの地点。
この時点でＰ君とＱ君は１ｋｍ＝１０００ｍ離れており、
これをＱ君は、１０００÷２００＝５分で進めるので、
Ｐ君が休憩し終わる ７０分後 ４ｋｍ の地点。
よって、１つめの□＝ ７０ ・２つめの□＝ ４
＜４番＞
算数・国語・理科の３教科の○・×の付け方は下の表の７通り。（全て×はいないので）
| 算数 | ○ | ○ | ○ | × | ○ | × | × |
| 国語 | ○ | ○ | × | ○ | × | ○ | × |
| 理科 | ○ | × | ○ | ○ | × | × | ○ |
| 人数 | Ａ | Ｂ | Ｃ | Ｄ | ２ | Ｅ | Ｆ |
ここで、算数に○をつけた３５人のうち、算数だけ○が２人いるので、
Ａ＋Ｂ＋Ｃ＝３３人
また、算数に×・理科に○をつけた生徒はＤかＦなので、 Ｄ＋Ｆ＝４人 である。
よって、国語だけに○をつけた生徒、すなはちＥの人数は、
Ｅ＝４０－（Ａ＋Ｂ＋Ｃ＋Ｄ＋２＋Ｆ）＝４０－（３３＋２＋４）＝ １人
次に、○の数が１００個、×の数が２０個と分かっているので、
３教科に全て○をつけた人数を最も多くするには、 ３教科に○をした生徒以外の○の数を減らせばよい。
よって、Ｄ＋Ｆ＝４人であるから、Ｄ＝０、Ｆ＝４人とすればよい。
この時点での○の数は、１×２＋１×１＋１×４＝７個となり、残りは１００－７＝９３個。
ここからは、つるかめ算。
Ａ＋Ｂ＋Ｃ＝３３人で、Ａ＝３３人だとすると○の数は、３×３３＝９９個。
９９－９３＝６個多いので、６人をＢかＣに変えれば、○が６個減ってつじつまが合う。
ゆえに、３教科すべてに○をつけた生徒の人数は最も多くて、３３－６＝ ２７人 である。
１つめの□＝ １ 、２つめの□＝ ２７
＜５番＞
倍数判定法を用いる。
３６の倍数＝４の倍数であり、かつ９の倍数であるもの と考えられる。
４の倍数判定法＝下２ケタが００、もしくは４の倍数である。
９の倍数判定法＝各位の数の合計が９の倍数である。
まずは、各位の和を決める。
５ケタなので、 ２＋３＋５＋Ａ＋Ｂ＝（９の倍数） とならなければならない。
ここで２＋３＋５＝１０なので、上の式を満たすには、 Ａ＋Ｂ＝８ 。
このようなＡとＢの組み合わせ（順不同）は、
（Ａ、Ｂ）＝（１、７）・（２、６）・（３、５）、（４，４）
の４通りある。
問題では「最も小さいもの」とあるので、１の含まれている（１、７）を用いる。
よって、この５ケタの数は１、２、３、５、７の５つの数でできており、
あとは、 下２ケタを４の倍数にすること 、 上の位にできるだけ小さい数を用いること に注意する。
□＝ １３５７２
＜６番＞
２５で割った商、３５で割った商が同じになるものの範囲は、下の表のようになる。
| 商 | ２ | ３ | ４ | ５ | ６ | ７ |
| 割る数２５での範囲 | 100～104 | 105～139 | 140～174 | 175～209 | 210～244 | 245～279 |
| 割る数３５での範囲 | 100～119 | 120～159 | 160～199 | 200～239 | 240～279 | 280～359 |
| 共通する範囲 | 100～104 | 120～139 | 160～174 | 200～209 | 240～244 | 無し |
商が７以上になると、共通する範囲がなくなる。（範囲がどんどんズレていくので）
よって、３ケタの整数のうち３５で割っても４０で割っても商が同じになるものの数は、
５＋２０＋１５＋１０＋５＝ ５５個 であり、
そのうち最も大きい整数は、商が６の時の ２４４ である。
１つめの□＝ ５５ 、２つめの□＝ ２４４
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時間が無くなってしまったので（これから塾のバイト）、７番～１３番については帰ってきてからということで。
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