あれやこれや

昨日は、今年の灘中の算数１日目の６番までしかいけませんでした。（時間が無くて…）

今日は、続きの７番から最後までいきたいと思います。

ちなみに、問題は ここ から。

間違ってる部分もあるかもしれないので、その点は悪しからず。（間違ってたら指摘してやって下さい…ｍ(_ _)ｍ）

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＜７番＞

図を表現する方法がないので、言葉で説明するのは難しいのですが…

道順の問題 （→ こんなやつ ）の複雑にしたやつと言えばいいでしょうか。



・正方形部分で左側に戻る進み方、真下への進み方をしない。

以上２点を守れば、道順の問題と同じように最短距離でいけると思います。

で、

この手順でやってみると、最短距離は ４５ｃｍ 、最短コースは全部で ２５２通り となりました。


１つめの□＝ ４５ 、２つめの□＝ ２５２ （正直、この問題はあまり自信ない…）



＜８番＞

これは簡単。

△ＡＯＢ＝１０平方センチ、△ＢＯＣ＝２５平方センチ、であるから、

ＡＯ：ＯＣ＝１０：２５＝２：５ である。

ここで、△ＯＡＤと△ＯＣＢは相似であり、相似比は２：５（←ＡＯ：ＯＣ）

よって、 ＤＯ：ＯＢ＝２：５ である。

ゆえに、

△ＡＯＤ ４平方センチ

△ＣＯＤ ＝△ＢＯＣ×２／５＝２５×２／５＝ １０平方センチ

となり、

台形ＡＢＣＤの面積は、１０＋２５＋１０＋４＝ ４９平方センチ


□＝ ４９



＜９番＞

これは全部調べた方が早そう？

上面にある４つの頂点の和は順に（上の面が４になるように組み立てた場合の例）、

１＋６＋４＝ １１

６＋２＋４＝ １２

２＋３＋４＝ ９

３＋１＋４＝ ８

となり、

下面にある４つの頂点の和は順に、

１＋６＋５＝ １２

６＋２＋５＝ １３

２＋３＋５＝ １０

３＋１＋５＝ ９

以上より、和が最大のものは １３ 。（実際は１３が出た瞬間に調べるのやめてもいいけど）


□＝ １３



＜１０番＞

これも簡単。（言葉で表現するのは難しいけど…）

まず、

正六角形の１つの内角は、１８０－３６０÷６＝ １２０度

正七角形の１つの内角は、１８０－３６０÷７＝ ９００／７度

よって、

アの角度は、９００／７－１２０＝６０／７＝ ８・４／７度

次に、イの角度に関しては、ブーメラン型の五角形の内角の和５４０度から残り４つを引けばよい。

イ＝５４０－（９００／７×２＋６０／７＋２４０）＝ ３４・２／７度


１つめの□＝ ８・４／７ 、２つめの□＝ ３４・２／７ （分かりにくいですが、・のついてるのは帯分数です。）



＜１１番＞

これもやっぱり言葉で表現するのは難しい…

まずＡＥとＢＣの交点をＦとする。

ここで、△ＡＢＦと△ＡＣＤに関して、

△ＡＢＣは二等辺三角形であるから、 ∠ＡＢＦ＝∠ＡＣＤ（←１番） ・ ＡＢ＝ＡＣ（←２番）

また、△ＡＣＦと△ＥＢＦは相似で、相似比はＡＣ＝ＥＢ＝ １：３ 　　よって、 ＣＦ：ＦＢ＝１：３

点ＤはＢＣの四等分点であるから、 ＣＤ：ＤＢ＝３：１

以上より、ＢＦ＝３／(１＋３)×ＢＣ、ＣＤ＝３／(３＋１)×ＢＣとなり、 ＢＦ＝ＣＤ（←３番）


１番～３番より、２辺とその間の角度が等しいので △ＡＢＦと△ＡＣＤは合同である。

したがって、対応する辺の長さは等しく ＡＦ＝ＡＤ

ＡＤ＝ＡＦ＝１／(１＋３)×ＡＥ＝１／４×９＝９／４＝ ２・１／４


□＝ ２・１／４



＜１２番＞

これもまたまた図形問題なので、言葉で説明するとややこしくなるかも…

まず、Ｐ・Ｑから辺ＢＣに垂線を下ろして、交点をそれぞれＩ・Ｊとする。

ＢＰ、ＣＱは角の二等分線を利用すると、

△ＢＰＨと△ＢＰＩは合同で、△ＢＰＨにおいて、 ＰＨ：ＨＢ＝１：２

△ＣＱＫと△ＣＱＪは合同で、△ＣＱＫにおいて、 ＱＫ：ＫＣ＝１：３

ここで、△ＡＢＣの面積は、１８×２４÷２＝２１６平方センチであるから、

五角形ＡＨＰＱＫ以外の部分の面積が、２１６÷２＝ １０８平方センチ になればよい。


ＰＨ＝１cmのとき、

１×２÷２×２＋１×３÷２×２＋１×（３０－２－３）＝ ３０平方センチ
(△ＢＰＨ×２)　　(△ＣＱＫ×２)　　　(四角形ＰＩＪＱ)　


ＰＨ＝２cmのとき、

２×４÷２×２＋２×６÷２×２＋２×（３０－４－６）＝ ６０平方センチ
(△ＢＰＨ×２)　　(△ＣＱＫ×２)　　　(四角形ＰＩＪＱ)　


ＰＨ＝３cmのとき、

３×６÷２×２＋３×９÷２×２＋３×（３０－６－９）＝ ９０平方センチ
(△ＢＰＨ×２)　　(△ＣＱＫ×２)　　　(四角形ＰＩＪＱ)　


よって、

ＰＨ＝１×（１０８÷３０）＝ ３．６cm

ＰＱ＝３０－（３．６×２＋３．６×３）＝ １２cm


１つめの□＝ ３．６ 、２つめの□＝ １２ （他にいい解法ありそう…）



＜１３番＞

これは簡単。

真ん中の正方形は対角線の長さは、８－２×２＝ ４cm なので、面積が４×４÷２＝ ８平方センチ

三角すいのてっぺんの頂点、そこから底面に垂線を下ろしてできる交点、底面の正方形の頂点

の３点を結んでできる直角三角形は切り取った三角形を半分に分けたものと合同なので、

できあがった三角すいの高さは、８÷２＝ ４cm である。

よって、求める体積は、８×４×１／３＝３２／３＝ １０・２／３立方センチ


□＝ １０・２／３



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以上です。疲れた…

てか、これに需要があるのか分からんけれど…(－_－；)