2009.08.15
カテゴリ： 数学・数式会話
「数学談義・ボツ(?)になった105減算の話など」
メール本文を脚色します。
☆発 / rainbowmaskことひろちゃん。 宛 / 夕子殿こと夕子ちゃん
秋山仁氏が産経新聞に書いている『秋山仁のこんなところにも数学が』の第76回、「さりげなく相手の年齢を知る方法」が全くわかりません。
ウィキぺディアでも調べましたが、昔から和算の一つとして伝わる『105減算』とも言うらしいのです。
でも、ここを読んでも理解出来ません。
ネットを見るとつくづく世の中、頭のいい人がおおぜいいて、私なぞ高校数学の上っ面しかかじっていない鈍才ということを思い知らされます。
なお、わからない私が夕子殿に対して書くのも失礼と思いましたが、ヒントあるいは関連項目の一つとして、教科書にない単元の『剰余系』をチャート式のハイレベル版、俗に言う「赤チャート」で久しぶりに読んでみました。
それでも基本くらいしかわからず、結局「105減算」も相手の年齢を知る方法もわからずじまいでした。
コピーした幾つかの資料をメールでお送りします。☆
私はメールだけでも電話だけでも無理か困難と思い、まずメールに解説を書いて送ったあと、彼の都合を確かめて電話しました。
で、とりあえずその時送信した解説メールを脚色します。
☆発 / 夕子。 宛 / ひろちゃん
取り急ぎ解説をしたためました。失礼ながらこれだけでも理解困難かも知れませんので、追ってお電話します。☆
以下、私が書いた答案というか解説です。
☆問題文ではなく問題の文 / 相手に対し、その年齢を3 、5 、7 でそれぞれ割り算したうちの余りだけを言ってもらう。余りがそれぞれa 、b 、c であったとする場合、aを70倍、bを21倍、cを15倍し、70a＋21b＋15cと計算する。以下、この式を「y」とおく。
y＝70a＋21b＋15cの式から105を引いてゆき、この数字が105より小さくなった時、その数字が相手の年齢である。
【105減算の解法】
「剰余系」に関する重要公式をまず書いておきます。
a≡a´, b≡b´ならば
a＋b≡a´＋b´, a－b≡a´－b´, ab≡a´b´
あらゆる整数の最も明瞭な分類は、例えばある数を「5」で割り算した余りつまり剰余で分けることです。一例として、ある整数を5で割った余りは「0,1,2,3,4」のいずれかなので、整数はわずか５種類に分類出来ます。
また、もちろん図形の証明で使う「≡」記号は、ここでは剰余系を考える時の記号の意味です。例えば、5を3で割った余りについて剰余系の表現を使うと、
「5≡2(3)」と表わされます。さらに2数a, bについて、3で割った余りが等しい、つまり同じ剰余類に属する場合にも、a≡b(3)などと表わされます。
それでは以下、私が作成した解法・解説をほぼ箇条書きにします。
【相手の年齢、つまり求める数をxとおく。ａ, b, cは求める数xをそれぞれ3, 5, 7で割り算した余り。
y＝70a＋21b＋15c
x≡b(5)
x≡c(7)
3を法として
70≡1, 21≡0, 15≡0・・・(1)
5を法として
70≡0, 21≡1, 15≡0・・・(2)
7を法として
70≡0, 21≡0, 15≡1・・・(3)
y＝70a＋21b＋15c をみながら
(1) より3を法として、y≡70a≡a≡x
(2)より5を法として、y≡21b≡b≡x
(3)より7を法としてy≡15c≡c≡x
ｙとxは各法について、同じ剰余類なので、y－xは、3でも5でも7でも割り切れる数となる。つまり3と5と7の最小公倍数105で割り切れる。
ゆえに、y－xをせずに、yを105で割ってゆけば、xは余りとして求められる。】☆
次は電話の会話の脚色です。
村松「お前さん・・・凄いね。もうお世辞も何もなし、無条件」
夕子「あら、恐れ入ります」
村松「恐れ入ったのはこっちだよ」
夕子「どお、理解出来た ? 」
村松「理解出来ないから恐れ入ってるんだよ。そもそも未知数『x』を求める方程式も何も設定してないのに、どうしてxが求まるんだか・・・不思議だ」
夕子「あ、忘れないうちに言っとくけど、秋山仁さんの説明で、一部不正確なところがあったわ。求める年齢、ここではあたしの使った未知数xで言うけどね、秋山さんはxを0＜x＜105って設定してなくて、『105以下』って書いてあったわ。仮にピタリ105歳のお年寄りの年齢を当てようとすると、0×70＋0×21＋0×15＝0で『0歳児』になっちゃうからね。でも、ユーモアのある人だったら、『あたしゃ、まだ生まれたての赤ちゃんかい。人生まだこれからだね』なんて楽しそうに返すかもね。あはは」
村松「何んにも面白かねえや。・・・ああぁ、もう俺ダメだ」
夕子「あなたね、ちょっと待ちなさい ! 」
村松「何んだよ。気落ちしてる者に向かって、今度は威嚇かよ。踏んだり蹴ったりだなぁ」
夕子「このブログは本来『恐竜境』構想用だったでしょ ? 」
村松「カテゴリーに数学関連のも入ってるよ」
夕子「それは原則としてあなたと話題が共通した時のことでしょ。それに、あなたが旧制三高の幾何学の問題を解けた話なんかは、別に恩を売るつもりはないけど、あなたの数学力を称えるつもりで書いたんだったのよ。あたしの手柄話なんて、まっぴらよ」
村松「・・・ん ? あれ、105って3と5と7の最小公倍数か」
夕子「(メールで説明してあるのに忘れているようですが)・・・そうよ。それもヒントよ」
村松「でも何んで合同式三つなんだろ」
夕子「面倒なことは抜きにするけど、自由度を減らすためよ。何しろ方程式じゃないんだから」
村松「ん ? 自由度を減らして方程式じゃない ? 」
夕子「文が破綻してるわよ。ねえ、これ、先月７月の終わりからずっと考えてたでしょ。しかもプテラノドン作って、新しい合成画面作ったりするあいだに。あんまり無理しちゃダメよ。第一、精神衛生に良くないわよ。きょうの午後(14日の金曜日)、久しぶりにめまいが出たんでしょ ? 景色が回るつらいのが」
村松「あ、そうだ。お袋が通所の日でさ、朝から寝てて、午後目が覚めたんで、その日の夕食のおかずなんか買いに行こうとしたら、天井が回ってんの」
夕子「でも結局・・・買い物に行けたんでしょ ? 偉いね。でも、どうやって起きたの ? 」
村松「メリスロン(めまいの薬)は２錠飲んだけど。すぐには効かないというか、俺には薬は余り即効はないね。で、例の荒療治」
夕子「うわ凄い。またあれ ! 」
村松「俺のは多分に神経から来てるしね。本物の凄いのじゃなくて、擬似メニエール氏症候群だと思う」
夕子「でもやり方が何んて言うか豪快で凄いわよ。眼を、って言うか、視線を、景色が回転するのと反対方向に回し続けるんでしょ」
村松「うん。午後２時半ごろ目が覚めた時からかな。この方法で何んとかめまいの回転が治まったのは今回で三度目」
夕子「買い物に出かけたのは何時ごろ ? 」
村松「三時ごろ。一度ベッドで何んとか景色が回らなくなって、それで起きて着替えしようとしたら、まだふらつくんで、教室でまた仰向けになったら、景色が回り出したの。そこで再び荒療治の視線逆移動やって、何んとか治まったから、急いで着替えてスクーターで買い物して来たよ」
夕子「凄い ! メリスロンが効き始める時間より早いね。お母さんのことへの責任感がめまいをとめたって気がする。昔より責任感も強くなったわね」
105減算のことを、まさかそう簡単に忘れてはいないと思ってましたが、果たして。
村松「あのさ、話の続きだけどさ、必ず105じゃなきゃダメなの ? 」
夕子「やっぱり気になってたか。うん、じゃあさ、さっきの赤チャートの・・・あ、ちょっと待ってね」
村松「あ、トイレなら我慢しないで行っといで」
夕子「バカ ! 赤チャート取りに行くの ! 」
村松「気のせいか、『バカチャート』って聞こえた」
・・・・・
夕子「持って来たよ。あのね、あ、そうだ。言いたくはないけど、これ勧めて『剰余系』に興味持たせてくれたの、あなただったのよ。えーとね、p254の試練370の問題さがしてみて。それとももう読んだかしら」
村松「まだだよ。えーと、あった。あ。これだと・・・385減算だ」
夕子「ね。しかも、それぞれ掛け算する倍率も、231, 330, 210で、ケタ違いでしょ。割り算も5, 7, 11で割ってるでしょ。この三つの最小公倍数が385。言わば385減算ね」
村松「よし、早速チャレンジしてみよっと」
夕子「ところで肝心の『恐竜境』だけどさ、プテラノドンはどこまで進んでるの ? 」
村松「骨格ほとんどに包帯巻いて、液体ゴム少し塗ったとこまで。自分で言うのも変だけど、骨格の包帯あちこち巻いたら、もうこれだけで全身像が浮かんで来たよ。もちろんヘタだけど。あとは、三本指の前足取り付けて、胴体と両手足に液体ゴム塗ったら、いよいよレザーの翼をかぶせてみる」
夕子「そっちのほうが楽しみよ。お世話になっているかたへ新しい画像送ったら、あたしにも見せてね」
村松「了解。あ、ところで思いついたんだけどさ、385減算使うと、384歳までのお年寄りの年齢当てられ・・・そんな人間存在しないか、ははは。あ、それから生まれたての赤ちゃん、つまり0歳児にも、このやり方は通じない、に決まってるね」
夕子「0歳は除くの。正確には正の整数、自然数よ。最後にあなたの年齢を3, 5, 7で割った余りを使っておしまいにしようか」
村松「よし来た。あれ ! 」
夕子「何よ」
村松「うっかり電卓でやっちゃった」
夕子「あら、ダメじゃないわよ。端数切捨てて計算すれば、ホワイトボード使うより楽よ」
村松「あ、なるほど。じゃ、3を法として2、5を法として1、7を法として、あそうか、こりゃ割り切れた、0だ」
夕子「ね。じゃ続きを受けさせて。2×70＋1×21＋0×15＝161で、161－105で56。出たわね」
村松「それでは最後にお前さんのを」
夕子「やめなさいよ」
村松「ここは耐えられたし。えーと1, 1, 2で、・・・」
夕子「ええ ! ? 数字が違うわよ」
村松「いいの。1×70＋1×21＋2×15で、121・・・と。121－105で16。出た」
夕子「何それ」
村松「出会った時のお前さんのけがれを知らない初々しい頃の年齢」
夕子「今はけがれて初々しくなくて悪うございました」
メール本文を脚色します。
☆発 / rainbowmaskことひろちゃん。 宛 / 夕子殿こと夕子ちゃん
秋山仁氏が産経新聞に書いている『秋山仁のこんなところにも数学が』の第76回、「さりげなく相手の年齢を知る方法」が全くわかりません。
ウィキぺディアでも調べましたが、昔から和算の一つとして伝わる『105減算』とも言うらしいのです。
でも、ここを読んでも理解出来ません。
ネットを見るとつくづく世の中、頭のいい人がおおぜいいて、私なぞ高校数学の上っ面しかかじっていない鈍才ということを思い知らされます。
なお、わからない私が夕子殿に対して書くのも失礼と思いましたが、ヒントあるいは関連項目の一つとして、教科書にない単元の『剰余系』をチャート式のハイレベル版、俗に言う「赤チャート」で久しぶりに読んでみました。
それでも基本くらいしかわからず、結局「105減算」も相手の年齢を知る方法もわからずじまいでした。
コピーした幾つかの資料をメールでお送りします。☆
私はメールだけでも電話だけでも無理か困難と思い、まずメールに解説を書いて送ったあと、彼の都合を確かめて電話しました。
で、とりあえずその時送信した解説メールを脚色します。
☆発 / 夕子。 宛 / ひろちゃん
取り急ぎ解説をしたためました。失礼ながらこれだけでも理解困難かも知れませんので、追ってお電話します。☆
以下、私が書いた答案というか解説です。
☆問題文ではなく問題の文 / 相手に対し、その年齢を3 、5 、7 でそれぞれ割り算したうちの余りだけを言ってもらう。余りがそれぞれa 、b 、c であったとする場合、aを70倍、bを21倍、cを15倍し、70a＋21b＋15cと計算する。以下、この式を「y」とおく。
y＝70a＋21b＋15cの式から105を引いてゆき、この数字が105より小さくなった時、その数字が相手の年齢である。
【105減算の解法】
「剰余系」に関する重要公式をまず書いておきます。
a≡a´, b≡b´ならば
a＋b≡a´＋b´, a－b≡a´－b´, ab≡a´b´
あらゆる整数の最も明瞭な分類は、例えばある数を「5」で割り算した余りつまり剰余で分けることです。一例として、ある整数を5で割った余りは「0,1,2,3,4」のいずれかなので、整数はわずか５種類に分類出来ます。
また、もちろん図形の証明で使う「≡」記号は、ここでは剰余系を考える時の記号の意味です。例えば、5を3で割った余りについて剰余系の表現を使うと、
「5≡2(3)」と表わされます。さらに2数a, bについて、3で割った余りが等しい、つまり同じ剰余類に属する場合にも、a≡b(3)などと表わされます。
それでは以下、私が作成した解法・解説をほぼ箇条書きにします。
【相手の年齢、つまり求める数をxとおく。ａ, b, cは求める数xをそれぞれ3, 5, 7で割り算した余り。
y＝70a＋21b＋15c
x≡b(5)
x≡c(7)
3を法として
70≡1, 21≡0, 15≡0・・・(1)
5を法として
70≡0, 21≡1, 15≡0・・・(2)
7を法として
70≡0, 21≡0, 15≡1・・・(3)
y＝70a＋21b＋15c をみながら
(1) より3を法として、y≡70a≡a≡x
(2)より5を法として、y≡21b≡b≡x
(3)より7を法としてy≡15c≡c≡x
ｙとxは各法について、同じ剰余類なので、y－xは、3でも5でも7でも割り切れる数となる。つまり3と5と7の最小公倍数105で割り切れる。
ゆえに、y－xをせずに、yを105で割ってゆけば、xは余りとして求められる。】☆
次は電話の会話の脚色です。
村松「お前さん・・・凄いね。もうお世辞も何もなし、無条件」
夕子「あら、恐れ入ります」
村松「恐れ入ったのはこっちだよ」
夕子「どお、理解出来た ? 」
村松「理解出来ないから恐れ入ってるんだよ。そもそも未知数『x』を求める方程式も何も設定してないのに、どうしてxが求まるんだか・・・不思議だ」
夕子「あ、忘れないうちに言っとくけど、秋山仁さんの説明で、一部不正確なところがあったわ。求める年齢、ここではあたしの使った未知数xで言うけどね、秋山さんはxを0＜x＜105って設定してなくて、『105以下』って書いてあったわ。仮にピタリ105歳のお年寄りの年齢を当てようとすると、0×70＋0×21＋0×15＝0で『0歳児』になっちゃうからね。でも、ユーモアのある人だったら、『あたしゃ、まだ生まれたての赤ちゃんかい。人生まだこれからだね』なんて楽しそうに返すかもね。あはは」
村松「何んにも面白かねえや。・・・ああぁ、もう俺ダメだ」
夕子「あなたね、ちょっと待ちなさい ! 」
村松「何んだよ。気落ちしてる者に向かって、今度は威嚇かよ。踏んだり蹴ったりだなぁ」
夕子「このブログは本来『恐竜境』構想用だったでしょ ? 」
村松「カテゴリーに数学関連のも入ってるよ」
夕子「それは原則としてあなたと話題が共通した時のことでしょ。それに、あなたが旧制三高の幾何学の問題を解けた話なんかは、別に恩を売るつもりはないけど、あなたの数学力を称えるつもりで書いたんだったのよ。あたしの手柄話なんて、まっぴらよ」
村松「・・・ん ? あれ、105って3と5と7の最小公倍数か」
夕子「(メールで説明してあるのに忘れているようですが)・・・そうよ。それもヒントよ」
村松「でも何んで合同式三つなんだろ」
夕子「面倒なことは抜きにするけど、自由度を減らすためよ。何しろ方程式じゃないんだから」
村松「ん ? 自由度を減らして方程式じゃない ? 」
夕子「文が破綻してるわよ。ねえ、これ、先月７月の終わりからずっと考えてたでしょ。しかもプテラノドン作って、新しい合成画面作ったりするあいだに。あんまり無理しちゃダメよ。第一、精神衛生に良くないわよ。きょうの午後(14日の金曜日)、久しぶりにめまいが出たんでしょ ? 景色が回るつらいのが」
村松「あ、そうだ。お袋が通所の日でさ、朝から寝てて、午後目が覚めたんで、その日の夕食のおかずなんか買いに行こうとしたら、天井が回ってんの」
夕子「でも結局・・・買い物に行けたんでしょ ? 偉いね。でも、どうやって起きたの ? 」
村松「メリスロン(めまいの薬)は２錠飲んだけど。すぐには効かないというか、俺には薬は余り即効はないね。で、例の荒療治」
夕子「うわ凄い。またあれ ! 」
村松「俺のは多分に神経から来てるしね。本物の凄いのじゃなくて、擬似メニエール氏症候群だと思う」
夕子「でもやり方が何んて言うか豪快で凄いわよ。眼を、って言うか、視線を、景色が回転するのと反対方向に回し続けるんでしょ」
村松「うん。午後２時半ごろ目が覚めた時からかな。この方法で何んとかめまいの回転が治まったのは今回で三度目」
夕子「買い物に出かけたのは何時ごろ ? 」
村松「三時ごろ。一度ベッドで何んとか景色が回らなくなって、それで起きて着替えしようとしたら、まだふらつくんで、教室でまた仰向けになったら、景色が回り出したの。そこで再び荒療治の視線逆移動やって、何んとか治まったから、急いで着替えてスクーターで買い物して来たよ」
夕子「凄い ! メリスロンが効き始める時間より早いね。お母さんのことへの責任感がめまいをとめたって気がする。昔より責任感も強くなったわね」
105減算のことを、まさかそう簡単に忘れてはいないと思ってましたが、果たして。
村松「あのさ、話の続きだけどさ、必ず105じゃなきゃダメなの ? 」
夕子「やっぱり気になってたか。うん、じゃあさ、さっきの赤チャートの・・・あ、ちょっと待ってね」
村松「あ、トイレなら我慢しないで行っといで」
夕子「バカ ! 赤チャート取りに行くの ! 」
村松「気のせいか、『バカチャート』って聞こえた」
・・・・・
夕子「持って来たよ。あのね、あ、そうだ。言いたくはないけど、これ勧めて『剰余系』に興味持たせてくれたの、あなただったのよ。えーとね、p254の試練370の問題さがしてみて。それとももう読んだかしら」
村松「まだだよ。えーと、あった。あ。これだと・・・385減算だ」
夕子「ね。しかも、それぞれ掛け算する倍率も、231, 330, 210で、ケタ違いでしょ。割り算も5, 7, 11で割ってるでしょ。この三つの最小公倍数が385。言わば385減算ね」
村松「よし、早速チャレンジしてみよっと」
夕子「ところで肝心の『恐竜境』だけどさ、プテラノドンはどこまで進んでるの ? 」
村松「骨格ほとんどに包帯巻いて、液体ゴム少し塗ったとこまで。自分で言うのも変だけど、骨格の包帯あちこち巻いたら、もうこれだけで全身像が浮かんで来たよ。もちろんヘタだけど。あとは、三本指の前足取り付けて、胴体と両手足に液体ゴム塗ったら、いよいよレザーの翼をかぶせてみる」
夕子「そっちのほうが楽しみよ。お世話になっているかたへ新しい画像送ったら、あたしにも見せてね」
村松「了解。あ、ところで思いついたんだけどさ、385減算使うと、384歳までのお年寄りの年齢当てられ・・・そんな人間存在しないか、ははは。あ、それから生まれたての赤ちゃん、つまり0歳児にも、このやり方は通じない、に決まってるね」
夕子「0歳は除くの。正確には正の整数、自然数よ。最後にあなたの年齢を3, 5, 7で割った余りを使っておしまいにしようか」
村松「よし来た。あれ ! 」
夕子「何よ」
村松「うっかり電卓でやっちゃった」
夕子「あら、ダメじゃないわよ。端数切捨てて計算すれば、ホワイトボード使うより楽よ」
村松「あ、なるほど。じゃ、3を法として2、5を法として1、7を法として、あそうか、こりゃ割り切れた、0だ」
夕子「ね。じゃ続きを受けさせて。2×70＋1×21＋0×15＝161で、161－105で56。出たわね」
村松「それでは最後にお前さんのを」
夕子「やめなさいよ」
村松「ここは耐えられたし。えーと1, 1, 2で、・・・」
夕子「ええ ! ? 数字が違うわよ」
村松「いいの。1×70＋1×21＋2×15で、121・・・と。121－105で16。出た」
夕子「何それ」
村松「出会った時のお前さんのけがれを知らない初々しい頃の年齢」
夕子「今はけがれて初々しくなくて悪うございました」
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