本を読めば『道は開ける』

5.k乗和並び替え未解決問題（問題付き）

４は２×２＝４、９は３×３＝９というように、同じ数を掛け合わせて
作られる数を平方数といいます。

つまり、４や９は平方数なわけです（１６や２５も同様に平方数です）。

では、ここで問題です。

１～１５までの数を、隣どうしの和をとると平方数になるように
うまく並び換えてみてください。

例　３，６，１０，１３　を、隣同士の和が平方数になるように並び替えると

１０，６，３，１３　となります。
（１３，３，６，１０でもオーケー）

１０＋６＝１６（＝４×４）、６＋３＝９（＝３×３）、３＋１３＝１６（＝４×４）

できた方は、ぜひ掲示板に解答を書いてくださいね。

＊＊＊＊＊＊＊＊＊＊

昨年の忘年会の席で知り合いから聞いた話。

＜知り合い＞
「自然数列｛１，２，・・・Ｎ｝をうまく並び替えることで、隣同士の和を
　平方数にすることができる Nがあるか？　という問題知っています」

＜私＞　
「知らないけれど」

＜知り合い＞　
「Ｎ＝１５なんですよ。これは比較的簡単な問題で、アメリカの○○という人は一瞬にして解いたということです」

＜私＞
「いろいろな問題を考える人がいるねえ」

＜知り合い＞
「では、隣同士の和が立方数になるように｛１、２，・・・N｝を並び替えることができる整数 N は存在するか？　

という問題が考えらますよね。それでこの問題をあるセミナーの席で提出されたときに、××先生が『そんな N はあるもんか！』

と言ったんで、『そんなことを言うのなら俺が見つけてやる！』と思って、
プログラムを書いて調べてみたんです。そうしたらあったんですね、

それを満たす Nが」

ちなみに、そのNは N=３０４だそうです(確か)。
その結果は数学ではなく情報処理系の論文に発表したとか。

＜知り合い＞　
「では一般に、うまく並び替えることで隣同士の和が、ある数の K乗（K>3）
　となるような自然数列｛１，２，・・・N(k)｝は存在するか？　という問題は未解決なので解ければ論文になりますよ。千京さんにこの問題あげますよ」

＜私＞　　　
「いりません(できません)」

でもどうやって一般の場合を証明すればいいのだろう？

知り合いは、十分大きな Nを考えれば肯定的に解けると予想していたが。
（私は反例となる kがあると予想。根拠無し）

人が誰もやっていないことを考えて、それが解ければ論文になる、
という見本ですね。

「変なことを考える人がいるもんだ」と関心してしまった。

わかりやすい問題なのでひょっとしたら何かに応用できるのかも
しれませんね。暗号とかに無理だろうか。

Open Problem だそうですから、誰かトライしてみてはいかがでしょうか。

ジャンル別一覧