【中学受験】算数の解法テクニック♪

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中学受験算数■逆比の基本の続き

テーマ：中学受験のお母さん集まれ(6269)

カテゴリ：中学受験算数

３：２なのか２：３なのかそれが問題だ。

さて、前回の「逆比の基本」の続きです。

　　　 ≪問題≫

Ａの２倍とＢの３倍が等しいとき、Ａ：Ｂは？

※mazuha jibun de kangae te kudasai！

正答Ａ：Ｂ＝３：２

前号で示した解法は次の通りでした。

■解法その１　
文中の２倍と３倍の２と３を左右ひっくり返して３：２とする。

■解法その２
等しい数を２と３の最小公倍数「６」とおくやり方

■解法その３・４
等しい数を「１」とおくやり方

■解法その５
２の逆数１/２、３の逆数１/３から考える。

以上５つの解法のうち、僕が授業で一番最初に
解説する方法はどれでしょう？
また、それはどのような理由によるでしょうか？

これを真剣に考えてもらうと、
「逆比」の面白さと同時に注意すべき点が
浮かび上がると思います。

という読者のみなさんへの質問で
終わっていたのですが、
答は、「特に決まった解説はしない」です。笑

というか、集団授業なのか、個別指導なのか
またそれ以前の単元の理解度が高いのか低いのか
数式派なのか図でイメージするタイプなのか
によってその場その場で変わってきます。

例えば、
「Ａの２倍とＢの３倍が等しいとき、Ａ：Ｂは？」
に対して
あくまでも「Ａ：Ｂ＝２：３になる！」と
言い張る子もいますし(笑)、
直感的瞬間的に「３：２」だと言える子もいますし。

そりゃそうだろう、それを踏まえた上でどの解法か？
と聞いたんだろう？という声が聞こえてきそうなので(笑)、
いくつかあるうちの流れをひとつ書きます。

■線分図を使って生徒に自力で比を求めさせる流れ

１．何々と何々が「等しい」という表現に注目させる。

２．２つの等しい数量を２本の同じ長さの線分図で示す。

　　子どもにも書かせる。

３．線分がＡの２倍、Ｂの３倍であることを確認する。

４．２倍という表現から、Ａは線分を2等分したもの、
　　３倍という表現から、Ｂは線分を３等分したもの、
　　と確認する。

５．とりあえずＡとＢのどちらが大きいか確認。
　　※ＡがＢより大きい

６．さあ、ここで、ＡとＢの大きさのバランス(比)を
　　求めることにチャレンジ！

　　　　読者の方もこの「２本の線分図」を
　　　　実際に紙に書いてみてください。

すると、いろんなことが見えてくるはずです。

Ａ┣━━━━━┿━━━━━┫

Ｂ┣━━━┿━━━┿━━━┫

実際に書くとわかると思うんですが
実は、この図を「白紙」に書くとＡとＢの大きさのバランスが
結構見えづらいんです。笑

当然子どもも悩みます。

で、ここからが勝負なわけです。

当然、子どもたちはいろいろと工夫し始めます。

そして、だいたい方眼紙ノートを使ってる子とか
が「解決」してヒーローになったりします。笑

それは、方眼紙、つまり、１ｃｍ刻みの目盛りがある、
という優位性によります。笑

白紙だとわかりにくかったＡＢの大小バランスが、
方眼紙だと、最初から線分の長さを「６」と設定することで、
あっさり、３：２と「見える」からです。

「６」の設定は、２倍、３倍という表現から、
最初に線分を書く段階で２と３の両方で割り切れる数として
自然と「６」を思いつくからです。

（思いつく、というより、書くという「作業」を
通じて、自然と「そう書いてしまう」といった方が
いいかもしれません。）

　　　　　　　ここで発表。

　　　　　　●方眼紙の生徒
「線分を６とすると～、Ａは６÷２で３、
Ｂは６÷３で２なので、Ａ：Ｂ＝３：２で～す。」

これにて終了、と思ったら、
ひねた君から横槍が入ります。

　　　　　　●ひねた君
「全体を６と勝手に決めたりするのはダメだと思います。
全体が６じゃなかったら違うんじゃないですか～？」

と、教室が騒然となったところで(笑)、

「では、全体をいろいろと変えてやってみよう！」

ここで再び「作業」に熱中しはじめます。
すると、すぐに、１２とか２４とか３０とかの数字を、
「カンのいい子たち」が次々と競って発表します。

優秀君-1「１２のときも、
１２÷２＝６、１２÷３＝４、６：３は簡単にすると
３：２になります。」

優秀君-2「２４のときも、２４÷２＝１２、２４÷３＝８で、
１２：８は簡単にすると３：２になります。」

優秀君3「１８のときも、３０のときも・・・」

どれもこれも
ちゃあんとＡ：Ｂ＝３：２になることを確認。
そして、それは、12,18,24,30・・・という数字、
すなわち、
「２と３の公倍数（6の倍数）」であることを確認。

数字をいくら大きくしても、いつでもＡ：Ｂは３：２に
なることにクラスみんなが感動の嵐・・・

という雰囲気のときに、今度はコツコツ君が、
小さい声で、

　　　　　　　　　●コツコツ君
　　「僕は全体を１０にしてやってるんだけど、
　　　うまくいきません」

ゲ～！「１０÷２＝５」だけど、
「１０÷３」って・・・・すごくいやな感じ・・・

ということで、１０でもやっぱりＡ：Ｂは３：２に
なるんだろうか？？？？

疑心暗鬼。

ここで、「分数比」でも「小数比」でもあっという間に
簡単な「整数比」になおすことができるコワザ君登場。

黒板でやってもらいます。

　　　　　　　　　●コワザ君
「まず、１０÷２＝５、１０÷３＝１０/３」
「５：１０/３は整数と分数の比になっているので～」
「５を分数にするために、５に分母３をつけて～」
「え～と、１５/３：１０/３は、１５：１０」
「これを５で割って簡単にすると、あっ、３：２だぁ」

と、黒板を見ていたみんなが、ここで、
「ああ、どんな数字に設定しても
Ａ：Ｂ＝３：２の関係は変わらないんだぁ。」
と納得納得。

最後に、
「全体はどんな数字でもいいことはわかったけど、
一番基本の数「１」でもやってみよう」

ということで、

１÷２＝１/２
１÷３＝１/３

１/２：１/３＝３/６：２/６＝「３：２」

「おお～っ！（再び感動）」

ここで、
ところで、１/２って「２の逆数」だね。
１/３って「３の逆数」だね。

つまり、

■Ａの２倍とＢの３倍が等しいとき、Ａ：Ｂは？

という「設問の形」があったら、Ａ：Ｂは
２と３の「逆数の比」になるんだ。
もちろん、それを整数比になおしたのが答だよ。
そして、これを「逆比」というんだ。

そして、最後の最後にこんな締めの言葉で終了します。

「全体を１とおいて逆数をとって整数になおす過程で、
１/２：１/３＝３/６：２/６＝「３：２」
というように分母を６で通分するよね。」

「これは２と３の「最小公倍数６」だから、
全体を１ではなくて、最初から「最小公倍数６」に
してやると、途中で分数がでてこないんだ。」

「どっちみち最小公倍数６を見つけるんだったら
最初から全体を６とする方が楽なようにも
思うけど、あとはみんなの好みの問題だよ。」

「もちろん、どんな数字に設定しても答は
同じになるけど、あとあとのことを考えて(笑)、
１か最小公倍数のどちらかに設定して解くと
決めておこう」

「それと、左右の数字をひっくり返せば
それが、結果として、逆比になるってこともね。」
　　　　～～～～～

まあ、だいたいざっとこんな感じです。
が、もちろん、実際の授業では、そのときのクラスの
ムードによって段取りはいろいろと大胆に変化します。

極端なことを言えば、授業のはじめにいきなり、

「何とかの何倍と何とかの何倍が等しいときは
逆比になるんだ、覚えとけ～！

とかいうのもありかもしれません。
（いまだそのパターンはやったことありませんが。笑）

それと、上記の流れはあくまでも流れであって、
実際には、もっともっと子どもたちに身近な具体的な
数字の世界から導入を図ります。

間違っても、本当に、

「Ａの２倍とＢの３倍が等しいとき、Ａ：Ｂは？」

という板書からはじめることはないです。笑
（小学生の場合）

では、次回も引き続き実際の授業導入の具体的な例を
さらに臨場感たっぷりに(笑)お伝えしたいと思います。

※次回続く・・・

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