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September 2, 2023
カテゴリ： ばーばの数学ノート
小学校の算数「図形」から高等学校の数学まででおなじみの、古典的なユークリッド幾何学の大前提になる「公準」を見てみます。「ユークリッド幾何学」は、エウクレイデスの『原論』に基づく幾何学の体系です。
どれも当たり前のことですが、この前提が崩れると、定理が導けません。
この中の公準５は込み入っていてもう少し単純な表現にならないのか、あるいは定理とする内容ではないかと、長年数学者たちに検討されてきました。その結果、公準5が成り立たない幾何学の体系が考え出されました。それらが非ユークリッド幾何学と呼ばれるものです。
ユークリッド幾何学の全てが古く、学ばなくてよくなったかというと全くそんなことはなく、高等学校の幾何学までは、幾何学といえばユークリッド幾何学です。
背理法による公準5の証明です。背理法は、初めに「○○ではない」と仮定し、最後にその仮定と反する結果になることから、初めに立てた仮定が誤りであって「○○である」ことが証明された、とする方法です。
ここでは、「平行線の同位角が等しくない（どちらかが大きい）」と仮定し、どちらが大きくても平行線ではなくなることを示します。これは「平行線の」の仮定と矛盾するので、「平行線の同位角が等しくない」と仮定したことが誤り、即ち「平行線の同位角は等しい」ことが証明されました。
プレイフェアの公理は、公準５の置き換えです。こちらの方がすっきりしていますね。ある点を通って、ある直線に平行な直線は1本しか引けないことが認められると、ある点を通ってある直線に平行な補助線が引けるようになります。補助線は証明に不可欠です。
「三角形の内角の和は180°である」という有名な定理も、平行線の同位角、錯角が等しいことから証明できます。平行線の錯覚が等しいことは、平行線の同位角と、一般に対頂角が等しいことから導かれます。
三角形にはいろいろな性質があります。次に見ていきたいと思います。
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