Tough Boy-World of cap_hiro（Subtitle：sense of wonder）

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2023年09月05日

ルドルフ・ジョセフ・ローレンツ・シュタイナー

カテゴリ：霊魂論

「四次元/Die Vierte Dimension」数学と現実
第二部　質疑応答　ドルナッハ　１９２１年４月７日前半：無限と無際限の概念
◎質問：空間の三つの次元はその構造において異なるといわれていますが、どこにその違いはあるのでしょうか。
答弁：この質問は「空間の三つの次元はその構造において異なる」というような形で定式化されたことはありません。あなたが言及しているのは恐らく次のような考えについてでしょう。
　第一に、数学的な空間がありますが、何れにしても、何らかの正確さをもってそれを本当に想像するならばですが、私たちはそれを、三つの直交する軸上の座標軸系によって規定される三つの直交する次元あるいは方向から成っているものとして想像します。私たちが通常の数学的な観点からこの空間について考察するときには、これら三つの次元をそれらがあたかも正確に同じものであるかのように扱います。私たちは、上下、左右、前後という次元の間の違いをほとんど問題にせず、それらはお互いに交換することができるとさえ信じています。単に数学的な空間の意味では、ｘ軸とｚ軸がつくる平面、それらもまたお互いに直交していますのに直角のｙ軸上の平面が「水平」であるといっても、「垂直」であるといっても、結局のところ違いはありません。私たちは、この型の空間が境界づけられているかどうかにも同様に関心を払いませんが、そのことは、私たちが通常はそれを際限がないものとして想像するところにまでは到達しないということを意味してはいません。私たちは単にその限界を気にしないだけです。私たちは、例えばｘ軸上のどの点からでも、終点に至ることなく、どこまでもその軸上を動き続けることができると想像しているのです。１９世紀を通して、総合幾何学はこのユークリッドの空間概念に対立する多くの考えを提示してきました。例えば、少し思い出して頂きたいのですが、リーマンは空間に際限がないということと空間が無限であるといいうこととを区別していました。純粋に概念的な指向の観点からも、際限がないことと無限であることが同一であると仮定する必要はありません。結局のところ、皆さんが以前に描いた図を分割することはもちろん可能ですが、皆さんが球の表面に留まる限り、皆さんを立ち止まらせるように強いる境界に行き着くことは決してできません。ですから、球の表面は、皆さんの描画能力に関して言えば、際限がないと言うことができます。けれども、このことは、そのような表面が無限であると主張していることを意味していません。このように、純粋に概念的なレベルでは、私たちは際限がないことと無限であることとを区別することができるのです。
　ある数学的な条件下では、この区別はまた空間全体にまで拡張することができます。もし、私たちが、ｘ軸あるいはｙ軸に線分を付け加え続けることによってそれを延長していくことを決して妨げられないと想像するならば、この空間の特徴はその際限のなさを証明していますが、それが無限であることを証明しません。私が線分を際限なく付け加えていくことができるという事実は、必ずしも空間が無限であるということを意味していません。それは単に制限がないということかも知れないのです。私たちはこれら二つの概念を区別しなければなりません。もし、空間が、際限はないけれども無限ではないものであるならば、それは、ちょうど球面がそうであるように、本来曲がっていて、何らかの仕方で出発点に戻ってくるものであると仮定することができます。現代の総合幾何学におけるある種の考え方のいくつかはそのような仮定に基づいています。これらの仮定に異議を唱えるのは簡単ではありませんが、それは、空間に関する私たちの経験からは、それが無限であると結論づけることができないからです。それは曲がっているだけで、無限ではないとしても問題はないのです。もちろん、最近の総合幾何学のほとんどすべてを説明することなく、この一連の思考を結論にまで持って行くことは私にはできません。しかし、リーマン、ガウス、そして他の人々の論文は容易に手に入ります。そして、もし、あなたがこの種の数学的な考えに興味をお持ちであるならば、思考のための多くの材料をそれらは提供してくれるでしょう。これらは、ユークリッド幾何学の固定した中立的な空間概念に対する純粋に数学的な反論です。これまで私が触れてきた議論のすべては、純粋に、「制限がない」という概念に基づいています。けれども、あなたの質問は他のところにその根拠を持っています。つまり、その根拠とは、私たちの計算にかかる空間や分析幾何学において私たちが出会うような空間、例えば、私たちが三つの直交する座標軸上の配座システムを取り扱うときに出会うような空間とは何か抽象的なものであるという考えです。では、抽象的であるとはどういうことでしょうか。先ず、この質問に答えなければなりません。