2005年12月27日
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今回は、システムトレードの裏づけとなる確率論の定理について述べたいと思います。
システムトレードにおいて重要な確率論の定理は「大数の法則」と呼ばれるものです。
以下は、フリー百科事典「Wikipedia（ウイキペディア）」に記載されていた説明を抜粋したものです。
大数の法則
＊＊＊＊＊＊＊＊＊＊＊＊＊＊＊＊＊＊＊＊＊＊＊＊＊＊＊＊＊
大数の法則とは、ベルヌーイによって確立された、確率論・統計学における極限定理の一つで、「経験的確率と理論的確率が一致する」 という、素朴な意味での確率を意味付け、定義付ける法則である。
大数の法則とは、ある試行において事象が起きる確率（数学的確率、理論的確率などともいう）が p で、その試行を繰り返し行うときある回の試行が他の回の試行に影響を及ぼすことがない（独立試行）なら、その事象が起きる比率が試行回数を増やすにつれて近づく値（統計的確率あるいは経験的確率）は p である。
例えば、コイン投げ。すなわち、ゆがみも偏りもない理想的なコインを投げ表裏を当てるゲームを行うとする。（ただし、理想的なコインとはそれを投げるとき、表が出る確率も裏が出る確率もともに1/2である確率モデルに従うコインのことである。）
このとき、試行回数を限りなく増やせば、表が出る回数と裏が出る回数の比率はどちらも 1/2 に近づく。従い、試行回数を限りなく増やせば投げ方にむらがなくなってくるということであり、むらが限りなくなくなる法則と言い換えることができる。
＊＊＊＊＊＊＊＊＊＊＊＊＊＊＊＊＊＊＊＊＊＊＊＊＊＊＊＊＊
システムトレードは、「過去のバックテストで有効であることが確認できたルールに機械的に従い、十分なトレード数をこなすことで、統計的平均値への収束に賭けるトレード手法である」と説明されることが多いです。
しかし、上記のように定義された大数の法則を、現実のシステムトレードにおける優位性の理論的背景として採用するに当たっては、大きなギャップがあります。
そのギャップは、以下の２つです。
＊＊＊＊＊＊＊＊＊＊＊＊＊＊＊＊＊＊＊＊＊＊＊＊＊＊＊＊＊
１．理論的確率の存在
まず１つめですが、大数の法則が要求している「理論的確率」というものを、システムトレードにおいて事前的に知る術がないということです。
例えば、「サイコロで３以上の目が出たら賭けたお金が２倍になり、１か２の目が出たら賭けたお金が没収される」というものを考えたとき、このゲームに勝つ確率（理論的確率）は４／６であることが分かります。
しかし、システムトレードにおいてはそのような理論的確率を確認する術がないに等しく、せいぜい過去のバックテストの結果という、経験的確率しか分かりません。
すなわち、「将来の試行は、過去の経験的確率に収束するだろう」という、不完全な大数の法則に頼らざるを得ません。
２．無限という試行回数
もう一つネックになっているのが、大数の法則が厳密に成立するのは「無限という試行回数」があってのことだというものです。
すなわち、システムトレードが優位性の拠り所としている「統計的平均値への収束」については、無限回の試行がなされなければ成立しないということです。
現実のトレードにおいては資金量も時間も有限ですから、大数の法則が厳密に成立する世界に身をおくことは何人たりとも出来ないことになります。
したがって、統計学では有限のサンプルで「統計的有意」という概念で妥協しているのですが、システムトレードにおいてもこのようにならざるを得ません。
もし、資金量や時間が十分でなければ、度重なる不運から、システムトレードの優位性を享受できない可能性も有り得るということは肝に銘じておかなければなりません。
＊＊＊＊＊＊＊＊＊＊＊＊＊＊＊＊＊＊＊＊＊＊＊＊＊＊＊＊＊
このように、システムトレードを語るに当たって大数の法則を拠り所とするにはあまりにも貧弱であることが分かります。
しかしながら、「証券投資とはそのようなものである」ということも、また事実ですので、理論的厳密性との妥協点は見つけなければなりません。
ただ、システムトレードで生き残るためには、無限回というのは不可能だとしても、「十分なトレード回数が行えるか」にかかっていると思います。
過去の統計的優位性を過信して、１トレードあたりの予算を大きくしすぎたり、資金繰りに制約がある資金でトレードをしないことが大切になります。
システムトレードにおいて重要な確率論の定理は「大数の法則」と呼ばれるものです。
以下は、フリー百科事典「Wikipedia（ウイキペディア）」に記載されていた説明を抜粋したものです。
大数の法則
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大数の法則とは、ベルヌーイによって確立された、確率論・統計学における極限定理の一つで、「経験的確率と理論的確率が一致する」 という、素朴な意味での確率を意味付け、定義付ける法則である。
大数の法則とは、ある試行において事象が起きる確率（数学的確率、理論的確率などともいう）が p で、その試行を繰り返し行うときある回の試行が他の回の試行に影響を及ぼすことがない（独立試行）なら、その事象が起きる比率が試行回数を増やすにつれて近づく値（統計的確率あるいは経験的確率）は p である。
例えば、コイン投げ。すなわち、ゆがみも偏りもない理想的なコインを投げ表裏を当てるゲームを行うとする。（ただし、理想的なコインとはそれを投げるとき、表が出る確率も裏が出る確率もともに1/2である確率モデルに従うコインのことである。）
このとき、試行回数を限りなく増やせば、表が出る回数と裏が出る回数の比率はどちらも 1/2 に近づく。従い、試行回数を限りなく増やせば投げ方にむらがなくなってくるということであり、むらが限りなくなくなる法則と言い換えることができる。
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システムトレードは、「過去のバックテストで有効であることが確認できたルールに機械的に従い、十分なトレード数をこなすことで、統計的平均値への収束に賭けるトレード手法である」と説明されることが多いです。
しかし、上記のように定義された大数の法則を、現実のシステムトレードにおける優位性の理論的背景として採用するに当たっては、大きなギャップがあります。
そのギャップは、以下の２つです。
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１．理論的確率の存在
まず１つめですが、大数の法則が要求している「理論的確率」というものを、システムトレードにおいて事前的に知る術がないということです。
例えば、「サイコロで３以上の目が出たら賭けたお金が２倍になり、１か２の目が出たら賭けたお金が没収される」というものを考えたとき、このゲームに勝つ確率（理論的確率）は４／６であることが分かります。
しかし、システムトレードにおいてはそのような理論的確率を確認する術がないに等しく、せいぜい過去のバックテストの結果という、経験的確率しか分かりません。
すなわち、「将来の試行は、過去の経験的確率に収束するだろう」という、不完全な大数の法則に頼らざるを得ません。
２．無限という試行回数
もう一つネックになっているのが、大数の法則が厳密に成立するのは「無限という試行回数」があってのことだというものです。
すなわち、システムトレードが優位性の拠り所としている「統計的平均値への収束」については、無限回の試行がなされなければ成立しないということです。
現実のトレードにおいては資金量も時間も有限ですから、大数の法則が厳密に成立する世界に身をおくことは何人たりとも出来ないことになります。
したがって、統計学では有限のサンプルで「統計的有意」という概念で妥協しているのですが、システムトレードにおいてもこのようにならざるを得ません。
もし、資金量や時間が十分でなければ、度重なる不運から、システムトレードの優位性を享受できない可能性も有り得るということは肝に銘じておかなければなりません。
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このように、システムトレードを語るに当たって大数の法則を拠り所とするにはあまりにも貧弱であることが分かります。
しかしながら、「証券投資とはそのようなものである」ということも、また事実ですので、理論的厳密性との妥協点は見つけなければなりません。
ただ、システムトレードで生き残るためには、無限回というのは不可能だとしても、「十分なトレード回数が行えるか」にかかっていると思います。
過去の統計的優位性を過信して、１トレードあたりの予算を大きくしすぎたり、資金繰りに制約がある資金でトレードをしないことが大切になります。
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