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Comments
2010.10.14
カテゴリ： カテゴリ未分類
４つ前の記事 で、私が 昨夜 思いついた解法です。
記事を書いた時点ではもっとずっと複雑な解法(中学レベル)だったのですが、
昨夜 “えっ、こんなに簡単に解けてしまっていいの？” というのが閃きました。
子細に検討して、問題はないように思えますが、それでも何か “やっちゃいけない
ことをしている・・・つまりこの解法はダメ” という点がありそうな気がして、
99％の自信のほかに 1％の不安 が残ります。
というわけで、やった本人が気づいていない欠陥がもしあって、それに気づいた
方がいらっしゃいましたら、コメントをいただければうれしいです。
〔解答に至る途中の悩み〕
●∠ADBを求めるにはどうしても ∠DBC を先に求めておかなければならないが、与え
られた角度の範囲からはどのようにしても∠DBCは出ない。ということは、
∠DBCを求めるには二等辺三角形とか直角二等辺三角形とか正三角形とかひし形
のような、 辺と角度が特別に連動している辺の条件 から∠DBCを求めるしかない。
●しかし問題文では辺の長さに関係するのは△ADCが直角二等辺三角形であること
しか条件がなく、これでは∠DBCまではたどり着かない。
●そこで、 適当な補助線を引いてそうした図形を作り出し 、理想状態にするしか
ない。
★ 最初は 点Dを辺ABに関して対称移動させ、△ABDを△ABD'に移した。
そしてそこに正三角形になる補助線を書き足し、一応∠AD'B(＝∠ADB)
を求めることはできたのだが、如何にせん発想が特別過ぎ、またこれを
記述式で書いていくには複雑になりすぎて、「算数」オリンピック予選
ともあろう出題でそんなあこぎなことはしないだろう。
なにかあるはず・・・・
(1)与えられた条件からすぐにわかる角の角度を書き出すと
ここで困るのが ∠DBCが不明 、且つこのままでは求めようがないこと
(最初からわかっていれば問題としてラクすぎる)。そこで
(2) CDを半径としてCを中心に30°A側に弧を描き 、ABとの交点をEとする。
CEを結ぶと、CD＝CE，且つ∠ECB＝15°なので△EBCは二等辺三角形。
よってBE＝CE＝CD。
ここでBE//CD，BE＝CDなので四角形BDCEは平行四辺形であり、
またBE＝CEなので四角形BDCEはひし形。
よってBD＝CDとなり△DBCは二等辺三角形。ゆえに∠DBC＝15°
(3)これよりどの三角形を利用しても∠ADB＝105°となる。
でもどこかに勝手論理が含まれていそうで、現時点ではやや不安。
純算数というには無理がありますが、算数オリンピック問題はどれを見ても
中学数学レベルが含まれている。
それは算数・数学が趣味レベルの子でないと参加しないでしょうから、
しかたないことであるとわりきって・・・・ σ(^_^;)
以上でした。
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Last updated
2010.10.14 22:47:44
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