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多面体紙工作

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Apr 16, 2013

　正8面体の辺を４倍にした正8面体で実験したので、この正８面体でそのことを見て行こう。

逆に正８面体の辺を四分の一の大きさの正８面体と正４面体が中に何個含まれているかということを考える。

その答えは正８面体が44個と正４面体が80個含まれているということになる。

　先ずこの答えが正しいことを証明しておこう。

正４面体は体積が正８面体の四分の一であるので、この80個の正８面体は20個の正８面体に相当する。

この大きい正８面体の中には正8面体が64個（44＋20＝64）あると考える。

この64個の正８面体の体積は辺の大きさの３乗に比例するので、４の３乗が64となって、公式通り正しいことが分かる。

正８面体の個数を計算するときの数式の規則性

正8面体が４階層になっている1,4,9,16はそれぞれ階層数の２乗となっていて、小さな正８面体階層数までのそれぞれの階層数の二乗となっている。正８面体の個数を計算するときの数式の規則性は二乗という簡単な規則であることが分かった。

正４面体の個数を計算するときの数式の規則性

　第１表から辺の比がいくつであっても、その階層数は辺の比マイナス１なのである。

　さて、今見ている正4面体の３階層の数値は４、12、24である。

この数値の規則性を見出そう。

　　4＝1×４　＝１×２×２
　　12＝２×６＝２×２×３
　　24＝３×８＝３×２×４

階層数をｍとすると、ｍ×2×（ｍ＋1）と成っているので、各階層の数式は　2ｍ（ｍ＋１）であらわせる。

辺の大きさが1である正８面体をｎ倍にしたときのこの正８面体の中に含まれる正４面体の個数を計算するとき、

ｎ－1階層までの数値を、この数式に当てはめて設定して、その合計の２倍が正4面体の個数である。

辺の大きさをｎ倍にしたときの正８面体と正４面体の個数計算

nはいくつであろうと、以上の数式を用いれば、表計算によって、簡単に計算して求められる。

　　　　　第１表　拡大に要する正８面体と正４面体の個数表
拡大に要する正８面体と正４面体の個数表.JPG