多面体紙工作で数学を楽しむ　-　行動の記録

Freepage List

昔＿飼っていたマルチーズ犬

Calendar

Keyword Search

▼キーワード検索

我楽免機

New! いわどん0193さん

このところ最高気温… New! doziさん

コーンムーンモルフォ蝶さん

漆芸ファン ぼんちゃん８さん
ブラックポットのい… ブラックポットさん

Comments

みこちゃんｂｂ @ Re:1円硬貨600個と5円硬貨80個で銀行に預金してきました(04/22) 我楽さん元気になって来ていますね。気を…

島村の渡し @ Re:群馬県高崎市にも大雪(02/09) こんにちは大変ご無沙汰しています当地…

tyoukatyu3 @ ブランド腕時計代引き突然訪問して失礼しました。ありがとうご…

mami1997 @ Re:表計算は便利＿たちどころに求める数値が出る_正８面体拡大(05/07) こんばんは　お気に入りブログ登録　あ…

我楽免機 @ Re:正４面体とダ・ヴィンチの星(04/03) 高校野球の決勝戦を見ながら、多面体紙工…

多面体紙工作

(3)

< 新しい記事

新着記事一覧(全1730件)

過去の記事 >

May 6, 2013

辺の大きさをｎ倍にする正８面体を合成する正８面体と正４面体の個数を求める

カテゴリ：数学

(1) 正８面体の個数

n^2の数列の総和を求める式は　　
Sn＝1＾2 ＋ 2＾2 ＋ 3＾2 ＋・・・＋ n^2 ＝ (1/6) * n(n+1)(2n+1)
で　あるから　その必要個数Sn8は Sn8 ＝ 2Sn －ｎ^2
その結果、次の式が求められる。
　　Sn8 ＝ 2 * (1/6) * n(n+1)(2n+1) －ｎ^2

Sn8 ＝ (1/3) * n(n+1)(2n+1) －ｎ^2

(2) 正4面体の個数
表計算で求めるとき、各セルに2m*(m+1)をセットしたが
辺の大きさを5倍にするときの例で、公式を作ることを解明する。
各セルには　下記のように　セットされている。
　　　　1層　　2 * 1^2 + 2 * 1
　　　　2層　　2 * 2^2 + 2 * 2
　　　　3層　　2 * 3^2 + 2 * 3
　　　　4層　　2 * 4^2 + 2 * 4
　　　　5層　　2 * 4^2 + 2 * 4
　　　　6層　　2 * 3^2 + 2 * 3
　　　　7層　　2 * 2^2 + 2 * 2
　　　　8層　　2 * 1^2 + 2 * 1
上記　の　全合計Sn4は
　　　Sｎ4 ＝ 2 (1^2 + 2^2 + 3^2 + 4^2)*2 + 2(1+2+3+4)*2
　　　　　　＝4｛(1/6)*4(4+1)(2*4+1) + (1/2)* 4(4+1)｝

一般に　ｍ層までの全合計　Sn4　は
　　　　Sn4＝4｛(1/6)*m(m+1)(2m+1) + (1/2)*m(m+1)｝

辺の大きさをｎ倍するとき、ｍはnより一つ少ない数値であるから
　ｍ＝ｎ－1　を　上式に代入して、（中間計算式は省略する）

正４面体の個数　Sn4 は　次の結果を得る。　　

Sn4＝(1/3)*4n(n-1)(n+1)

総合結果

辺の大きさが等しい正８面体と正４面体を合成させて
辺の大きさがｎ倍になる正８面体を作るとき、必要個数は

下記の計算式で求められる。

正８面体の個数　　 Sn8 ＝ (1/3) * n(n+1)(2n+1) －ｎ^2

正４面体の個数　　 Sn4＝(1/3)*4n(n-1)(n+1)

公式の適用

４月24日に表計算で求めた20倍の正８面体を作るときの
正８面体と正4面体の個数を求めてみよう。

正８面体の個数　　(1/3)×20×21×41-20×20＝20×7×41-400＝5740－400
　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　＝5340
正４面体の個数　　(1/3)×4×20×19×21＝4×20×19×7＝10640

　この結果は4月21日に表計算で求めた結果と等しい。

この結果は表計算を使わなくても、公式から簡単に求められるということだ。

お気に入りの記事を「いいね！」で応援しよう